空间几何体的表面积及体积公式大全

空间几何的表面积和体积的计算公式一、总(表)面积(包括侧面积)1、柱体棱柱圆柱2、锥体角锥：圆锥：三、台体奥萨马：圆锥台：4、球体球：球冠：略球缺：略二、体积1、柱体棱柱圆柱2、锥体角锥圆锥三、台体奥萨马圆锥台4、球体球：球冠：略球缺：略说明：棱锥、棱锥台在计算侧面积时使用侧面斜高计算的圆锥，圆锥台的侧面积计算使用母线计算。三、扩大提高1、祖历原理：(祖历：祖冲之子)夹在两个平行平面之间的两个几何在任意高度的平行截面面积相等时，其体积相同。最初导出球体体积的祖先冲的父子，使用这个原理来实现。2、阿基米德原理：(圆柱容积球)圆筒容积球的原理：在高度和底面直径相同的圆筒形容器中放入最大的球体，球体的全面积等于圆筒侧面的面积，体积等于圆筒的体积。分析：圆柱体积：圆柱侧面积：因此，球体体积：球体表面积：通过以上分析，我们可以得到重要的关系(图)。=也就是说，底面直径和高度相等的圆柱体积等于与其相同底部高度的圆锥相同直径的球体积之和3、台体体积式公式：证明：通过台体上下两底面中心线的纵剖面为梯形。两侧棱延长，在一点相交。设基座上底面积为下底面积高高为。易知：2222222222222222652则从相似三角形的性质即，(类似比等于面积比算术平方根)整理：基体的体积=大锥体的体积-小锥体的体积2220赋值：是：即，即22204 .球体体积公式的推导分析：将半球平行分成相同高度的几层()，越大，各层越接近圆柱体时，各层可视为圆柱体。 这些圆柱的高度各圆柱体积=半球的体积等于这些圆柱的体积之和。半球体积：=当时2220球体积如下所示5 .球体表面积公式的导出分析：球体可以切割成几个()近似棱锥。 此时，这些棱锥的高度为球的半径，底面积为球的面积，每个棱锥的体积为所有小棱锥的体积之和为球的体积。 那是有的：22206、六面体(立方体)和正四面体(1)体积关系图：立方体切成四个三角锥后其馀的部分是正四面体如果立方体的角长，体积如下：在四角截取的三角锥体积如下：中间残留的正四面体的体积这样的立方体可以分为四个三角锥和中间的正四面体即，即(2)拆下球立方体具有与体内最大的正四面体相同的外球。 (理由：过了4分没有见面之后球就决定了。 )立方体及其体内最大的正面体有4个共同顶点。 这就是为什么我们分享球的原因。回顾：二点定线三点定面三点定圆四点定球图：(a )立方体的体对角线=球径(b )正四面体外球半径=高(c )正四面体奥萨马长度=立方体奥萨马长度(d )立方体体积：正四面体体积=3:1(e )正方形体外球半径和正四面体的外球半径相等(3)立方体内接球与正四面体的关系(a )立方体内接球直径=立方体投影仪长度(b )立方体内接球与正四面体的四个棱相接。(c )与正四面体的四个棱相接的球半径=立方体的奥萨马长度的一半(d )设正四面体的奥森长度为，与其棱相接的球半径为有：7 .利用祖历原理推导球体体积。建立几何图形，使截面在任何地方都与半球截面相等，可以根据祖历原理使两物体的体积相等。证明：在底面的半径和高度相同的圆柱中挖掘与圆柱等底部相同高度的圆锥。 图：在挖掘半球和圆锥后的组合体的同一截面上研究的话，圆柱和半球底面半径，截面高度，倒圆锥的截面半径，半球截面半径挖出圆锥体后，组件的截面如下所示半球截面积逆圆锥的底面半径和高度相等，容易从相似三角形得到在半球内，从毕达哥拉斯定理简单得出2220也就是说，半球与挖掘倒圆锥的圆柱在同一高度具有相同的截面。从祖历的原理可以得到：半球的体积即球体体积：8、立方体和球(1)立方体的内接球立方体奥萨马球的直径(2)立方体的外接球立方体的体对角线球体的直径(3)规则：立方体的内接球和外接球的球心是同一点立方体的内接球和外接球的球心在身体的对角线上正四面体内接球与外接球半径之比正四面体内接球与外接球体积比： 13正四面体内接球与外接球表面积之比： 13立方体外球半径、立方体角长、内接球半径比：2 :正四面体外接球、正四面体、内接球体积比：正四面体外接球、正四面体、内接球表面积比：9、正四面体和球(1)正四面体内接球解决问题的关键：利用体积关系思考内接球的球心到各面的距离相等，球心与各顶点的连接正好将正四面体分为四个三角锥，各三角锥的底面为原正四面体的底面，内接球的半径较高。利用体积关系所以：其中是正四面体的高度。从相关计算2220即，即2220(2)正四面体外球球的半径=。2220(3)规则：正四面体的内接球和外接球的球心是同一个点正四面体的内接球和外接球的球心在高线上正四面体的内接球和外接球的半径之和较高正四面体内接球与外接球半径之比等于13正四面体内接球与外接球的体积比：1:27正四面体内接球与外接球表面积之比：1:9正四面体外球半径、正四面体的角长、内接球半径比：12 :正四面体外接球、正四面体、内接球体积比：正四面体外接球、正四面体、内接球表面积比：十、圆柱和球(1)圆筒容积球(阿基米德圆筒容积球模型)圆柱高度=底面直径=球体直径球体体积=圆柱体积球面面积=圆柱侧面积(2)球容圆柱球体的直径、圆柱的高度、圆柱底面的直径构成直角三角形。球体的半径为，圆柱的高度为底面半径为其中包括：四、方法总结举例说明立体几何学的学习方法例如，已知正四面体的奥桑长度可以求出内接球和外接球的半径ef.fo.oc.cd.d乙组联赛a.a构想：首先分析球心的位置。 正四面体是特殊的四面体，因此很明显内接球和外接球的球心重合。 是正四面体的高线交点。 球心与几个特殊点、线、面的位置、数量的关系分析。 在内接球的情况下，球心垂直于各面，在拆除到各面的距离相等的球的情况下，从球的中心到各顶点的距离相等。方法1 :展平分析：(最重要的方法)图：取立体图形中的重要平面图形进行分析！连接DO，交点平面ABC向点g延长，连接g乙组联赛a.ac.cd.dego.o如果连接d在点e延长交叉点BC，则a、g、e这3点成为同一直线。在平面AED中，从类似的知识中得到然后222222222222卡卡卡卡卡卡卡653即，即方法2 :体积分析：(最灵活的方法)图：将正四面体ABCD的内接球心作为连接AO、BO、CO、DO分为正四面体完全相同的三角锥。设内接球半径为，正四面体的奥萨马长度为正面四体的高度a.a乙组联赛OO先生d.dc.c四个完全相同的三角锥体积=正四面体体积有：22202220方法3 :方程分析：(最常见的方法)图： ba.ac.cd.do.o很明显，AO、DO为外球半径，o为内球半径。在RtDO中，采用以下的方程式其中：将方程式代入，方法4 :补形分析(最巧妙的思考)用正四面体补充立方体进行分析。 图：此时，正四面体具有与正四面体共同的外接球。正四面体的奥森长度是立方体的奥森长度这将是：立方体的外接球的直径是它身体的对角线2220正四面体的外接球半径如下所示内接球半径如下所示方法5 :坐标分析(最意外的解法)创建一个如图所示的空间正交坐标系a (0，0 )、b (0，0 )为c (，0 )，d (，0 )，球心位置为o (，)原因：即，即=解得：即：2220主要方法：一、统一思想1、式的统一对于每个几何体的面积和体积公式，我想知道万能公式适用于所有的身体，这是理想的情况，实际上是不可能的，至多只适用于一部分。 尽管如此，只能减少我们对公式记忆的困难，提高学习的灵活性。(1)梯形的面积式：同样适用于三角形、平行四边形、长方形、正方形、扇形的面积计算。 只是在使用时进行微调。 分析三角形，分析上底为0的长方形、正方形、平行四边形，分析上下底相同的扇形时，上底为0，下底为弧长，高度为半径。(2)台体的侧面积式：同样适用于圆柱、棱柱、圆锥、棱锥、球的侧面积计算。 只是在使用时进行微调。 分析圆柱、棱柱时，如果分析上下底的周长相同的金字塔，则上底的周长为0。分析圆锥时，上底周长为0，斜高分析成为母线的球体的面积时，上下底取最大圆的周长，提高直径时如下所示(3)台体的体积式：同样适用于圆柱、棱柱、圆锥、棱锥、球的体积计算。 只是在使用时进行微调。 分析圆柱、棱柱时，分析上下底面积相同的金字塔，分析上底面积为0的圆锥，分析上底面积为0的球体的体积时，上底面积为0，下底面积为最大圆面积的2倍，高取直径如下2、文字统一进行分析时，一般要统一文字，以便于比较！三.关系的统一请注意类似关系：面积比等于类似比的平方，体积比等于类似比的三次方。 球体，立方体，正多面体相似！二、转变思想1 .平面和立体的转换这是立体几何学的重要思想，跨平面解决立体问题。 但是，要在特殊的面上进行，也有将面与面的关系传递给线和线进行分析的情况。 如二面角大小的研究所示，通常分析为与两面的交线垂直的直线。 异面直线的关系也要向同一个方面偏移研究。 平行于立体与平面转换是一种实用的手段。 平移不在同一平面内的可转换为同一平面内，不垂直的可转换为垂直来分析！2 .位置的转换3、身体的转换三、特殊思想1、特殊点(1)中点：特殊线的中点是解题的关键！ 请特别注意！(2)顶点：几何的顶点也是重点，其连接有助于分析。(3)下垂：高和面的交点是比较特殊的点，解决问题时也要注意！2、特殊线(1)高线(2)中线(3)平分线3、特殊面(1)平行面(2)垂直面(3)二面角的特殊面四、特殊关系(1)类似关系(2)比率关系四、标准化思想一、三视图规则2、斜二测量法规3 .空间直角坐标规则严格遵守工程部修理工的岗位责任1、公司职工规范和各项规章制度，遵从指导班的安排。