课题学习：猜想、证明、拓广[上学期]--北师大版

课题学习,猜想,证明与拓广,挑战“自我”,猜想,证明与拓广,1.任意给定一个正方形,是否存在另一个正方形,它的周长和面积分别是已知正方形周长和面积的2倍?,2.你准备怎么去做?3.你有哪些解决方法?,挑战“自我”,解:设给定的正方形边长为a,则其面积是a2.,猜想,证明与拓广,若周长倍增,即边长变为2a,则面积应为4a2;,若面积倍增,即面积变为2a2,则其边长应为a.,无论从哪个角度考虑,都说明不存在这样的正方形.,挑战“自我”,猜想,证明与拓广,任意给定一个矩形,是否存在另一个矩形,它的周长和面积是已知矩形周长和面积的2倍?,老师提示:矩形的形状太多了我们可以先研究一个具体的矩形,比如长和宽分别为2和1,怎么样?,挑战“自我”,由特殊到一般,解:如果矩形的长和宽分别为2和1,那么其周长和面积分别为6和2.,所求矩形的周长和面积应分别为12和4.,接下来该怎么做?你有何想法?,有两种思路可供选择:先从周长是12出发,看面积是否是4;或先从面积是4出发,看周长是否是12.,挑战“自我”,(1)从周长是12出发,看面积是否是4;如果设所求矩形的长为x,那么它宽为6-x,其面积为x(6-x).根据题意,得x(6-x)=4.即x2-6x+4=0.如果这个方程有解,则说明这样的矩形存在.解这个方程得:,猜想,证明与拓广,结论:如果矩形的长和宽分别为2和1,那么存在另一个矩形,它的周长和面积是已知矩形周长和面积的2倍.,挑战“自我”,(2)从面积是4出发,看周长是否是12.解:如果设所求矩形的长为x,那么宽为4/x,其周长为x+4/x).根据题意,得x+4/x=6.即x2-6x+4=0.显然这个方程有解,由此说明这样的矩形存在.解这个方程得:,猜想,证明与拓广,结论:如果矩形的长和宽分别为2和1,那么存在另一个矩形,它的周长和面积是已知矩形周长和面积的2倍.,挑战“自我”,由特殊到一般,如果已知矩形的长和宽分别为3和1,是否还有相同的结论?如果已知矩形的长和宽分别为4和1,5和1,n和1呢?更一般地,当已知矩形的长和宽分别为m和n时,是否仍然有相同的结论?还等什么！用实际行动证明.,由特殊到一般,挑战“自我”,分析:如果矩形的长和宽分别为m和n,那么其周长和面积分别为2(m+n)和mn,所求矩形的周长和面积应分别为4(m+n)和2mn.从周长是4(m+n)出发,看面积是否是2mn;解:如果设所求矩形的长为x,那么它宽为2(m+n)-x,其面积为x2(m+n)-x.根据题意,得x2(m+n)-x=2mn.即x2-2(m+n)x+2mn=0.解这个方程得:,若从面积是2mn出发,可得同样的结论.,挑战“自我”,结论:任意给定一个矩形,必然存在另一个矩形,它的周长和面积是已知矩形周长和面积的2倍.,猜想,证明与拓广,老师期望:同学们,把自己对上述探究过程中的方法和感受与同伴进行交流,这样会使受益匪浅.,老师提示:在探索结论:“任意给定一个矩形,必然存在另一个矩形,它的周长和面积是已知矩形周长和面积的2倍.”的过程中,我们经历了猜想,由特殊到一般的尝试,证明,拓广的全过程,从而得到了一般性的结论.,任意给定一个矩形,是否一定存在另一个矩形,它的周长和面积分别是已知矩形周长和面积的一半?你准备怎么去做?,猜想,证明与拓广,挑战“自我”,小明认为,这个结论是正确的,理由是:既然任意给定一个矩形,必然存在另一个矩形,它的周长和面积是已知矩形周长和面积的2倍.也就是任何一个矩形的周长和面积可以同时“加倍”,那么,原矩形自然满足新矩形的“减半”要求,即原矩形的周长和面积分别是新矩形周长和面积的一半.,猜想,证明与拓广,小明认为,这个结论是正确的,理由是:既然任意给定一个矩形,必然存在另一个矩形,它的周长和面积是已知矩形周长和面积的2倍.也就是任何一个矩形的周长和面积可以同时“加倍”,那么,原矩形自然满足新矩形的“减半”要求,即原矩形的周长和面积分别是新矩形周长和面积的一半.,挑战“自我”,如果矩形的长和宽分别仍为2和1,那么是否存在一个矩形,它的周长和面积分别是已知矩形的周长和面积的一半?如果已知矩形的长和宽分别为3和1,是否还有相同的结论?如果已知矩形的长和宽分别为4和1,5和1,n和1呢?,挑战“自我”,由特殊到一般,解:如果矩形的长和宽分别为2和1,那么其周长和面积分别为6和2,所求矩形的周长和面积应分别为3和1.设所求矩形的长为x,那么它宽为1.5-x,其面积为x(1.5-x).根据题意,得x(1.5-x)=1.即2x2-3x+2=0.如果这个方程有解,则说明这样的矩形存在.由b2-4ac=32-422=-70,知道这个方程有实数根:,结论:如果矩形的长和宽分别为6和1时.存在另一个矩形,它的周长和面积分别是已知矩形周长和面积的一半.,挑战“自我”,由特殊到一般,解:如果矩形的长和宽分别为m和n,那么其周长和面积分别为2(m+n)和mn,所求矩形的周长和面积应分别为m+n和mn/2.设所求矩形的长为x,那么它宽为(m+n)/2-x,其面积为x(m+n)/2-x.根据题意,得x(m+n)/2-x=mn/2.即2x2-(m+n)x+mn=0.由=b2-4ac=(m+n)2-42mn=m2+n2-6mn.知道只有当m2+n26mn时,这个方程才有实数根:,结论:如果矩形的长和宽满足m2+n26mn时.才存在另一个矩形,它的周长和面积分别是已知矩形周长和面积的一半.,挑战“自我”,神奇的反比例函数,同学们,我们已经知道用反比例函数可以解答世界数学难题:化圆为方,倍立方体.今天我们再来读一读P153反比例函数的又一个杰作.,换一个角度看,数学真奇妙,知识的升华