2017-2018学年辽宁省丹东市高二(上)期末数学试卷(理科)

2017-2018学年辽宁省丹东市高二（上）期末数学试卷（理科）一、选择题（每题5分共60分，在每小题给出的四个选项中只有一项是符合题目要求的）1（5分）已知双曲线=1的一条渐近线方程为y=，则双曲线的焦距为（）AB2C2D102（5分）太极图是以黑白两个鱼形纹组成的图形图案，它形象化地表达了阴阳轮转，相反相成是万物生成变化根源的哲理，展现了一种互相转化，相对统一的形式美按照太极图的构图方法，在平面直角坐标系中，圆O被y=3sinx的图象分割为两个对称的鱼形图案，其中小圆的半径均为1，现在大圆内随机取一点，则此点取自阴影部分的概率为（）ABCD3（5分）将一枚质地均匀的骰子投两次，得到的点数依次记为a和b，则方程ax2+bx+1=0有实数解的概率是（）ABCD4（5分）如表是某单位14月份用水量（单位：百吨）的一组数据：月份x1234用水量y45 a7由散点图可知，用水量y与月份x之间有较好的线性相关关系，其回归方程是，则a等于（）A6B6.05C6.2D5.955（5分）下列四个命题：命题“若x23x+2=0，则x=1”的逆否命题为“若x1，则x23x+20”“x2”是“x23x+20”的必要不充分条件若pq为假命题，则p，q均为假命题对于命题p：xR，使得x2+x+10，则p：xR，使得x2+x+10其中，错误的命题个数为（）A1个B2个C3个D4个6（5分）抛物线y=ax2的准线方程是y=2，则a的值为（）A4B8CD7（5分）某单位有若干名员工，现采用分层抽样的方式抽取n人去体检，若老、中、青人数之比为4：1：5，已知抽到10位中年人，则样本的容量为（）A40B100C80D508（5分）下列程序框图中，输出的A的值是（）ABCD9（5分）若双曲线C1以椭圆C2：+=1的焦点为顶点，以椭圆C2长轴的端点为焦点，则双曲线C1的方程为（）A=1B=1C=1D=110（5分）某小组有3名男生和2名女生，从中任选2名学生参加演讲比赛，那么下列对立的两个事件是（）A“至少1名男生”与“至少有1名是女生”B“恰好有1名男生”与“恰好2名女生”C“至少1名男生”与“全是男生”D“至少1名男生”与“全是女生”11（5分）为了了解某校今年准备报考飞行员的学生的体重情况，将所得的数据整理后，画出了频率分布直方图（如图），已知图中从左到右的前3个小组的频率之比为1：2：3，第1小组的频数为6，则报考飞行员的学生人数是（）A32B40C48D5612（5分）设双曲线C：的左、右焦点分别为F1，F2，|F1F2|=2c，过F2作x轴的垂线与双曲线在第一象限的交点为A，已知，|F2Q|F2A|，点P是双曲线C右支上的动点，且|PF1|+|PQ|恒成立，则双曲线的离心率的取值范围是（）ABCD二、填空题（每小题5分，共20分，.将答案填入答卷指定位置）.13（5分）已知向量=（k，12，1），=（4，5，1），=（k，10，1），且A、B、C三点共线，则k= 14（5分）已知抛物线y2=2px（p0）的过焦点的弦为AB，且|AB|=9，xA+xB=6，则p= 15（5分）某校开展“爱我漳州、爱我华安”摄影比赛，9位评委为参赛作品A给出的分数如图所示记分员在去掉一个最高分和一个最低分后，算得平均分为91复核员在复核时，发现有一个数字（茎叶图中的x）无法看清若记分员计算无误，则数字x应该是 16（5分）设圆（x+1）2+y2=25的圆心为C，A（1，0）是圆内一定点，Q为圆周上任一点，线段AQ的垂直平分线与CQ的连线交于点M，则M的轨迹方程为 三解答题（本大题共6小题，满分70分，解答应写出文字说明，推理过程或演算步骤）17（10分）已知集合Z=（x，y）|x0，2，y1，1（1）若x，yZ，求x+y0的概率；（2）若x，yR，求x+y0的概率18（12分）命题p：；命题q：方程表示焦点在y轴上的椭圆若“p且q”是假命题，“p或q”是真命题，求实数m的取值范围19（12分）某校高三（1）班的一次数学测试成绩的茎叶图和频率分布直方图都受到不同程度的破坏，但可见部分如下，据此解答如下问题（1）求全班人数及分数在80，90）之间的频数，并估计该班的平均分数；（2）若要从分数在80，100之间的试卷中任取两份分析学生失分情况，在抽取的试卷中，求至少有一份分数在90，100之间的概率20（12分）已知O为坐标原点，M是椭圆=1上的点，设动点P满足（）求动点P的轨迹C的方程；（）若直线l：y=x+m（m0）与曲线C相交于A，B两个不同点，求OAB面积的最大值21（12分）如图，ABCD是边长为3的正方形，DE平面ABCD，AFDE，DE=3AF，BE与平面ABCD所成角为60（）求证：AC平面BDE；（）求二面角FBED的余弦值；（）设点M是线段BD上一个动点，试确定点M的位置，使得AM平面BEF，并证明你的结论22（12分）已知椭圆=1（ab0）过点，离心率为（）求椭圆的标准方程；（）过椭圆的上顶点作直线l交抛物线x2=2y于A、B两点，O为原点求证：OAOB；设OA、OB分别与椭圆相交于C、D两点，过原点O作直线CD的垂线OH，垂足为H，证明：|OH|为定值2017-2018学年辽宁省丹东市高二（上）期末数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题（每题5分共60分，在每小题给出的四个选项中只有一项是符合题目要求的）1（5分）已知双曲线=1的一条渐近线方程为y=，则双曲线的焦距为（）AB2C2D10【解答】解：曲线=1的一条渐近线方程为y=，可得：=，解得m=4，则b=2，a=3，c=双曲线的焦距为2故选：B2（5分）太极图是以黑白两个鱼形纹组成的图形图案，它形象化地表达了阴阳轮转，相反相成是万物生成变化根源的哲理，展现了一种互相转化，相对统一的形式美按照太极图的构图方法，在平面直角坐标系中，圆O被y=3sinx的图象分割为两个对称的鱼形图案，其中小圆的半径均为1，现在大圆内随机取一点，则此点取自阴影部分的概率为（）ABCD【解答】解：根据题意，大圆的直径为y=3sinx的周期，且T=12，面积为S=36，一个小圆的面积为S=12=，在大圆内随机取一点，此点取自阴影部分的概率为：P=故选：B3（5分）将一枚质地均匀的骰子投两次，得到的点数依次记为a和b，则方程ax2+bx+1=0有实数解的概率是（）ABCD【解答】解：将一枚质地均匀的骰子投两次，得到的点数依次记为a和b，基本事件总数n=66=36，方程ax2+bx+1=0有实数解，=b24a0，方程ax2+bx+1=0有实数解包含的基本事件（a，b）有：（1，2），（1，3），（1，4），（1，5），（1，6），（2，3），（2，4），（2，5），（2，6），（3，4），（3，5），（3，6），（4，4），（4，5），（4，6），（5，5），（5，6），（6，5），（6，6），共19个，方程ax2+bx+1=0有实数解的概率p=故选：C4（5分）如表是某单位14月份用水量（单位：百吨）的一组数据：月份x1234用水量y45 a7由散点图可知，用水量y与月份x之间有较好的线性相关关系，其回归方程是，则a等于（）A6B6.05C6.2D5.95【解答】解：=（1+2+3+4）=2.5，=（4+5+a+7）=4+4+=2.5+3.05，解得：a=6.2，故选：C5（5分）下列四个命题：命题“若x23x+2=0，则x=1”的逆否命题为“若x1，则x23x+20”“x2”是“x23x+20”的必要不充分条件若pq为假命题，则p，q均为假命题对于命题p：xR，使得x2+x+10，则p：xR，使得x2+x+10其中，错误的命题个数为（）A1个B2个C3个D4个【解答】解：命题“若x23x+2=0，则x=1”的逆否命题为“若x1，则x23x+20”，正确，由x23x+20得x2或x1，即“x2”是“x23x+20”的充分不必要条件，故错误，若pq为假命题，则p，q至少有一个为假命题，故错误，对于命题p：xR，使得x2+x+10，则p：xR，使得x2+x+10正确，故错误的个数为2个，故选：B6（5分）抛物线y=ax2的准线方程是y=2，则a的值为（）A4B8CD【解答】解：由抛物线y=ax2，得，由其准线方程为y=2，可知抛物线开口向上，则a02p=，则，得a=故选：C7（5分）某单位有若干名员工，现采用分层抽样的方式抽取n人去体检，若老、中、青人数之比为4：1：5，已知抽到10位中年人，则样本的容量为（）A40B100C80D50【解答】解：某单位有若干名员工，现采用分层抽样的方式抽取n人去体检，若老、中、青人数之比为4：1：5，已知抽到10位中年人，则10则，解得样本的容量n=100故答案为：1008（5分）下列程序框图中，输出的A的值是（）ABCD【解答】解：由程序框图可得： A i第一次循环后 2第二次循环后 3第三次循环后 4观察规律可知A的值为，可得：第九次循环后 10不满足条件i10，跳出循环则输出的A为故选：A9（5分）若双曲线C1以椭圆C2：+=1的焦点为顶点，以椭圆C2长轴的端点为焦点，则双曲线C1的方程为（）A=1B=1C=1D=1【解答】解：根据题意，椭圆C2：+=1的焦点坐标为（0，3），长轴的端点坐标为（0，5），若双曲线C1以椭圆C2的焦点为顶点，以椭圆C2长轴的端点为焦点，则双曲线C1的焦点为（0，5），顶点为（0，3），则双曲线中c=5，a=3，则b2=c2a2=16，则双曲线的方程为：=1，故选：B10（5分）某小组有3名男生和2名女生，从中任选2名学生参加演讲比赛，那么下列对立的两个事件是（）A“至少1名男生”与“至少有1名是女生”B“恰好有1名男生”与“恰好2名女生”C“至少1名男生”与“全是男生”D“至少1名男生”与“全是女生”【解答】解：某小组有3名男生和2名女生，从中任选2名学生参加演讲比赛，在A中，“至少1名男生”与“至少有1名是女生”能同时发生，不是互斥事件，故A错误；在B中，“恰好有1名男生”与“恰好2名女生”是互斥不对立事件，故B错误；在C中，“至少1名男生”与“全是男生”能同时发生，不是互斥事件，故C错误；在D中，“至少1名男生”与“全是女生”是对立事件，故D正确故选：D11（5分）为了了解某校今年准备报考飞行员的学生的体重情况，将所得的数据整理后，画出了频率分布直方图（如图），已知图中从左到右的前3个小组的频率之比为1：2：3，第1小组的频数为6，则报考飞行员的学生人数是（）A32B40C48D56【解答】解：设第一小组的频率为a，由频率分布直方图，得：a+2a+3a+0.03755+0.01255=1，a=0.125第1小组的频数为6，报考飞行员的学生人数为：=48故选：C12（5分）设双曲线C：的左、右焦点分别为F1，F2，|F1F2|=2c，过F2作x轴的垂线与双曲线在第一象限的交点为A，已知，|F2Q|F2A|，点P是双曲线C右支上的动点，且|PF1|+|PQ|恒成立，则双曲线的离心率的取值范围是（）ABCD【解答】解：令x=c代入双曲线的方程可得y=b=，由|F2Q|F2A|，可得，即为3a22b2=2（c2a2），即有e=又|PF1|+|PQ|F1F2|恒成立，由双曲线的定义，可得2a+|PF2|+|PQ|3c恒成立，由F2，P，Q共线时，|PF2|+|PQ|取得最小值|F2Q|=，可得3c2a+，即有e=由e1，结合可得，e的范围是（1，）故选：B二、填空题（每小题5分，共20分，.将答案填入答卷指定位置）.13（5分）已知向量=（k，12，1），=（4，5，1），=（k，10，1），且A、B、C三点共线，则k=【解答】解：向量=（k，12，1），=（4，5，1），=（k，10，1），=（4k，7，0），=（2k，2，0）又A、B、C三点共线，存在实数使得，解得故答案为：14（5分）已知抛物线y2=2px（p0）的过焦点的弦为AB，且|AB|=9，xA+xB=6，则p=3【解答】解：如图，AB过焦点F，且|AB|=9，xA+xB=6，|AB|=xA+xB+p=6+p=9，即p=3故答案为：315（5分）某校开展“爱我漳州、爱我华安”摄影比赛，9位评委为参赛作品A给出的分数如图所示记分员在去掉一个最高分和一个最低分后，算得平均分为91复核员在复核时，发现有一个数字（茎叶图中的x）无法看清若记分员计算无误，则数字x应该是1【解答】解：由题意知去掉一个最高分94和一个最低分88后，余下的7个数字的平均数是91，即（89+89+92+93+90+x+92+91）=91，636+x=917=637，解得x=1故答案为：116（5分）设圆（x+1）2+y2=25的圆心为C，A（1，0）是圆内一定点，Q为圆周上任一点，线段AQ的垂直平分线与CQ的连线交于点M，则M的轨迹方程为+=1【解答】解：由圆的方程可知，圆心C（1，0），半径等于5，设点M的坐标为（x，y ），AQ的垂直平分线交CQ于M，|MA|=|MQ| 又|MQ|+|MC|=半径5，|MC|+|MA|=5|AC|依据椭圆的定义可得，点M的轨迹是以 A、C 为焦点的椭圆，且2a=5，c=1，b=，故椭圆方程为 +=1，即 +=1故答案为：三解答题（本大题共6小题，满分70分，解答应写出文字说明，推理过程或演算步骤）17（10分）已知集合Z=（x，y）|x0，2，y1，1（1）若x，yZ，求x+y0的概率；（2）若x，yR，求x+y0的概率【解答】解：（1）设“x+y0，x，yZ”为事件A，x，yZ，x0，2，即x=0，1，2；y1，1，即y=1，0，1则基本事件有：（0，1），（0，0），（0，1），（1，1），（1，0），（1，1），（2，1），（2，0），（2，1）共9个其中满足“x+y0”的基本事件有8个，P（A）=故x，yZ，x+y0的概率为（2）设“x+y0，x，yR”为事件B，x0，2，y1，1，则基本事件为如图四边形ABCD区域，事件B包括的区域为其中的阴影部分基本事件如图四边形ABCD区域S=4，事件B包括的区域如阴影部分S=S=P（B）=18（12分）命题p：；命题q：方程表示焦点在y轴上的椭圆若“p且q”是假命题，“p或q”是真命题，求实数m的取值范围【解答】解：命题p：xR，x2+mx+10为真，=m2402m2（2分）命题q为真，即方程是焦点在y轴上的椭圆，0m2（4分）又“p且q”是假命题，“p或q”是真命题，p是真命题且q是假命题，或p是假命题且q是真命题（6分）或（10分），m的取值范围是2，02（12分）19（12分）某校高三（1）班的一次数学测试成绩的茎叶图和频率分布直方图都受到不同程度的破坏，但可见部分如下，据此解答如下问题（1）求全班人数及分数在80，90）之间的频数，并估计该班的平均分数；（2）若要从分数在80，100之间的试卷中任取两份分析学生失分情况，在抽取的试卷中，求至少有一份分数在90，100之间的概率【解答】解：（1）由茎叶图知，分数在50，60）之间的频数为2，频率为0.00810=0.08，全班人数为；所以分数在80，90）之间的频数为2527102=4，分数在50，60）之间的总分为56+58=114；分数在60，70）之间的总分为607+2+3+3+5+6+8+9=456；分数在70，80）之间的总分数为7010+1+2+3+3+4+5+6+7+8+9=747；分数在80，90）之间的总分约为854=340；分数在90，100之间的总分数为95+98=193；所以，该班的平均分数为；（2）将80，90）之间的4个分数编号为1，2，3，4，90，100之间的2个分数编号为5，6，在80，100之间的试卷中任取两份的基本事件为：（1，2），（1，3），（1，4），（1，5），（1，6），（2，3），（2，4），（2，5），（2，6），（3，4），（3，5），（3，6），（4，5），（4，6），（5，6）共15个，其中，至少有一个在90，100之间的基本事件有9个，至少有一份分数在90，100之间的概率是20（12分）已知O为坐标原点，M是椭圆=1上的点，设动点P满足（）求动点P的轨迹C的方程；（）若直线l：y=x+m（m0）与曲线C相交于A，B两个不同点，求OAB面积的最大值【解答】解：（）设点P（x，y），M（x1，y1），由，得x=2x1，y=2y1，因为点M在椭圆圆=1上，所以，故，即动点P的轨迹C的方程为（）由曲线C与直线l联立得，消y得3x2+4mx+2m28=0，因为直线l与曲线C交于A，B两点，所以=16m243（2m28）0，又m0，所以0m212设设A（x3，y3），B（x4，y4），则，因为点O到直线A：xy+m=0的距离d=，|AB|=，所以S=，=2，当且仅当m2=12m2，即m2=6时取等号，所以OAB面积的最大值为221（12分）如图，ABCD是边长为3的正方形，DE平面ABCD，AFDE，DE=3AF，BE与平面ABCD所成角为60（）求证：