简单的旋转作图

3.4 简单的旋转作图一、名师解惑1.作简单平面图形旋转后的图形时要考虑的问题.释疑:简单的旋转作图，可先在方格纸上画图，体会旋转的关键是确定旋转中心和旋转角，在自己动手画图的的过程中，自己归纳总结出旋转的关键.作简单平面图形旋转后的图形，要明确旋转中心在哪里，旋转的角度是多少，是顺时针旋转还是逆时针旋转等.另外，尺规作法的要求，仅限于作三角形等基本图形.2.注重旋转作图的常见的考查形式，把握作图的基本原则.释疑:旋转作图的考查形式有三种：一是已知原图、旋转中心和一对对应点，求作旋转后的图形；二是已知原图、旋转中心和一对对应线段，求作旋转后的图形；三是已知原图、旋转中心和旋转角，求作旋转后的图形，这三种考查形式，都是根据定义和性质进行作图.特别地，对于给出原图和一对对应边的作图问题，除可按一般的方法作图外，如果求作的是三角形，还可以用三角形全等的方法作出旋转图形旋转作图的方法是：（1）先找出图形中的关键点；（2）分别作出这几个关键点绕旋转中心旋转后的位置；（3）按原来位置依次连接各点即得要求下旋转后的图形.二、讲练互动【例1】如图，在ABC中，C=90，以B为中心，按顺时针方向把ABC旋转90，请作出旋转后的三角形.【解析】显然，旋转后点B的对应点B就是点B，另外只需分别作出点A、C绕B旋转90后的对应点即可.【答案】(1)过点B作AB的垂线并在这条垂线上截取BA=BA，即得点A的对应点A.(2)过点B作BC的垂线，并在这条垂线上截取BC=BC，即得点C的对应点C.(3)连结AC.ABC就是所求作的三角形.【绿色通道】明确旋转中心是点B和旋转角度是90是作图的关键，还要明确是顺时针旋转还是逆时针旋转，能够按要求先作出点的旋转，问题就可以解决.【变式训练】1.如图，ABC绕C点旋转后，顶点A的对应点为点D.试确定顶点B对应点的位置，以及旋转后的三角形.【解析】要重视对课本中例题的“分析”的处理，它是对本题解法的点睛之笔.注意“作图”与“画图”的区别：“作图”的工具仅限于直尺、圆规，而“画图”的的工具还可以用刻度尺及量角器.答案:因为ABC绕C点旋转后，顶点A的对应点为点D，可见旋转中心为点C，旋转方向为顺时针，旋转角为ACD,所以点B的对应点为将点B绕点C沿顺时针方向转等于ACD的角度即可，则旋转后的图形易得.2.下图中的两个正方形的边长相等，请你指出可以通过绕点O旋转而相互得到的全等三角形，并说明旋转的角度【解析】旋转不改变图形的形状和大小，对应角相等可以判别图形的全等.答案:OAE和OBF，OEB和OFC，OAB和OBC，旋转的角度为90.【例2】如图，四边形ABCD绕点O旋转后，顶点A的对应点为E，试确定B、C、D对应的点的位置，以及旋转后的四边形.【解析】A点与E点是对应点，连结AO、EO，则AOE为旋转角，O为旋转中心，旋转方向为顺时针.【答案】(1)如图，连结OA、OB、OC、OD、OE. (2)分别以OB、OC、OD为一边作BOF、COG、DOH，使BOF=COG=DOH=AOE.(3)分别在射线OF、OG、OH上，截取OF=OB，OG=OC,OH=OD.(4)连结EF、FG、GH、HE.四边形EFGH就是四边形ABCD绕O点旋转后的图形.【绿色通道】通过亲自动手作简单的旋转作图，进一步体验旋转的基本性质.掌握有关画图的操作技能，明确旋转中心、方向和角度是作图的关键，能够按要求作出简单平面图形旋转后的图形并会探索图形之间的旋转关系.【变式训练】1.如图，正方形ABCD绕O点旋转后，顶点A的对应点为A1，试确定B、C、D对应点的位置，以及旋转后的正方形.【解析】假设顶点B、C、D的对应点分别为点B1、C1、D1,则BOB1、COC1、DOD1都是旋转角且OB=OB1,OC=OC1, OD=OD1,则B、C、D三点的对应点就找到了，旋转后的正方形就得到了.答案:（1）连接OA、OA1、OB、OC、OD；（2）如图，分别以OB、OC、OD为一边作BOB1、COC1、DOD1，使得BOB1=COC1=DOD1=AOA1； (3)分别在射线OB1、OC1、OD1上截取OB1=OB、OC1=OC、OD1=OD；(4)连接B1C1、C1D1、D1A1、A1B1.正方形A1B1C1D1就是正方形ABCD绕O点旋转后的图形.2.下图是一块四边形状薄钢板，A=60,C=120,AB=AD.（1）能否先沿一条对角线将钢板割成两块，再焊接成一块与原钢板面积相同的三角形状钢板？若能，请说明切割、焊接的方法，用虚线画出示意图，并说明焊接的钢板为什么是三角形状；若不能，请说明理由.(2) 焊接后的ACC是什么形状的三角形？【解析】本题思考的出发点是利用AB=AD，进行全等旋转变换，看到A=60,C=120，可以完成焊接。旋转变化不改变图形的形状和大小，面积变化前后没有变化.答案:（1）能，沿AC切割，将ABC绕点A逆时针旋转60，得到ABC.因为BAD+BCD=60+120=180,所以B+ADC=180,即C、D、C共线.所以焊接的钢板应为三角形状. (2)由旋转的有关性质易得ACC是等边三角形.三、同步测控基础达标（一）选择题：1.（经典回放）如图1可以看作是一个等腰直角三角形旋转若干次而生成的，则每次旋转的度数可以是（ ）.A900 B600 C450 D300.2.如图2，ABC是直角三角形，BC是斜边.将ABP绕点A逆时针旋转后，能与ACP重合，已知AP=3，则PP的长度为（ ）A3 B3 C5 D4.图1图2 图33.如图3，图形围绕自己的旋转中心最少需旋转（ ）之后，能够与它自身相重合A60 B20 C90 D120.4.下列说法不正确的是（ ）A旋转中心在旋转过程中是不动的B旋转形成的图形是由旋转中心和旋转角共同决定的C旋转不改变图形的形状和大小D旋转改变图形的形状但不改变大小.5.下列说法错误的是（ ）A经过旋转，图形上的各点绕旋转中心沿相同方向转动的角度不同B经过旋转，图形上的每一点都要旋转中心沿相同方向转动相同的角度C经过旋转，任意一对对应点与旋转中心的连线所成的角都是旋转角D经过旋转，对应点到旋转中心距离相等.6.图4中的“笑脸”是有图5逆时针旋转90形成的是（ ）图4 图57.图6中的图形，是由基本图案多边形ABCDE旋转而成的，它的旋转角为（ ）A30 B60 C90 D150. 图6（二）填空题：8.一个正三角形绕其一个顶点按同一方向连续旋转五次,每次转过的角度为60度, 旋转前后所有的图形共同组成的图案是 .9（经典回放）等边三角形至少要旋转度，才能与自身重合.10(1)旋转要有旋转_、_和_(2)经过旋转不改变图形的_和_11经过旋转，图形上的每一点都绕旋转中心沿相同方向旋转了_的角，任意一对对应点与旋转中心的连线所成的角都是_，对应点到_的距离相等.12将图形 按顺时针方向旋转90度后的图形是图7中的（ ）.C.D.B.A.图7图813.如图8，直角COD 逆时针旋转后与AOB重合，若AOD127，则旋转角度是 _. 综合训练14.将直角三角形ABC绕O点旋转，使A点到D点，如图9.图915如图10是三个菱形，它可以看作是什么“基本图形”通过怎样的旋转而得到？图1016.将一个正六边形绕它的一个顶点按逆时针方向旋转，分别作出旋转下列角度后的图形.(1)60 ；(2)90；(3)120.同步测控答案：基础达标1.解析：找到图形的基本组成图形等腰直角三角形，整个图形是由六个等腰直角三角形组成，可以得到旋转角度. 答案：C.2,解析：由旋转可知PAP=90，AP=AP，所以PP=.答案：B.3.解析：此图是正六边形，因此它围绕自己的旋转中心最少60度与原图重合.答案：A.4.解析：选旋转前后图形的形状和大小都不改变.答案：D.5.解析：利用旋转的性质容易选择.答案：A.6.解析：把握好旋转方向和旋转角度，选择图形中的基本图形就可以.答案：C.7.解析：此多边形是正六边形，它的中心角是60度，所以它的旋转角是60度.答案：B.8.解析：旋转前后共有的6个图形，组成的图案是正六边形.答案：正六边形.9.解析：没有说明旋转方向，所以，不管是顺时针还是逆时针旋转120都可以与自身重合.答案：120.10.解析：(1)根据旋转的定义：把一个图形绕着某一点转动一个角度的图形变换叫做旋转.(2) 根据旋转前、后的图形全等.答案：(1)方向， 旋转中心， 旋转角；(2)形状，大小.11.解析：根据旋转的定义：把一个图形绕着某一点转动一个角度的图形变换叫做旋转；对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角；对应点到旋转中心的距离相等.答案：相同，旋转角，旋转中心.12.解析：根据旋转方向为顺时针方向以及旋转角度为90度找答案.答案：D.13.解析：根据对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角以及旋转前、后的图形全等.由题意可知：COD=AOB=90，B与D为对应点，所以，旋转角为BOD=127-90=37.答案：37.综合训练14.解析：旋转中心为O，而点A的对应点为D，设点C的对应点为C,点B的对应点为B则旋转角AODCOCBOB,OAOD, OBOB,OCOC答案：(1)连OA、OD、OB、OC；(2)分别以OC、OB为一边，以O为顶点作AODCOCBOB；(3)分别在射线OC、OB上截取OCOC，OBOB；(4)连BC、CD、BD，则BCD就是ABC绕点O旋转后的图形15.解析：基本图形是一个菱形，共旋转3次，所以，旋转角为120.答案：基本图形是菱形，沿中心每次旋转120就得到这个图案16.解：(1)如图1，延长AF到E，使EF=EF，则点E与点E是对应点，然后作点 A、B、C、D的对应点A、B、C、D，按原来方式连接，则正六边形ABC DEF就是正六边形ABCDEF绕点F旋转60后的图形.图1 图2 图3