简单的线性规划问题

简单线性规划问题学习目标 1.理解线性规划的意义和制约条件、目标函数、可行解、可行域、最优解等基本概念.2.理解线性规划问题的图式解法，并应用它来解决简单的现实问题.知识点线性规划中的基本概念名字有意义约束条件关于变量x，y的一次不等式(组)线性约束关于x，y的一次不等式(组)目标函数与求出最大值或最小值变量x、y相关的函数解析式线性目标函数关于变量x、y的一次解析式可行解满足线性约束的解(x，y )可执行域由所有可能的解组成的集合最优解使目标函数取得最大值或最小值的可执行解线性规划问题线性约束求线性目标函数最大值或最小值的问题知识点二线性规划问题1 .目标函数的最大值对应于线性目标函数z=ax by (b0 )倾斜切片式的直线方程式表示y=-x，y轴上的切片表示z变化时，方程式表示相互平行的直线的集合.b0、截距最大时，z取最大值，截距最小时，z取最小值b0、截距最大时，z取最小值，截距最小时，z取最大值2 .解决简单线性规划问题的一般程序在确定线性约束条件和线性目标函数的基础上，解决简单线性规划问题的步骤有“图画、移动、求解、回答”四个步骤，即(1)图：基于线性约束条件，在平面直角坐标系中，正确地描绘可执行区域所表示平面图形，可执行区域可以是封闭的多边形，也可以是单侧开放的无限大的平面区域.(2)移位：运用数形结合的思想，平行移动目标函数表示的直线，最初通过或最后通过的顶点(或边界)为最佳解(3)求出：解方程式求出最佳解，进而求出目标函数最大值或最小值.(4)a :写答案知识点三简单线性规划问题的实用化1 .线性规划的实际问题类型(1)给予一定数量的人力物资资源，如何运用这些资源，使完成的任务量最大化，使收到的利益最大化(2)给予一项任务，如何调整，并询问完成这项任务所消耗的人才、物资资源量最小化常见问题包括：物资调动问题例如，要知道两个煤矿的年产量，煤要经由两个车站运到地方。 两个车站的运输能力有限。 另外，知道两个煤矿运往两个车站的运价。 煤矿如何制定调动方案，最小化总运费？产品安排问题例如，某厂生产甲、乙两种产品，生产一家公司的甲种或乙种产品所需的a、b、c三种材料的数量，该厂每月能提供的三种材料的限度都是已知的，该厂如何安排每月生产这两种产品，使每月获得的总利润最大化？下载问题例如，要把长钢管切成两个规格的钢管，怎样才能使损失最小？2 .求解线性规划实用问题的步骤(1)模型的制作：正确理解问题的意义，将一般文字语言转换为数学语言，制作数学模型，在学习例题的解答时，需要充分理解例示的模型的制作方法(2)模型求解：绘制可行域，结合建立的目标函数特征，选取可行域中的特殊点作为最优解(3)模型的应用：将求得的结论反馈给具体实例，设计最佳方案问题类型求线性目标函数的最大值例1在已知变量x、y满足制约情况下，z=3x y的最大值为()A.12 B.11C.3 D.-1答案b图中的阴影部分是与约束条件对应的可执行区域，在直线y=-3x z通过点a时，z取得最大值，此时，z=3x y=11 .如果跟踪训练1 (1)x和y满足约束条件且z=y-ax取最大值的最佳解不是唯一的，则实数a的值为()a .或-1 B.2或C.2或1 D.2或-1(2)如果变量x、y满足限制条件，则z=3x y的最小值为_。答案(1)D (2)1如分析(1)图所示，从y=ax z到z的几何意义是直线在y轴上的截距因此，在a0情况下，如果z=y-ax取最大值的最佳解不唯一，则a=2；在a0情况下，如果z=y-ax取的最大值的最佳解不唯一，则a=-1 .(2)如图所示，当目标函数z=3x y，即y=-3x z超过点(0，1 )时，z取最小值1，其中，可以根据题意创建约束条件.问题型2非线性目标函数的最大值问题例2实数x、y满足制约条件(1)x2 y2的最小值(2)的最大值解图描绘不等式组表示的平面区域ABC(u=x2 y2时，其几何意义是可执行区域ABC内任意点(x，y )与原点的距离的平方.如果将通过原点直线x 2y-4=0设为垂线y=2x，则为脚踏的解，即又得到了c因此，由于脚垂到线段AC延长线上，所以从可执行区域内的点到原点的距离的最小值为|OC|=。因此，x2 y2最小值为(2)v=，其几何意义如从连接可执行区域ABC内的任意点(x，y )和原点的直线l的斜率v、即v=.图表可知，直线l通过可执行区域内的点c时，v最大从(1)中知道cvmax=，所以最大值为跟踪训练2知道x，y满足限制条件(x 3)2 y2的最小值是_。答案10(x 3)2 y2即分析点a (-3，0 )和可能区域内的点(x，y )的距离的平方并绘图AC2=(0 3)2 (1-0)2=10，即(x 3)2 y2最小值为10 .问题型三线性规划的实际应用例3某公司生产甲、乙两种桶装产品。 生产甲产品时，一桶a原料需要1公斤，b原料需要2公斤的乙产品一桶生产时，a原料需要2公斤，b原料需要1公斤。 每桶甲产品利润三百元，每桶乙产品利润四百元。 公司计划生产这两种产品，要求每天消耗a，b原料不超过12公斤。 通过制定合理的生产计划，从每天生产的甲、乙两种产品中，公司能得到的最大利润是多少每日生产甲产品x桶，乙产品y桶，相应利润为z元，z=300x 400y在坐标平面内绘制该不等式组表示的平面区域和直线300x 400y=0，使直线直线移动，通过该平面区域内点(4，4 )时，对应的直线在y轴上的切片成为最大，此时z=300x 400y取最大值最大值为z=3004 4004=2 800也就是说，该公司能获得的最大利润是2 800元反思和感性线性规划解决实际问题的步骤：分析，根据已知数据列表确定线性约束条件确定线性目标函数描绘可执行域使用线性目标函数(直线)求最优解实际问题需要整数解时，必须适当调整以确定最优解跟踪训练3预算是以2万元购买单价为50元的桌子和20元的椅子，尽量增加桌子和椅子的总数，但椅子的数量比桌子的数量少，而且不到桌子的数量的1.5倍，所以必须询问购买多少桌子和椅子把桌子，椅子分解开，x张，y张，目标函数z=x y不等式组，即限制条件解开a点的坐标为解开b点坐标为满足条件的可能域是a、bo (0，0 )是顶点的三角形区域(参照图)。由图表可知，目标函数z=x y在可执行区域内的最佳解是b但是，如果关注xN*、yN*故交所以买25张桌子，椅子37是最好的选择1 .直线y=2x上的点(x，y )满足限制时，实数m的最大值为()A.-1 B.1 C. D.22 .某公司需要男职员x名、女职员y名、x和y满足约束条件时，z=10x 10y的最大值为()A.80 B.85C.90 D.953 .众所周知，满足实数x、y时，z=x2 y2的最小值为_一、选择问题1 .如果点(x，y )位于由曲线y=|x|和y=2包围的封闭区域中，则2x-y的最小值为()A.-6 B.-2 C.0 D.22 .当变量x和y满足限制条件时，目标函数z=3x-y的最大值被设置为()A.-4 B.0 C. D.43 .如果满足实数x，y，则z=的可能值范围为()a.-1，0 b.(-，0 )C.-1，) d.-1，1 4 .如果正好有9个符合条件的整数点(x，y ) (横向和纵向都是整数点)，则整数a的值为()A.-3 B.-2 C.-1 D.05 .发现x和y满足目标函数z=2x y的最大值是7，而最小值是1，b和c的值分别是()a.- 1，4b.- 1，-3C.-2，-1 D.-1，-26 .如果已知存在许多满足约束条件并且z=x ay(a0)取最小值的最佳解，则a的值为()A.-3 B.3 C.-1 D.1二、填空问题7 .如果x，y满足约束条件，则z=x 2y的值的范围是_8 .如果已知-1x y4和2x-y3，则z=2x-3y的可能值的范围是_ (答案由区间表示)。9 .已知平面正交坐标系xOy上的区域d由不等式组给出，假设M(x，y )为d上的动点，点a的坐标为(，(1) )，则z=的最大值为_。10 .满足| x| y |2点(x，y )的所有点(横纵轴均为整数)都有_ .11 .如果实数x、y满足不等式组，则将z=|x 2y-4|最大值设为_ .三、解答问题12.x，y知道满足制约条件目标函数z=2x-y，求出z的最大值和最小值.如果在指数函数y=ax图像上存在区域d上的点，则求出a的可取范围.14 .某家具厂有方材90 m3、五合板600 m2，预定加工成桌子和书架销售。 生产各机器需要方材0.1 m3、五合板2 m2，生产各书架需要方材0.2 m3、五合板1 m2，销售方材可得利润80元，销售书架可得利润120元。(1)只安排生产机能获得多少利益？(2)只安排生产书架，利润是多少？(3)如何安排生产才能使利润最大化？当场调查答案1 .答案b解析图为当y=2x通过，仅通过x y-3=0和x=m的交点时，m取最大值，此时，即(m，2m )在直线x y-3=0上，m=1。2 .答案c由于x，yN*与计算区域内最近的点是(5，4 )，所以在x=5，y=4时，z将最大值设为90 .3 .答案分析如果用图中阴影部分表示实数x、y满足的可能区域，则z的最小值是从原点到直线AB的距离的平方zmin=2=在课堂上精炼解答一、选择问题1 .答案a分析可能的域，如图所示，解a (-2，2 )，z=2x-y使z=2x-y变形为y=2x-z直线通过点a时，z取最小值zmin=2(-2)-2=-6，因此选择a二.答案d分析创建了可能的域，如图所示联合解除当目标函数z=3x-y移动到(2，2 )时，z=3x-y具有最大值4 .3 .答案d分析可能的域，如图所示几何意思是连接点(x，y )和点(0，1 )的线l的斜率，直线l超过b (1，0 )时kl最小，最小为-1.另外，直线l不与直线x-y=0平行，8756； kl1.以上，k1，1 。4 .答案c分析不等式组表示平面区域如图的阴影部分所示，在a=0的情况下，只有4个整数点(1，1 )、(0，0 )、(1，0 )、(2，0 )，在a=-1的情况下，正好(-1，-1)、(0，-1)、(1，-1)、(2，-1)、(3，-1)的整数点增加.五.答案d从该分析可以看出，直线x by c=0穿过直线2x y=7和直线x y=4的交点，并且穿过直线2x y=1和直线x=1的交点，即穿过点(3，1 )和点(1，1 )解析六.答案d如分析图所示，如果生成可能区域，设直线l:x ay=0，目标函数z=x ay(a0)取最小值，存在无数最佳解，则由于使l向右上位移而与直线x y=5重叠，因此选择a=1、d .二、填空问题7 .答案 2，6 分析图，创建一个可执行的域，设直线l:x 2y=0将l向右上方移动，当超过点a (2，0 )时具有最小值2，当超过点b (2，2 )时具有最大值6，因此z可取值的范围为 2，6 .8 .答案 3，8 解析不等式组所标示的可执行域如图中的斜线部分所示在可能区域内直线移动2x-3y=0当直线通过x-y=2和x-y=4交点a (3，1 )时，目标函数是最小值zmin=23-31=3当直线通过x y=-1与x-y=3交点B(1，-2)时，目标函数成为最大值zmax=21 32=8.z 3，8 9 .答案4分析由线性约束进行如图中阴影部分所示，可绘图区域设为目标函数z=x y、将其设为y=-x z，从结合曲线图可知，在目标函数的图像超过点(2)时，z变为最大，在将点(2)代入z=x y时，z的最大值为4 .10 .答案13分析|x| |y|2是可能的域是如图所示的正方形的内部(包括边界)容易得到总点数为1