矩阵知识点归纳VIP

矩阵知识点的归纳(1)二阶矩阵与变换1.线性变换与二阶矩阵在平面直角坐标系xOy中，由(其中a，b，c，d是常数)组成的变换称为线性变换。由四个数字a、b、c、d形成的平方数表被称为二阶矩阵，其中a、b、c、d被称为矩阵的元素，并且该矩阵通常由大写字母a、b、c，或(aij)(其中I、j分别是元素aij的行和列)。2.矩阵乘法行矩阵a11a12和列矩阵的乘法规则是a11a 12=a11b 11 a12b 21，二阶矩阵和列矩阵的乘法规则是=。矩阵乘法满足组合法则，但不满足交换法则和消去法则。3.几种常见的线性变换(1)常数变换矩阵m=；(2)对应于旋转变换R的矩阵是m=；(3)反射变换取决于哪条直线是对称的。例如，如果它关于x轴对称，变换对应矩阵是m1=；如果Y轴对称，变换对应矩阵为m2=；如果它关于坐标原点对称，则变换对应矩阵m3=；(4)对应于外延变换的二阶矩阵m=，意味着每个点的横坐标变为原始k1倍，纵坐标变为原始k2倍，k1和k2是非零常数；(5)投影变换取决于投影哪条直线，例如，投影变换在X轴上的矩阵是m=；(6)剪切变换取决于它被平移的方向。如果它沿X轴平移|ky|个单位，则对应的矩阵M=，如果它沿Y轴平移|kx|个单位，则对应的矩阵M=。(其中K是非零常数)。4.线性变换的基本性质设向量=，并指定乘积 =，它是实数和向量的乘积；设向量=，=，指定向量和 =的和。(1)如果m是二阶矩阵，和是平面上的任意两个向量，是任意实数，那么 m ( )= m， m ( )=m m。(2)对应于二阶矩阵的变换(线性变换)将平面上的直线变换成直线(或点)。(2)矩阵的逆矩阵、特征值和特征向量1.矩阵的逆矩阵(1)一般来说，让是一个线性变换。如果有一个线性变换，所以 = =I，那么变换是可逆的，是的逆变换。(2)设A为二阶矩阵。如果有一个二阶矩阵B，使得Ba=AB=E，那么矩阵A被认为是可逆的，或者矩阵A被认为是可逆的，而B被认为是A的逆.(3)(性质1)设A为二阶矩阵。如果A是可逆的，A的逆矩阵是唯一的。A的逆矩阵表示为A-1。(4)(性质2)设A和B是二阶矩阵。如果A和B都是可逆的，那么AB也是可逆的，(AB)-1=B-1A-1。(5)已知a，b，c是二阶矩阵，ab=AC。如果矩阵a有逆矩阵，b=c。(6)对于二阶可逆矩阵a=(ad-BC 0)，其逆矩阵为a-1=。2.二阶行列式与方程的求解对于x和y的一阶二元方程组，我们称之为二阶行列式。其运算结果是一个数值(或多项式)，记录为det (a)=ad-BC。如果方程组中的行列式写成D、Dx和Dy，那么当D0时，方程组的解为3.二阶矩阵的特征值和特征向量(1)特征值和特征向量的概念设A为二阶矩阵。如果实数有非零向量，那么= ，称为=的特征值，称为属于特征值的特征向量。(2)特征多项式设是二阶矩阵A=的一个特征值，它的一个特征向量是=，然后A=，也就是(*)定义：设a=是二阶矩阵，R，我们称行列式f()=2-(a d)ad-BC为a的特征多项式(3)矩阵特征值和特征向量的求解如果是二阶矩阵a的特征值，必须是二阶矩阵a的特征多项式的根，即f ()=0。在这种情况下，将代入一元方程组(*)，可以得到一组非零解，因此非零向量是属于a的的特征向量。所有变换矩阵单位矩阵：变形，将原始图形的纵坐标减少到原始时间，横坐标不变将点转化为反射变换：点在变换前后变换成轴对称点的变换在变换前后关于轴是对称的点的变换关于变换前后的原点是对称的。点的变换是关于变换前后的直线对称的旋转变换：逆时针：顺时针：旋转变化矩阵也可以设置为：投影变换：:将坐标平面上的点垂直投影到轴上将点转化为:将坐标平面上的点垂直投影到轴上将点转化为:将坐标平面上垂直于轴方向的点投影到将点转化为:将平行于轴方