量子力学-门福殿-近似方法习题解

第五章 近似方法习题解 中国石油大学 门福殿教授著量子力学第五章 近似方法1一维无限深势阱宽度为，其势能函数为是个很小的常数，把此势阱中的粒子看成是受到微扰的一维无限深势阱中的粒子，求其能量和波函数的一级近似。解：无微扰时的本征函数为 对应的能量本征值为：能量的一级修正为： 波函数的一级修正：现在来求：将此式代入上式可得波函数的一级修正2一维无限深势阱（）中的粒子受到微扰： 的作用，求基态能量的一级修正。解：本题是一维非简并问题，无微扰时的能量本征函数 （1）能量本征值 （2）对基态，计算能量的一级修正量时，因微扰是分段连续的，因而要求两个积分式的和 利用定积分公式： （4）代入（3）；得 附带地指出：对于本题的粒子的激发态能量的一级修正量计算，可以用同样步骤得到，第K个激发态的一级修正：3一个粒子在二维无限深势阱 中运动，设加上微扰 求基态及第一激发态的能量修正。解二维无限深势阱的定解与一维相类似，因为x,y方向运动是独立的，能量的零级本征函数是两个一维无限深势阱波函数乘积： 式中是指波数，阱壁的约束条件即周期性边界条件是： 因而零级本征函数可用m,n表示： （1）粒子总能量则可设 ， 或 （2）可见波函数是高度简并的（L.Pauling.E.B Wilson;Introduction to Quantum Mechanics 1951.P98P100）, 本题不讨论其简并度的公式。 但基态（m=1，n=1能级最低的二维运动）是没有简并的。 (基态能量一级修正量)； 这时 （3）利用定积分公式： （4）或者： （5）代入（3） （第一激发态一级能量修正量）： 第一激发能态是指m=1,n=2,和m=2,n=1的二重简并态，这时的简并能级是： (6)简并的能量本征函数有二个： 我们用简并态微扰法求能级，设有微扰后的零能级本征函数是 代入有微扰的能量本征方程式： 约去相等项，利用的正交归一性，可得的线形方程组： 由两式得到非平凡解的条件： （9）现在分别计算所需的矩阵元；积分公式可以用（4）或者（5） （10） （11）代入久期方程式（9）得到： （12）零级波函数的决定可以用先代入方程式（7）或（8），伴同正交归一化条件 可求得， 再用代入（8），伴同可求得，。 4一维谐振子的哈密顿为假设它处在基态，若在加上一个弹性力作用H=1/2 bx2，试用微扰论计算H对能量的一级修正，并与严格解比较。 解 用非简并微扰法，计算微扰矩阵元：（质量记作）已知 ，能级 本题中 ， （1）引用习题（1）所用的谐振子递推公式： (2)代入（1），再利用 正交归一性。 （3）再计算能量二级修正量，为此要计算指标不同的矩阵元 ，用（2）式： 再利用谐振子零能级本征值公式 （但） （4）因此用微扰法算得的，正确到二级修正值的能量是： （5）如果用严格的本征方程式求解，则本题中和的势能为同类项可以合并，哈氏算符为 （6）直接看出，它的严格的能级是： （7）与近似（5）比较，发现近似值的绝对误差是： 在基态的情形，可令，4设非简谐振子的哈密顿量为： （为常数）取 ，试用定态微扰论求其能量及能量本征函数。 （解）一级能量本征值修正量：本题是一维、无简并的，按本章9.1公式，从3.3知道一维谐振子波函数是： ，但 （1） （2）但根据3.3，一维谐振子波函数中的厄密多项式是有宇称的（或奇或偶），因而必定是个偶函数。（2）式中被积函数就应是奇函数，又因积分限等值异号，结果有：一级波函数修正值：据9.1公式12b （3） 微扰矩阵元要涉及厄密多项式相乘积的积分，为此利用关于的一个递推公式（，问题2）： （4）将此式遍乘，再重复使用（4） 再将此式遍乘，重复使用（4）式 = （6）利用公式（6）来计算微扰矩阵元： 将（6）式中的换成代入前一式，并注意是正交归一化的，即 是固定指标，故只有当取下述四值时不为零，即但要注意，当取用一个值时，就不能再取其他值，所以取定后的非零值是（7）式中某个的系数。（3）的求和是式只有四项。有： ， ， ， （9）将（7）和（9）所决定的诸值代入（3） 二能级量本征值修正量：按二级近似式是 （11）其中，二级修正量是个数量的和，它也用（7）式来计算，并也包括四个项： 如果类氢原子的核不是点电荷，而是半径为及电荷均匀分布的小球，计算这种效应对类氢原子基态能量的第一级修正。解 在电动力学中知道，当时，即在荷电小球外部时，势能的分布和点电荷产生的势能分布一样。在处，势能分布则为因此，微扰势能可以写为故类氢原子处于基态时的一级能量修正值为：注意到 其中 为玻尔半径。故 为了计算上的方便起见，我们作一些近似估计，因为厘米，厘米。对于最大的，有。所以，。因此可以把上面的积分化简为：所以基态能量是：讨论：由结果可见，当愈大时，由于核不是点电荷所产生的影响也愈大；同样，当愈大，产生的修正也愈大，这在物理上看是显然的。这时候相当于微扰的影响相当显著。3转动惯量为，电矩为的空间转子处在均匀电场中，如果电场较小，用微扰法求转子基态能量的一级修正。解 空间转子是约束在球面上的体系，对于这样的体系，常数，因而波函数对的微商为零，即，这表明波函数只包含和两个变量，哈密顿算符中不含的项。因此，体系的哈密算符是：而 其中为转子的转动惯量，注意到上式即为：即 即无微扰时的本征函数，就是球谐函数。注意到基态为非简并状态，利用非简并微扰，对基态能量的修正值决定于矩阵元。因此，一级能量修正值显然为 二级能量修正值为这个二级能量修正值正是电场中极化的能量，微扰后的总能量准确到二级的情况下为：4转动惯量为I，电矩为的平面转子处在均匀弱电场中，电场是在转子运动的平面上用微扰法求转子能量的修正值。解 平面转 子是约束在平面内一定半径的圆周上运动的系统，它的哈密顿算符是在加进均匀弱电场以后，微扰的哈密顿算符为显然零级近似波函数为球谐函数，事实上：即 无微扰时波函数只与角相关，即一级能量修正值为所以在一级近似中，转子的斯塔克效应不存在。下面求二级近似：一般地，我们先设对态求修正值，最后令，作为特例，我们可以得到转子能量的修正值。故 因此，在对的求和式中，只有和两项不为零，故而 故 特别对于基态： 基态总能量（考虑到二级修正）为： 第个能级的能量为7设在表象中，的矩阵表示为，用微扰论求能量的二级修正。解：本题的意义在于：并不知道无微扰算符，微扰和总的（一级近似）哈氏算符的形式，也不知道零阶近似波函数的形式，知道的是在表象中的矩阵。但仅仅根据这矩阵的具体形式，可以知道几点： （1）能量本征值是分立的（因为用分立矩阵表示，若是连续能量本征值，不能用此表示 法），无微扰能量本征值有三个，本征函数。因， （2）微扰算符的的矩阵是 根据无简并微扰论，一级能量修正量是： 从（2）中看出，对角位置的矩阵元全是零，因此一级修正量 又二级能量公式是： 所需的矩阵元已经直接由式（2）表示出，毋需再加计算，因而有： 补充题 设在H0表象中用微扰论求能量修正量（到二级近似），严格求解与微扰论计算值比较。 （解）直接判断法：题给矩阵进行分解，有从矩阵（3）知道一级修正量（用对角矩阵元）和二级修正量（用非对角矩阵元）仿前一题，直接写出两个能级（正确到二级修正量） 严格求解法：这就是根据表象理论，分立表象中，本征方程可以书写成矩阵方程式形式，并可以求得本征值和本征矢（用单列矩阵表示）。 我们设算符H（1）具有本征矢，本征值是，列矩阵方程式： 展开后成两式又假设本征矢是归一化的： （5）式有非平凡解的条件是： （7）后一式可展开 （8）（7）是正确本征值解，共有二个，以复号来区别。(8)的级数展开式可分写为 中断在第三项的时侯便是二阶近似值，这与对比便能知道两个能级近似值的绝对误差是有下述上限的。9设尝试波函数具有的形式，其中为归一化常数，为与无关的变分参数，试用变分法求谐振子的基态波函数和基态能量。最后把归一化常数算出来。解 由于谐振子具有对左右对称的特性，且当增加时很快趋于零，因此选择尝试波函数是合理的。谐振子的哈密顿算符是先把波函数归一化：注意到 容易算得：利用 可得 和准确解的结果完全一致。10。质量为的粒子在一维势场中运动，其中，（1）用变分法计算基态能量，在区域内的试探波函数应取下列中的哪一个？为什么？ （2）算出基态能量。解：（1）根据波函数的标准条件应取试探波函数为：（2）利用公式：有由，得带入上式得：11一体系哈密顿量， 其中（1）用变分法取试探波函数，求基态能量上限；（2）若取试探波函数，求基态能量上限；（3）对（1）和（2）两个上限，你能接受哪一个？为什么？解：（1）由，得 此时： 将上式代入即可（2）13具有电荷为的离子，在其平衡位置附近作一维简谐振动，在光的照射下发生跃迁。设入射光的能量为。其波长较长，求： 原来处于基态的离子，单位时间内跃迁到第一激发态的几率。 讨论跃迁的选择定则。 （提示：利用积分关系 答： 仅当，所以谐振子的偶极跃迁的选择定则是） 解： (对于一维线性谐振子) 其中 一维线性谐振子的波函数为 跃迁几率，当时的跃迁为禁戒跃迁。 可见，所讨论的选择定则为。具有电荷的离子，在其平衡位置附近作一维简谐振动，在光的照射下发生跃迁，入射光能量密为，波长较长，求：（1）跃迁选择定则。（2）设离子处于基态，求每秒跃迁到第一激发态的几率。（解）本题是一维运动，可以假设电磁场力的方向与振动方向一致。（1）跃迁选择定则：为确定谐振子在光照射下的跃迁选择定则，先计算跃迁速率，因为是随时间作交变的微扰，可以用专门的公式（12）（11.4，P396） （1）式中应理解为谐振子的矢径的矩阵元的平方和，但在一维谐振子情形，仅有一项 （2）根据谐振子的无微扰能量本征函数来计算这矩阵元 （3） 式中， 446要展开（3）式，可以利用谐振子定态波函数的递推公式： （4）代入（3），利用波函数的正交归一化关系： （5）由此知道，对指定的初态来说，要使矢径矩阵元（即偶极矩阵元）不为零，末态和初态的关系必需是：这时 （6）这时因得结论：一维谐振子跃迁的选择定则是：初态末态的量子数差数是1。（2）每秒钟从基态跃迁到第一激发态的几率可以从（2）式和（7）式得到：14基态氢原子和在平行板电场中，若电场是均匀的且随时间按指数下降，即 （为大于零的参数）求经过长时间后氢原子处在态的几