看图理解极限

观察图,数列an=1/n,当变量 .而且n越接近,数列值越接近0,即存在N,当nN时, 不等式成立,观察正弦图,但,y=sinx仍然是周期函数,函数值在-1,1之间波动,并不趋向某固定值.如果取X=,观察随k最大，这些逐渐靠近，他们对应的函数值 ，取值a=1，这些X=变量的函数值都满足不等式，即使不等式成立的a=1，所以当x=这些变量逐渐靠近时，它们对应的函数值y=1，逐渐趋向值a=1.在正弦图上标出点坐标（，sin（），看看这些点的函数值变化趋势。如果取x=,观察随k最大，逐渐靠近，他们对应的函数值 存在值a=0，这些变量对应的函数值满足不等式，即有成立。即x=这些变量的函数值值趋向于0。在正弦图上标出点坐标（，sin（），看看这些点的函数值变化趋势。总结，当不存在一个固定的a，使所有变量对应的函数值都能使不等式成立，所以函数无极限,或者说变量的函数趋向不同值，那么函数值不存在极限。思考题1：，函数值有没有极限 ，有界，如果不看图的值变化趋势很难判断如果 随k最大，逐渐靠近0点，他们对应的函数值 当值a=1，这些变量的函数值都满足不等式，即使不等式成立的a=1。随着k增大，这些逐渐靠近0点，这些变量对应的函数值y=1，趋向值a=1.在图上标出这些点（，sin），看看这些点的函数值变化趋势。如果 随k最大，这些也是逐渐靠近0点这些变量对应的函数值， 存在值a=0，这些变量的函数值满足不等式，即有成立。这些变量的函数值值趋向于0。在图上标出这些点（，sin），看看这些点的函数值变化趋势。总结，当变量的函数值有些是趋近1，有些是趋近0，变量对应的函数值不是趋近一个固定的a值，或者说不存在一个固定的a，当使所有变量对应的函数值满足不等式，所以函数无极限。或者说当不同变量的函数值趋向于不同固定值时，函数无极限。它与y=sinx的图像有非常大的区别，是一条周期变化的的曲线，越接近原点周期越小，从图也可以直观看到当函数值或大或小，或正或负变化，并不趋向某个值a思考题2：，函数值有没有极限，有界，如果不看上边的图，乘积的值变化趋势很难判断如果找特殊值当k充分大时，这些变量可充分接近0点，他们对应的函数值函数值可以大于任何一个确定数M，这些变量对应的函数值无界，在图上标出这些点（，sin），看看这些点的函数值变化趋势。如果找特殊值 当k充分大时，这些变量可充分接近0点，这些变量的函数值 =0，图上标出这些点（，sin），看看这些点的函数值变化趋势。结论： 即变量在靠近0点时，对应的变量函数值或大或小，函数值并不随着趋向某个固定值a，当找不到一个固定值a，使每一个变量对应的函数值满足不等式，所以，函数没有极限。从图也可以直观看到当函数值并不趋向某个值a。结合这个现象来证明：函数在某个邻域有两个极限值，则函数在该邻域中无极限假设函数两个极限：x趋近x0时有极限A和 B,即x趋近x0,lim f(x) = A, lim f(x) = B,且 A 0.根据极限定义: 因为Lim f(x) = A,对给定的正数 = ( B - A ) / 4 0.（因为任意小为任意值，所以可设定为一个固定值）一定存在 1 0,使适合不等式 0 | x - x0 | 1 的一切x所对应的 f(x),恒有 | f(x) - A | 0, 使适合不等式0 | x - x0 | 2 的一切x所对应的 f(x) 恒有| f(x) -B | ( B - A) / 4.现取 = min 1, 2 , 那么适合不等式0 | x - x0 | 的一切x, 可使两个不等式| f(x) - A | (B - A)/ 4，| f(x) -B | ( B - A) / 4 同时成立，如果把f(x) A看做向量，| f(x) - A |就是向量模（边长），把f(x) B看做向量，| f(x) - B |就是向量模（边长），把（B - f(x) + f(x) A）看做两个向量差， | B - f(x) + f(x) - A |就是向量差的模（第三边边长），根据绝对值不等式性质（两边长之和大于第三边长） 从而有 B - A = | B - f(x) + f(x) - A | = | f(x) - B | + | f(x) - A | (B - A ) /2得:B - A 0,使适合不等式 0 | x - x0 | 1 的一切x所对应的 f(x),恒有 | f(x) - A | 0, 使适合不等式0 | x - x0 | 2 的一切x所对应的 f(x) 恒有| f(x) -B | 现取 = min 1, 2 , 那么适合不等式0 | x - x0 | 的一切x, 可使两个不等式| f(x) - A | ，| f(x) -B | 同时成立，根据绝对值不等式性质（两边长之和大于第三边） (4)求极限分析