模n的剩余类环的子环

模的剩余环的子环作者：* * *讲师：* *模剩余类环是一种特殊的环。模剩余类环为有限交换环、整环和区域提供了丰富的例子。留数类环给出了数论经典结果的纯代数证明，如欧拉函数关系、Eis emstein判别法、无整数根的整数多项式、欧拉定理和费马定理。从代数的观点来看，完全的和简化的留数系统的一些性质是众所周知的。关键词：模剩余环类环的子环的幂等理想介绍环是一个代数系统，基于一个群有两个二元运算。因此，它的许多基本概念和理论是该组相应内容的延伸。同时，环也有一些特殊的问题，如因式分解。模2剩余环子环的性质及其应用2.1基本概念定义2.1.1接受任何正整数，并使其成为一组剩余类。对任何一个来说，定义都是关于这两个运算的环，并且是一个具有单位元的交换环，它被称为模的剩余类环，或者简称为模剩余类环。定义2.1.2对于任何一对，如果一个类中有一个整数和互质，那么这个类中的所有整数都是互质，所以它被称为类和互质。定义一个由2.1.3称为环的非空子集调用的理想子环，假设：。在代数运算中，我们都知道，如果，一定有，相反，如果，一定有或有。戒指里有这样的操作属性吗？我们有：在2.1.4模剩余环的定义中，如果有任何元素，但是，那么被称为左零因子的是右零因子，并且如果左零因子和右零因子都是，那么被称为零因子。定义2.1.5如果一个环中有这样的元素，那么该元素被称为环的单位元素，并被记录为1。定义2.1.6在一个环中，如果它满足：的任意性并且存在，它被称为的逆元素和的倒数。定义2.1.7被设置为任何环，但是是理想的。然后它被称为关于理想的剩余类环(也称为商环或差环)，其中每个元素被称为模剩余类。在2.1.8模剩余环的乘法群中(当它是素数时，环中所有非零元素形成乘法群，当它是复合数时，环中所有可逆元素形成乘法群)，适当的元素称为环的幂等元素。定义2.1.9假设如果有一个原因，它被称为可分的，被表示为因子，被称为倍数。否则，它被称为不可分。2.2剩余环的基本性质定理2.2.1在模剩余环中，如果有。定理2.2.2在中，每个元素的时间都是零。那是。定理2.2.3将规则的必要和充分条件设置如下。2.3剩余环的一般性质利用已有的定义和基本性质，可以得到模剩余环的一些更一般的性质。模剩余环是一个交换环。在模剩余环中，所有的左和右零因子都是零因子。三模剩余环是零因子环的充要条件是质数。如果将4设置为无零因子环(模数大于1)，则加法组中每个非零元素的顺序必须相同。五模剩余环是整环的充要条件是质数。6对于，(1)是以单位元为特征的交换环；(2)环是质数。7-模剩余环的所有子群(对加法)都是循环子群。例如，假设，如果，那么。证明：因为，因此，有一个整数,如果，那么上面的公式显示的是和的公共因子，这与。因此。2.4群有与其子群相同的单位元素，环有与其子环相同的零元素，但子环不一定有单位元素。例如，yes子环没有单位元素，即使子环有单位元素，单位元素也不一定与环的单位元素相同，都是子环，但是的单位元素和的单位元素都不同于的单位元素。2.5素数的充要条件是模的剩余环是一个域。模的每个非零元素都是可逆元素，并且所有非零元素相对于环的乘法形成一组阶。定义域是一个整环，容易证明：当它是素数时此外，素数域的特征数是素数，也是素数。任何素数域的特征数都是0或素数，当它是0时，当它是素数时。3的子环、域和零环3.1定义设一个正整数、一个素数、一个模的剩余类环和一个子环。我们将得到以下结果：(1)设，是一个没有单位元的零因子环；(2)如果，当，它是一个域，那么它是一个零环。(3)如果，它是一个没有单位元素的零因子环。3.2命题证明命题3.2.1如果它是一个素数，那么有序子环就是一个没有单位元素的零因子环。证明序子环，(1)当时，没有单位元，是零元。(2)当时，取、是一个零因子环下列证书是一个没有单位元素的环有单位，有，就是说，得到那么，拿着因为.因此没有准确划分原因。因此，它不是整数，也没有单位。命题3.2.2如果它是一个素数，它是一个大于1的正整数，那么它的次环就是一个域；还有。当时，的顺序子环是一个零环。有序子环的证明(1)当时，它是零环。(2)在那个时候，如果，只要，所以存在，也就是说，没有零因子环，而且它是有限的，所以它是一个域。如果单位元素设置为，那么就有，也就是说，取，取。因为它是一个整数，只要它被正确地选择为一个整数，那么单位元素就可以被获得。命题3.2.3假设一个复合数的序子环是一个无单位环，其因子为零。证明了由于它是复合数、集、取的阶子环，所以它包含零因子。它有单位元素，是的，就是说，(1)设置时，如果有整数解，即整数方程有整数解，那么方程有整数解的充要条件是它与假设不一致，所以没有单位元。(2)假设，在公式中，有一个整数解是整个系数方程有一个整数解，有一个整数解的充要条件是：正因为如此，没有单位元素，因为它没有精确地划分，并且与假设相矛盾。我们还讨论了商环是定义域或无单位元的环的条件。命题3.2.4被设置为正整数，并且是由商环生成的环(是正整数，并且)是一个没有单位元素的零因子环。证明了当时它是一个有限的零环。事实上，当时，拿着，所以它是一个零因子环。如果有一个单位，那么，是的，就是说，拿着，因为.所以没有整数，所以没有单位元素。命题3.2.5被设置为正整数、质数、由生成的环、商环、域和零环。证据集，一点钟，如果，因为，因此，那时，也就是说，所以在你的环中没有零，消去率是有效的，它是有限的，所以它是一个域。让我们设一个单位，如果有相应的单位，我们就能得到它。在2点钟，所以它是一个零环。命题3.2.6被设定为一个正整数和一个复合数，并且是一个由生成的环，那么商环是一个具有零因子且没有单位元素的环。证明是一个台阶环。设定，带，然后所以这是一个零因子的环。它有单位元素。是的，就是这样所以(*)(1)当时使用的是公式(*)。也就是说，与假设相反，找到一个正整数使得整数解成为不存在单位元素的充要条件。4模剩余环的幂等元的存在性4.1假设它是一个模的剩余类环，并且所研究的乘法群(当它是素数时，其中的非零元素是乘法群；当一个复合数有一个中等可逆元素时，我们首先定义它如下。定义：群中适合于=的元素称为环的幂等元素根据定义，群中的单位元是幂等元，显然有相反，如果环是幂等元，它必须是乘法群的单位元。例如，一元组的单位元素。例如，通过测试，确定低阶模的剩余类环的幂等元并不困难。总的来说，在模块的剩余环中可以考虑以下因素。设施环中的幂等元，所以，我们有(1)因此(2)也就是说，和是一个素数，相邻的整数；如果它是一个整数，是的，如果它是一个复合数，我们也可以分别设置n=，一个不被考虑的幂等元(即，e既不是环的零元也不是环的单位元)，或者一个因子的倍数；此时，我们可以考虑取这个因子的倍数来判断它是否是环的幂等元。例如，假设，如果我们接受，那么首先我们有9(9-1)0或一个幂等元素；其次，由于9和(9-1)=8是质数，适用于公式(2)的两个相邻的整数64和63可以通过将它们分别加到上述公式的两端来计算和获得，因此公式中的另一个幂等元10可以从。对于上述两个幂等元9和10，很容易看出它们也有以下有趣的性质：10 91()，1090()因此，我们有以下几点4.2命题：设R是一个有单位元的环，如果它是非零非单位元的幂等元，那么它也是一个幂等元并具有性质：证明，事实上，从是一个幂等元素；又嘿。所以这个命题被证明了。利用这个命题，我们可以很容易地从一个非零非单位幂等元中找到另一个幂等元例如，如果已知=13是一个幂等元素，它由下式确定F=1-e=1-13=-12=14(模n)所以=14也是一个幂等元素的命题，我们也可以得到下列关于幂等元素和元素之间的另一种关系的结果：设n=，且幂等元素为或其倍数，则中的每个元素都可以表示为幂等元素之和的唯一组合：(* *)其中幂等元素的系数和幂等元素的系数，例如，在上面，=26=132，幂等是13；如果=17，则(* *)具有其中还有。上面讨论了模的剩余环中幂等元的存在性和解。那么，对于给定的整数，哪个模可以是模的剩余环的幂等元？要成为的幂等元，您应该具有：因此，对于一个给定的整数，取因子1，我们可以确定包含在模的最小非负剩余系统中的幂等元的群。为此，我们做出(4)然后(1)以幂等元为单位元的1)Zn中的乘法群；(2)在R中属于G的元素必须是R和G共有的单位元素的逆元素。为此，顺序：它是满足要求的乘法群，由r的可逆元素组成，并且包含幂等元素。例如，如果=25，那么n是一个因子。我们不妨设定=30，那么显然有，并按(4)式：因此，不难判断r中单位元素=25的可逆元素是5，25对于包含幂等元=25的乘法群。到目前为止，上面关于模n及其乘法群的剩余环类的讨论已经解释了群和环之间的一些关系。幂等元由群的单位元导出，并给出了如何确定群中的幂等元。另一方面，对于给定的整数，也有可能确定幂等元的交换和它们形成的乘法群。五模剩余环的理想结论：模剩余环的所有理想都是主理想。证明了对于循环子群(加法)，根据理想定义，存在1)；2)同样的方式；因此，作为一种理想，它显然是主要的理想。从上述定理的证明过程可以看出，的所有循环子群(加法)加乘法是模剩余类环的主要理想。定理5.1一个环有并且只有t()个子环(其中t()代表正因子的个数)，并且是一个循环的环，因此它的子环、子环和理想是一致的。定理5.2如果它是模余环状的，那么(1)如果素数是一个域，则只有零理想和单位理想；(2)域()是一个极大理想的充要条件。证据(1)显然成立。(2)从上述定理6可知，定义域是素数的充要条件。因此，证明()是素数的最大理想是唯一必要且充分的。因为它是一个具有单位元的交换环，所以它被认为是一个主要的理想。如果()是极大理想，如果它不是质数，它一定是，所以，是的，它真的包含()的理想。从()可知它是一个极大理想。然而，它是矛盾的，所以它是一个质数。相反，如果它是一个质数，它是理想的并且存在。因为它是质数，所以它是质数和余数6个剩余环的应用本节介绍数论的经典结果，如欧拉函数关系、艾森斯坦判别法、无整数根的整数系数多项式、欧拉定理和费马定理等。被证明是纯代数。从代数的角度观察了众所周知的完全和简化的剩余系统的一些性质。定理6.1(欧拉函数关系)是欧拉函数。当时有。什么时候，和，所以。注：为方便起见，下列函数为欧拉函数。定理6.2(艾森斯坦判别式):被设置为整数系数多项式，如果有素数，则满足条件：1)P不可分；二)P |()；Iii)如果它是不可分的，那么它是不可约的。证明的第一级，表示模剩余类，现在在中间可约中被颠倒，其中。嘿。所以，另一方面，因为|()是不可分的，因此，有，这个解释的常数项，常数项，所以|，所以|，这与不可分是不一致的，所以它是不可约的。定理6.3(无整数根的整数系数多项式):被设置为整数系数多项式。如果和是奇数，那么就没有整数的根。表示模2剩余类的证明顺序改为整数根。或者，如果有的话，有一个2|矛盾。因此，如果有，就有一个2|矛盾。因此，逆是无效的，也就是说，没有整数的根。定理6.4(欧拉定理)被设置为大于1的整数。证明也是，一个-U(Z/(n)，但是单位群的阶是，所以，也就是，所以。定理6.5(费马定理)是质数。如果证明是由欧拉定理获得的，那么，如果，那么，因此。从代数的角度观察完整和简化的剩余性质。定理6.6被设定为模的完全剩余系统，也是如此完整的模块剩余系统。这种证明是以主体为基础的，并且是主体可逆的。因此，它是一个完整的模块剩余系统。定理6.7被设定为一个简化的模剩余系统，它也是一个简化的模剩余系统。证明是一个简化的剩余系统的模块，因为问题是已知的和可逆的。结束语模余类环是一种比较彻底的特殊环。模剩余类环为有限交换环、整环和区域提供了丰