高中物理竞赛讲义——微积分初步

南丰一中彭定辉物理竞赛讲义高中物理竞赛初等微积分讲义一、导言(例子)均匀带电立方体角上的一个点的电势是中心电势的几倍。分析：(1)根据对称性，可以看出立方体八个角的电势相等；原始立方体被平均分成八个相同大小的小立方体，并且原始立方体的中心位于八个小立方体的角上。根据电势叠加原理，电势是八个小立方角位置的电势之和，即u1=8u2(2)立体角电位与什么有关？电荷密度；两个立方体的边长a；三个立方体的形状；根据点电荷的势公式U=和量纲知识，可以假定边长为A的立方角势为U=Cka2。其中，C是常数，只与形状(立方体)和位置(角)有关，Q是总电量，是电荷密度；其中q=Q=a3(3)大立方体的角电位：u0=ckrhoa2小立方体的角电位：U2=Ck()2=大立方体的中心点电位：u1=8u2=2ckrhoa2即U0=U1概要我们发现，对于一个物理问题，所需的物理量总是与其他已知的物理量相关联，或者用数学语言来说，所需的物理量是其他物理量(或变量)的函数。如果我们能写出这个函数关系或画出它的函数图象，那么我们就能定量或定性地理解物理量的变化，并帮助我们解决物理问题。二级：衍生产品tv物理量的变化率我们经常处理物理量的函数关系的图像，例如v-t图像。我们可以通过求加速度A的斜率和位移S来求加速度A的面积，而斜率和面积是几何意义上的微积分。我们知道，如果在v-t图像中的某一点做一个切线，它的斜率是a=。让我们用代数的方法来看物理量的变化率：的例子如果一个粒子沿直线运动，它的位移和时间之间的函数关系是s=3t 2t2。试着找出它在时间t的速度表达式(所有物理量都以国际单位制为单位，如下所示)分析：我们知道公式v=一般是求t内的平均速度。当 T很小时，它可以近似地视为瞬时速度。s(t)=3t 2t2 s(t t)=3(t t) 2(t t) 2s=s(tt)-s(t)=3(tt)2(tt)2-3t-2t 2=3t 4tt 2T2v=3 4t 2t当t非常小时，小到与3 4t相比忽略了定时，v=3 4t是时间t的瞬时速度。假设一个闭合线圈有100匝，其磁通量为=3t 4t3，得到感应电动势随时间t的函数。总结回顾我们的步骤，找出物理量y=f(t)变化率的瞬时值z:(1)写出时间t y0=f(t)的函数表达式；(2)写出t t时间y1=f(t t)的函数表达式；求出y=y1-y0=f(tt)-f(t)；(4)找到z=；注意t非常小，与有限值相比可以忽略不计。无穷小当t很小时，瞬时速度可用V=计算，瞬时电流也可用i=计算，瞬时感应电动势可用=计算。接下来，让我们理解t:T是一个非常小的非零正数。它有多小？可以说，对于任何给定的不为零的正数，它都大于t，即 t。或者从动态的角度来看，给定一段时间t，我们做如下操作：第一次，我们将时间段平均分为两个部分，每个部分t=；第二次，我们将时间段平均分为3段，其中t=；第三次，我们将时间段平均划分为4段，其中t=；第N次，我们将时间段平均划分为N 1段，其中t=；我们知道t越来越小。虽然它不是零，但它总是接近零。我们称之为无穷小，并记录为t0。或者，数学上表示为t=0。其中 表示极限，意味着t的极限值为0。一般计算：(t C)=C Ct=0 f(t)=f(0) f(t t)=f(t) =1“附录”是常用的等价无穷小关系()。衍生产品我们以前用过极限的表达式，那么物理量y的变化率的瞬时值z可以写成：Z=，缩写为z=，被称为物理量y函数对时间变量t的导数。在物理学中，一个物理量的变化率常用来定义或求解另一个物理量，如v=，a=，i=，=N等。甚至不限于时间的推导，如F=，Ex=，=，等。该dt(也可以是dx、dv、dm等。)实际上相当于无穷小方法中的时间无穷小t。当然，每次求物理量变化率的瞬时值太复杂了，毕竟，无穷小法只是初始阶段的微积分。如果我们能理解计算普通导数的基本规则，那么我们就能简单而快速地求解物理量变化率的瞬时值(导数)。课后学生可以推导出以下公式：(1)导数的四种运算=v u公共函数的导数=0(C为常数)；=-Sint；=ntn-1 (n是实数)；=et；=成本；(3)复合函数的导数数学上，u=u(v(t)称为复合函数，即函数v(t)是u(x)的自变量。=复合函数对自变量的导数等于已知函数对中间变量的导数，乘以中间变量对自变量的导数称为链式法则。1.弹簧振子在X轴上线性运动，其位移X与时间T的关系为X=AsinT，即质点在坐标原点附近来回运动，最大位移为A(A称为振幅)，周期为 (称为角频率)。从物理上讲，这种运动被称为简谐运动。请完成以下问题：(1)找出t时刻的速度v(2)写出合力f和位移x之间的关系(3)验证简谐运动中粒子的机械能守恒。PQ2.矩形线框的面积为S，圈数为N，处于磁感应强度为B的均匀磁场中。如图所示，线框以角速度围绕PQ轴匀速旋转，并从水平位置开始计时。在时间t: 写出磁通量的表达式计算线框产生的感应电动势(计算后用阳光课堂 P40指向进行自检)第三：差异化和一体化简单的问题Q0Q1q电容器是储存电荷的元件。其基本操作模式是充电和放电。让我们先看看电容器放电的情况。电容为C的电容器的充电电量为Q0。如果电容器与另一个电阻值为R的电阻器串联，电容器将放电，释放的电能将转换电阻器的焦耳热(内部能量)。试着讨论在放电过程中流经电阻r的电流如何随时间t变化。分析：根据电荷守恒定律，当流经电阻R的电量为Q时，电容的电量从Q0变为Q1，满足Q0=Q1 q，即Q=Q0-Q1；(2)流过电阻r的电流I和流过电阻r的电量q满足关系式：i=(3)根据电容电量公式Q=CU，Q1=CU=CRi，则Q=Q0-CRi；(4)同时表达，i=-CR使公式变形，使x=-，i=-CR=学生思考我应该成为什么样的人才能满足我？或者什么函数的导数等于函数本身？我们观察到只有y=Cex形式的函数满足i=关系，而c是待定常数。因此，可以知道i=Cex=Ce-t/CR当t=0时，U0=，i0=如果t=0代，i=ce-t/cr=c。所以C=因此，流经电阻r的电流随时间t的变化关系为：i=e-t/CR对于上面例子中电容器的放电问题，试着讨论一下，电容器的数量Q与放电时间T之间有什么关系？差异化1.从上面的公式可以看出，理论上，虽然我们说电容器放电需要无限长的时间，而且电流为零，但实际上，如果电流足够小，电流计就不能检测到任何电流。2.对于i=-CR或i=，我们称之为微分方程。最直观的解决方法是观察哪些函数满足微分方程的函数关系。当然，在上面的问题中，我们应该注意初始条件，如t=0。3.总的来说，微积分可以帮助学生加深理解在t期间，流经电阻r的电量为 q。虽然电流随时间变化，但在很短的时间t内，电流几乎不变，并被视为恒定电流，因此 q=I t。对于电容，Q=CU=CiR，Q=CrI；从电量守恒出发， q=- q，so-I t=Cr I，然后把形式改写成微积分语言的 d 形式，有-IDT=crdi (dt和di称为微分)，数学变形为i=-CR，这是上述解中的微分方程。微分和导数之间是什么关系？对于自变量为时间t的函数F(t)，其极微小的变化称为微分dF，它满足与时间微分dt的关系：dF=dt，其中是F对t的导数以下是常见的微分公式和微分算法： 点数在上面的例子中，在t期间，通过电阻r的电量为q=it，而q称为电量微量元素。如果我们把q从0加到t上，用求和符号“ I t ”,那么就有：q= I t。因为t=N t，当t取无穷大时，I t有N，也就是说，我们必须加无穷大it。为了方便，我们用微积分符号来表示q=it=，这叫做时间积分I。让我们看看这样做有什么意义：(1)几何上，对于i-t图像，q=it=是图像中的区域。对于恒流，非常简单，q=it，即小矩形面积；对于改变电流，使用q=it进行计算，发现有一个小的近似三角形区域的误差。然而，当我们取t为无穷大时，误差将无限趋近于零，可以忽略不计。那么计算的面积将无限精确地接近实际面积。(2)在我们面前，我们用i=，与q=积分。可以看出，在某种程度上，积分实际上是求导的逆过程，例如：q=q0-q=q0 (1-e-t/Cr)，i=e-t/Cr满足运算关系i=，q=。对于一般函数f，如果f=，那么就有=f c。请想一想，为什么常数c出现在积分中？以下是一个常见的积分公式，请参考推导公式来理解： f 现在我们用微积分的写作方法来解决上面的问题。怎么问？我们知道=et，设F(t)=et，其中t=lnf有=F，即=dt=d(整数)；所以=100摄氏度=？请你自己推断。按q0=qq。Q=Q0-q。dq=-dq=-IDT=-dt=-dt；那是=-dt；等号两边的积分：=；LNq=-C，或q=ce-t/Cr；当t=0时，q(0)=c=Q0；因此，电容器的容量为Q=Q0e-t/CR。(四)定积分例子一个粒子在X轴上线性运动，它的速度V满足函数关系v=3t2。计算粒子从t=1s到t=3s的位移。分析：在dt时间内，一个粒子可以被认为是在一条均匀的直线上运动，即ds=vdt，那么对于等号两边的积分，就有：S=T3 C；现在有一个问题：当t=0时，我们不知道S(0)等于多少！此外，在已知条件下“从t=1s到t=3s”的时间也是无用的！让我们来看看常数C在物理学中的意义。当t=0时，s (0)=c。当我们使C=0时，它相当于粒子从坐标原点移动到零。当我们使C=1时，它等于零时刻粒子从坐标位置X=1m移动。.tv我们发现常数C的值相当于选择静态参考系统的位置来观察粒子运动，但是从t=1s到t=3s的时间内粒子的位移应该独立于所选择的静态参考系统，也就是说，对于任何静态参考系统，粒子的位移应该是一致的，如图所示。然后，我们可以随机选择一个参考系统，使粒子在零时刻从坐标位置X=Cm移动，那么位移与时间之间的函数关系为：s (t)=t3 c。本主题要求的1到3秒的位移为：s1=s(3)-s(1)=(33 C)-(13 C)=8m。主题中所需的位移(速度积分)是独立的，在积分公式中=F C=F C。当在从t=t1到t=t2的时间内需要位移时，s(t1t2)=s(t2)-s(t2)。这相当于使用s=vt在v-t图像中找到从t=t1到t=t2的区域。我们用一个简单的符号来表示这种关系。这种积分叫做定积分。已知导体中的电流根据I=t3-0.5t 6的规则随时间t变化，其中电流和时间的单位分别是a和s。计算从t=1s到t=3s的时间内通过导线部分的电荷量。2.质量为M、长度为L的均匀细棒绕棒的一端匀速转动，角速度为，试图找到其动能。如果你把弹簧从2L拉伸到3L，你应该做多少工作来克服弹簧力？对于某个电路，流过电阻R=2的电流i=2t 1(A)会询问，从时间t=0起，电阻在4秒后产生的焦耳热是多少？第四：课后练习1.质量为2千克的物体在平面直角坐标系中移动。众所周知，其X轴上的坐标是X=35 cos2t，其Y轴上的坐标是Y=-45 sin2t，t是一个物理时间量。问：(1)物体的速度是多少？(2)物体上的合力是多少？(3)物体做什么样的运动？(4)你能找出物体运动的特征物理量吗？2.粒子在水平力的作用下线性运动，力的功W和位移X之间的关系是W=3x-2x2。多少位移X会使F为零？3.已知距离点电荷Q为R的点A处的场强为E=，请验证点a处的潜在公式为：U=。4.由复合材料制成的细棒OP的长度是L，并且其质量分布是不均匀的。点A是在杆的端点，距离O是X，所以M是薄杆上OA截面的质量。假设M是x的函数，并且函数关系是M=kx2，我们现在定义线性密度=。x=时b点