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文档简介

用导数方法求圆锥曲线的切线求解函数图象上过某点的函数图象的切线的方程，是导数的一个重要应用。有心圆锥曲线一般情形下都不是函数图象，所以习惯上，一般我们不用导数方法求解圆锥曲线的切线问题，而是利用传统的方法，即判断直线和圆锥曲线方程所组成的方程组的解的情况来解决，但是有时候这种解法会比较烦琐，特别是含有参数的时候计算量较大。而我们可以将圆锥曲线分成“几个函数”来分别讨论，这样就可以实现用导数的方法来求曲线的切线了。本文将用导数的方法证明一个有心圆锥曲线的性质。引理1：过椭圆上任意一点的该椭圆的切线方程为；证明：我们先考虑当，当时,，同理可得其过的切线方程为 ，从而引理1得证！引理2：过双曲线上任意一点的该双曲线的切线方程为；证明：,而即为过的切线的斜率，所以切线方程为整理得进而有；类似的，当时,，其过点的切线方程仍然为， ，从而 引理2成立！对于焦点在轴上的椭圆和双曲线，类似的可以得到相同的结论。引理3：过圆上一点的该圆切线方程为；此为课本结论，用导数的方法也可以求得，这里就不再赘述。由此，我们得到了有心圆锥曲线的一个与切线有关的非常美妙的性质！定理：对于二次方程所表示的曲线，设其上任意一点为，那么过点P且与已知曲线相切的直线方程为.由图象平移法则，我们很容易得到一个更一般的结论！推论：对于二次方程所表示的曲线，设其上任意一点为，那么过点P且与已知曲线相切的直线方程为。本文只是讨论了过已知曲线上一个定点求曲线切线的情形，对于更一般的情形还有待进一步的探索。当然，我们无意挑战用“方程的方法讨论直线与圆锥曲线位置关系”的基础地位，我们所提供的只是一种新的尝试，一
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