高三第二轮专题---排列组合问题经典题型与通用方法

排列组合问题的经典问题类型和一般方法。1.相邻问题绑定方法：规定将几个相邻元素绑定到一个组中，并排列成一个大元素。例1。五个人并排站成一排。如果它们必须相邻并且在的右侧，则不同的行方法是()a、60 b、48 c、36 d、242.分离的问题是将：个元素插入分离行(即不相邻)。对于分离的问题，可以首先完全排列几个没有位置要求的元件，然后将指定的分离元件插入上述元件的空间和两端。例2。七个人并排站成一排。如果甲乙双方不能相邻，则不同的行数为()a，1440 b，3600 c，4820 d，48003.排序问题：的定标方法限制了某些元素必须在排列问题中保持一定的顺序。可以使用缩放方法。例3。甲、乙、丙、丁、戊五个人并排站成一排。如果它们必须站在(可能不相邻的)右侧，则有()个、24个、60个、90个、120个不同的行。4.标签排序逐步方法：将元素排列到指定位置。您可以首先根据规则排列一个元素，然后在第二步中排列另一个元素。如果你继续这样下去，你可以依次完成它。例4。在标有1、2、3、4的四个方块中填入数字1、2、3、4，并为每个方块填入一个数字，然后为每个方块的标签和数字填入()A、6 B、9 C、11 D和23种不同的填入方法。5.有序分布问题的划分方法有序分布问题是指将元素分成几个组，这些组可以按步骤划分。例5。(1)甲、乙、丙三方各有三项任务，甲方需要两人承担，乙、丙双方各需要一人承担。从10个人中选出4个人来承担这三项任务。不同的选择方法有()A、1260 B、2025 C、2520 D和5040(2)12名学生前往三个不同的十字路口调查交通流量。如果每个路口有4名学生，不同的分配方案是()a，b，c，d，c6.总分配问题的分组方法：例6。(1)所有4名优秀学生被送到3所学校，每所学校至少有一名学生。有多少种不同的发送程序？(2)5种不同的书籍，全部分发给4名学生，每个学生至少一本，不同的分法为()a，480 b，240 c，120 d，967.配额分配分割法：例7:好学生的10个名额被分配到7个班，每个班至少有一个名额。有多少种不同的分配方案？8.限制性条件分布的分类：例8。一所大学从一个系的10名优秀毕业生中挑选出4名，在西部四个城市参与西部经济开发和建设。其中，学生甲比银川小，学生乙比西宁小。有多少种不同的调度方案？9.多问题分类：元素多，提取案例多，根据结果的要求可分为不相容案例，分别统计和添加。例9(1)由数字0、1、2、3、4、5组成，这些数字是没有重复数字的六位数字，其中一位数字少于十位数字的总和()a，210 b，300 c，464 d，600(2)从1，2，3的100个数中.100，取任意两个数，这样它们的乘积就可以被7整除。有多少种方法可以得到这两个数字(不管顺序如何)？(3)有多少种方法(不管顺序)可以用来除100个数字1，2，3，100乘4？10.交集问题集方法：一些排列组合问题在几个部分之间有交集，可以使用集合中元素的个数公式。例10。六名运动员中有四名被选中参加4100米接力赛。如果甲不跑第一棒，乙不跑第四棒，有多少不同的竞争方案？11.定位问题的优先方法：如果要将一个或多个元素排列在指定位置，可以先排列一个或多个元素；然后安排其他元素。例11。现在一名老师和四名获奖学生排队照相。如果老师不站在两端，有多少种不同的方法？12.多行问题单行方法：可以将在几行中排列元素的问题减少到一行来考虑，然后处理a，36 b，120 c，720 d，1440(2)8个不同的元件排列在前排和后排，每排4个元件，其中2个元件排列在前排，1个元件排列在后排。有多少种不同的安排？13.“至少”和“最多”问题被间接排除或归类为：例13。从4 A和5 B电视机中选择3台，其中至少需要一台A型和一台B型电视机。不同的方法包括()A、140 B、80 C、70 D和3514.要选择一行，首先取后一行：然后从几种类型的元素中取出几个元素，然后将它们排列在某个位置。可以首先使用后排方法。例14。(1)如果将四个不同的球放入编号为1、2、3和4的四个盒子中，对于一个空盒子有多少种放置方法？(2)乒乓球运动员有9名，其中男5名，女4名。混双训练现在有多少种不同的分组方法？15.部分合格排除方法：在选择的总数中，只有一部分合格，不合格项目的数量可以从总数中减去，这就是请求。例15。(1)以立方体的顶点作为顶点份额的四面体()a、70 b、64 c、58 d、52(2)四面体的顶点和每条边的中点总共有10个点，其中选择了4个不共面的点，不同的方法总共有()a，150 b，147 c，144 d，14116.用于圆形行问题的单行方法：是不同元素被放置在圆周上的编号位置上的布置。不同序列(例如顺时针)中的不同行方法被认为是不同的排列，而相同序列中的行方法(即一旦旋转就可以重叠)被认为是相同的。它与普通排列的区别在于，只计算序列，计算第一个和最后一个位置，并列出以下普通排列：只有一种圆形排列，因为它在旋转后可以重叠，所以它被认为是有几种圆形排列的元素。因此，一个元素可以固定在一行中，而其他元素则全部排列在一起。例16。有5对姐妹站成一圈。每对姐妹必须是相邻的。有多少种不同的站立方法？17.重复排列幂法：允许通过以元素为研究对象来表征重复排列问题，元素不受位置的限制，并且元素的位置可以一个接一个地排列。通常，有两种方法可以在不同的位置排列不同的元素。例17。有多少种不同的方法可以将6名实习生分配到7个车间进行实习？18.复杂排列组合问题的模型方法例18。有9个路灯编号1，2，3.9在路上。其中三个现在要关闭，但是两个或三个相邻的灯不能关闭，两端的两个灯不能关闭。有多少种点火方案可以满足这些条件？19.枚举方法：可以考虑用于具有少量元素的排列和组合问题例19。有五个球编号为1，2，3，4，5，盒子编号为1，2，3，4，5。现在，有多少种不同的方法可以把这五个球放进五个盒子里，并且每个盒子里需要一个球，而正好两个球的号码和盒子的号码相同？20.复杂的排列和组合问题也可以通过分解和合成：来解决30030能被多少不同的偶数整除？(2)立方体的8个顶点可以连接多少条不同平面的直线？21.运用对应思维转化法：对应思维是渗透教材的重要解题方法。它能把复杂的问题变成简单的问题。例21。(1)圆周上有10个点。当端点在圆中相交时，弦与这些点有多少交点？(2)一个城市的街区由12个全等的矩形组成，其中实线表示道路。从甲到乙有几条最短的路？22.总错位问题的公式方法：总错位问题(贺卡问题，信封问题)记住公式瑞士数学家欧拉根据一般情况给出了一个递推公式：A，B，C.用N个朋友的名字来表示信封，A，B，C.表示相应的书写文具。将放错地方的总数记为f(n)。让我们假设A被错误地加载到B中，所有错误的加载方法包括这个错误都被分开(2)b被装入信封，而不是A和B。此时，包装工作实际上是将信纸B和C的(而不是A)张装入(而不是B) N-1个信封A和C。显然，有f(n-1)个方法来纠正这一时尚错误。总之，在把a装入b的错误下，总共有f(n-2) f(n-1)种错误的装入方法。a到c，d.在n-2种错误下，也有f(n-2) f(n-1)种错误的安装方法，所以：我们得到一个递推公式：f(n)=(n-1) f(n-1) f(n-2)，并分别得到n=2，3和4的可推结果。一般公式也可以通过迭代得到：排列组合问题的经典问题类型和一般方法。分析版1.相邻问题绑定方法：规定将几个相邻元素绑定到一个组中，并排列成一个大元素。例1。五个人并排站成一排。如果它们必须相邻并且在的右侧，则不同的行方法是()a、60 b、48 c、36 d、24如果你把它想象成一个人，并把它固定在右边，那么这个主题就相当于一个由四个人，四个物种，回答：2.分离的问题是将：个元素插入分离行(即不相邻)。对于分离的问题，可以首先完全排列几个没有位置要求的元件，然后将指定的分离元件插入上述元件的空间和两端。例2。七个人并排站成一排。如果甲乙双方不能相邻，则不同的行数为()a，1440 b，3600 c，4820 d，4800分析：除甲、乙双方外，其余5种排列为种，然后甲、乙双方插入6种空种。不同的排列是不同的物种，选择也是不同的。3.排序问题：的定标方法限制了某些元素必须在排列问题中保持一定的顺序。可以使用缩放方法。例3。五个人并排站成一排。如果你必须站在右边(可能不相邻)，那么不同的行方法是()a，24 b，60 c，90 d，120分析：右侧的行数与左侧的行数相同，因此为主题设置的行数仅为5个元素(即物种、选择)的总行数的一半。4.标签排序逐步方法：将元素排列到指定位置。您可以首先根据规则排列一个元素，然后在第二步中排列另一个元素。如果你继续这样下去，你可以依次完成它。例4。将数字1、2、3、4填入标有1、2、3、4的四个方块中，并为每个方块填入一个数字，则每个方块的数字与填入的数字不同()a、6 b、9 c、11 d、23分析：首先，在网格中填入1。有3种方法来满足条件。第二，将相应的数字填入其他3个网格中。还有3种方法。第三步是填写剩下的两个数字。只有一种填充方法。331=选择了9种填充方法。5.有序分布问题的划分方法有序分布问题是指将元素分成几个组，这些组可以按步骤划分。例5。(1)甲、乙、丙三方任务，甲、乙、丙三方各需一人承担。从10个人中选出4个人来承担这三项任务。不同的选择方法有()a，1260 b，2025 c，2520 d，5040分析：首先，从10个人中选择2个人来承担任务A，然后从剩下的8个人中选择1个人来承担任务B，在第三步中，从另外7个人中选择1个人来承担任务C。有不同的选择方法。选择。(2)12名学生前往三个不同的十字路口调查交通流量。如果每个路口有4名学生，不同的分配方案是()a、b、cc，物种d，物种回答：6.总分配问题的分组方法：例6。(1)所有4名优秀学生被送到3所学校，每所学校至少有一名学生。有多少种不同的发送程序？分析：有三种方法把四个学生分成三组，三组学生分成三个学校。注意：当分配的元素多于对象，并且每个对象都有一个元素分配时，通常会先分组，然后再分配。(2)5种不同的书籍，全部分发给4名学生，每个学生至少一本，不同的分法为()a，480 b，240 c，120 d，96回答：7.配额分配分割法：例7:好学生的10个名额被分配到7个班，每个班至少有一个名额。怎么分析：10个位置分为7类，即10个位置分为7堆，每堆10个相同的球，每堆至少有一个，10个球的9个空间可以插入6块板，每种插入方式对应一个分配方案，所以有不同的分配方案。8.限制性条件分布的分类：例8。一所大学从一个系的10名优秀毕业生中挑选出4名，在西部四个城市参与西部经济开发和建设。其中，学生甲比银川小，学生乙比西宁小。有多少种不同的调度方案？分析：由于甲、乙双方都有限制，所以按照是否包含甲、乙双方进行分类，有以下四种情况：(1)如果甲乙双方不参与，有派遣计划；(2)如果甲方参加，而乙方不参加，有3种方式先安排甲方，然后再安排其他学生，因此共有3种方式。(3)如果乙方参与，甲方不参与，同样如此。(4)如果甲乙双方都参加，将首先安排甲乙双方。有7种方法，然后另外8个人将被安排去另外两个城市。共有7种方法。因此，总共有8种不同的调度方法。9.多重问题的分类：有许多元素，有许多提取的情况。根据结果的要求，可以将它们分为不相容的情况，并分别计数，最后得出总数。例9(1)由数字0、1、2、3、4、5组成，这些数字是没有重复数字的六位数字，其中一位数字少于十位数字的总和()a，210 b，300 c，464 d，600根据问题的含义，5种情况下的位数只能是0、1、2、3、4，分别包括1、2、3、4，总共300位。挑选。(2)从1，2，3的100个数中.100，取任意两个数，这样它们的乘积就可以被7整除。有多少种方法可以得到这两个数字(不管顺序如何)？分析：当两个数中至少有一个能被7整除时，它们的乘积能被7整除。100个数字的集合被认为是完整的集合1，可被7整除的数字的集合被记录为总共14个元素，不可被7整除的数字的集合被记录为总共86个元素；由此，我们可以看出，有两种方法可以从任何一个元素中提取两个元素，一个从任何一个元素中提取，一个从任何一个元素中提取。在这两种情况下，有两种方法可以满足要求。(3)有多少种方法(不管顺序)可以用来除100个数字1，2