2011-2012经济数学期末考试复习

函数-函数概念,例子,例1：确定函数y= 的定义域。,lg(3x-2),1,lg(3x-2) 0,3x-20,3x-2 1,x2/3,x 1,D=(2/3,1) (1,+),例2：确定函数y=arcsin 的定义域。,25-x2,1,x-1,5,+,解：,解：,x-1,5,1,25-x2 0,25-x2 0,-4x 6,|x-1| 5,25-x2 0,-5x 5,D=-4, 5),函数-函数的性质,D为函数f(x)的定义域，如果存在一个不为零的数l ，xD值，xl D，且f(x+l )=f(x) 恒成立，则f(x)叫做周期函数，l 叫做f(x)的周期。 通常，我们说周期函数的周期是指最小正周期。,例1:函数y=sinx, y=cosx, 是周期函数，周期为2 。,4函数的周期性:,定理1 收敛的数列必定有界.,证,由定义,注意：有界性是数列收敛的必要条件，而不是充分条件。,推论 无界数列必定发散.,例7. 设函数,讨论,时,的极限是否存在 .,解:,因为,显然,所以,不存在 .,三、无穷小与无穷大的关系,若,为无穷大,为无穷小 ;,若,为无穷小, 且,则,为无穷大.,则,(自证),据此定理 , 关于无穷大的问题都可转化为 无穷小来讨论.,定理2. 在自变量的同一变化过程中,说明:,机动 目录 上页 下页 返回 结束,一般有如下结果：,为非负常数 ),( 如P23 例5（1） ),( 如P23 例5（2） ),( 如P23 例5（3） ),机动 目录 上页 下页 返回 结束,例4 . 求,解:,时,分子,分子分母同除以,则,分母,“ 抓大头”,原式,机动 目录 上页 下页 返回 结束,内容小结,1. 极限运算法则,(1) 极限四则运算法则,(2) 复合函数极限运算法则,注意使用条件,2. 求函数极限的方法,(1) 分式函数极限求法,时, 用代入法,( 分母不为 0 ),时, 对,型 , 约去公因子,时 , 分子分母同除最高次幂,“ 抓大头”,(2) 复合函数极限求法,设中间变量,机动 目录 上页 下页 返回 结束,二、两个重要极限,(1),(2),定义,三、小结,1.两个准则,2.两个重要极限,夹逼准则; 单调有界准则 .,例4,解,例5,解,定义.,若,则称 是比 高阶的无穷小,若,若,若,若,或,记作,则称 是比 低阶的无穷小;,则称 是 的同阶无穷小;,则称 是关于 的 k 阶无穷小;,则称 是 的等价无穷小,记作,机动 目录 上页 下页 返回 结束,2. 曲线的切线斜率,曲线,在 M 点处的切线,割线 M N 的极限位置 M T,(当 时),割线 M N 的斜率,切线 MT 的斜率,机动 目录 上页 下页 返回 结束,二、导数的定义,定义1 . 设函数,在点,存在,并称此极限为,记作:,即,则称函数,若,的某邻域内有定义 ,机动 目录 上页 下页 返回 结束,运动质点的位置函数,在 时刻的瞬时速度,曲线,在 M 点处的切线斜率,说明: 在经济学中,边际成本率,边际劳动生产率和边际税率等从数学角度看就是导数.,机动 目录 上页 下页 返回 结束,若上述极限不存在 ,在点 不可导.,若,也称,在,若函数在开区间 I 内每点都可导,此时导数值构成的新函数称为导函数.,记作:,注意:,就说函数,就称函数在 I 内可导.,的导数为无穷大 .,机动 目录 上页 下页 返回 结束,2. 设,存在 , 则,3. 已知,则,机动 目录 上页 下页 返回 结束,备用题,解: 因为,1. 设,存在, 且,求,所以,机动 目录 上页 下页 返回 结束,一、四则运算求导法则,定理1.,的和、,差、,积、,商 (除分母,为 0的点外) 都在点 x 可导,且,机动 目录 上页 下页 返回 结束,例如,关键: 搞清复合函数结构, 由外向内逐层求导.,推广：此法则可推广到多个中间变量的情形.,机动 目录 上页 下页 返回 结束,注,1.链式法则“由外向里，逐层求导”,2.注意中间变量,推广,例1,解,四、初等函数的求导问题,1. 常数和基本初等函数的导数,机动 目录 上页 下页 返回 结束,2. 有限次四则运算的求导法则,( C为常数 ),3. 复合函数求导法则,4. 初等函数在定义区间内可导,由定义证 ,说明: 最基本的公式,其它公式,用求导法则推出.,且导数仍为初等函数,机动 目录 上页 下页 返回 结束,例2,解,例5. 设,求,解:,思考: 若,存在 , 如何求,的导数?,练习: 设,机动 目录 上页 下页 返回 结束,例7.,求,解:,例8.,设,解:,求,机动 目录 上页 下页 返回 结束,例10. 设,求,解:,机动 目录 上页 下页 返回 结束,定义.,若函数,的导数,可导,或,即,或,类似地 , 二阶导数的导数称为三阶导数 ,阶导数的导数称为 n 阶导数 ,或,的二阶导数 ,记作,的导数为,依次类推 ,分别记作,则称,机动 目录 上页 下页 返回 结束,一、,存在 (或为 ),定理 1.,型未定式,(洛必达法则),机动 目录 上页 下