中考数学压轴题复习

中考复习中考压轴题的风韵,一、函数、几何综合型压轴题风光依然 二、几何操作型压轴题备受青睐 三、图表信息型压轴题占一席之地 四、方案设计型压轴题初露锋芒 五、阅读探究型压轴题崭露头角 六、立体图形压轴题初露端倪,一、函数、几何综合型压轴题风光依然 例1. 已知点P是抛物线 的任意一点，记点 P 到 X 轴的距离为d1 点P 与点 F （0，2）的距离为d 2 （图1） （1）猜想d1、 d 2 的大小关系，并证明； （ 2）若直线PF交此抛物线于另一点Q（异于P点）。 试判断以PQ为直径的圆与x轴的位置关系，并。,理由。 以PQ 为直径的圆与 y 轴的交点为A 、B， OAOB=1 ，求直线PQ 对应的函数解析式。,二、几何操作型压轴题备受青睐 例2已知ABC=90.OM 是ABC的平分线，按以下要求解答问题： （1）将三角板的直角顶点P在射线OM上移动，两直角边分别与OA、OB交于点C、D。 在图3（1）中，证明 PC = PD; 在图3（2）中，点G是CD与OP的交点，且求POD与PDG的面积比。 （2）将三角板的直角顶点P放在射线OM上移动，一直角边与边OB交于点D，OD = 1，另一直角边与直线OA、直线OB分别交于点C 、E，使以P 、D、 E为顶点的三,形与OCD相似，在图3（3）中作出图形，试求OP的长。,图3,例3 如图 6, 在矩形ABCD中，AB=3，AD=2，点E、F分别在AB、CD上，AE=DF=2. 现把一块直径为2的量角器（圆心为O）放置在图形上，使其0线MN与EF重合；若将量角器0线上的端点N固定在点F上, 在把量角器绕点 F 顺时针方向旋转(00 ，所以d 1 = y 0 ；由勾股定理得 ，而,（ 2 ） 以PQ为直径的圆与x 轴相切（图2）。,设PQ的中心为M ,分别Q、 M、 P作x 轴的垂线，垂足分别为Q 、 C 、 P 。 易证MC 为梯形P Q QP的中位线。,以PQ为直径的圆与x 轴相切。设直线PQ 对应的函数解析式为 y =k x +b ，因为点F（0，2）在PQ上，所以b = 2 ,所以 y = k x + 2 . y =kx + 2, 联立 消去 y 得：x 2 - 4kx-4=0 ( * )记点P（ ）、Q（ ），则 是方程( * )的两个实数根， .,M切 x 轴于点C，与y 轴交于点A、B ，OC 2 = OA OB =1,OC 0 ,OC =1 ,点C的坐标为C（1，0）或（-1，0），又点C是线段PQ的中点，,故当点C坐标为（1，0）时，X 0 - 1 =1 X1 , X 0 + X 1 =2 ，即4 k =2 ,k = ;当点C的坐标为（-1，0）时， X 0 -（- 1） =（-1） X 1 X 0 + X 1 = - 2 ，,即4k =-2 ,k = ;所求直线PQ对应的函数解析式为：或 此类题型是以直角坐标系为载体，融函数、方程、几何为一体的探究性试题，注重在初中数学主干知识的交汇点进行命题，背景知识丰富，综合性强，解决本题，还需拥有数形结合思想、方程思想、分类思想。 二、几何操作型压轴题备受青睐 所谓几何操作题，就是指利用指定的工具和材料，动手操作，自主探究，得出猜想，而后验证猜想，最终解决问题的一种题型。,例2（2003年绍兴市中考题）已知ABC=90.OM 是ABC的平分线，按以下要求解答问题：（1）将三角板的直角顶点P在射线OM上移动，两直角边分别与OA、OB交于点C、D。在图3（1）中，证明 PC = PD;在图3（2）中，点G是CD与OP的交点，且求POD与PDG的面积比。,（2）将三角板的直角顶点P放在射线OM上移动，一直角边与边OB交于点D，OD = 1，另一直角边与直线OA、直线OB分别交于点C 、E，使以P 、D、 E为顶点的三角形与OCD相似，在图3（3）中作出图形，试求OP的长。略解（1）略。（2）只要用三角板绕点P（P在OM上是动点）按逆时针方向转动，并保持一条边始终与OB相交于D，则会发现另一边与OA或OA的反向延长线相交，易见，OP的长需分两种情形去求解。当另一边与OA相交时，如图4，PDE CDO ,又要使以P、D、E为顶点的三角形与OCD相似，,COD = PED,CE = CD CO DE, OE = OD.EPD = 90,OP =,当另一边与OA的反向延长线相交时，如图5，PED CDO ,要使以P、D、E为顶点的三角形与OCD相似，PDE = ODC,过点P作 PG OB, PH OA,垂足分别为G、H。设OP = x ，AOB = 90,OM为AOB的平分线，PG = PH = OH = OG = .此时，易证PCH PDG,CH =DG = 1 - , PC = PD. CPD = 90, PDE = ODC = 22.5 , OCP = PDE = 22.5 , OPC = 22.5 , OC = OP = x , CH= OC + OH = X + , 1 - = x + , X = - 1 , OP = - 1 .,综上所述，OP = 1 ,或 - 1 . 这道 题设计新颖，构思精巧，可谓独具匠心，通过对三角板的操作，探索图形中存在的变化规律，让学生亲身经历知识的发生、发展及应用的过程，有效地考查了学生发现问题和解决问题的能力，同时，也使学生在探索和解决问题的过程中感受到数学的美妙，领略了数学的魅力。几何操作型压轴题备受青睐，如04年江西省及大连市中考压轴题。 （04年江西省中考压轴题）如图24，在矩形ABCD中，AB=3，AD=2，点E、F分别在AB、CD上，AE=DF=2。现把一块直径为2的量角器（圆心为O）放置在图形上，使其0线MN与EF重合；若将量角器0线上的端点N固定在点F上，在把量角器绕点F顺时针方向旋转（090），此时量角器的半圆弧与EF相交于点P，设点P处量角器的读数为n,用含n的代数式表示的大小当n等于多少时，线段PC与MF平行？,（3）在量角器的旋转过程中，过点M作GHMF，交AE于点G，交AD于点H。设GE =x，AGH的面积为S，试求出S关于x的函数关系式，并写出自变量x的取值范围。 （04年大连市中考压轴题）如图，O1 和O2内切于点P，C是O1上任一点（与点P不重合）。实验操作：将直角三角形的直角顶点放在点C上，一条直角边经过点O1，,另一条直角边所在直线交O2 于点A、B，直线PA，PB分别交O1 于点E、F，连结CE （图15是实验操作备用图）。 探究：（1）你发现 有什么关系？用你学过的数学知识证明你的发现; （2）你发现线段CE 、PE、 BF有怎样的比例关系？证明你的发现。 附加题：如图16，若将上述问题的O1 和O2由内切变为处切，其它条件不变，请你探究线段 CE 、,PE、 BF有怎样的比例关系？并证明。 三、图表信息型压轴题占一席之地 所谓图表信息题，是指题目中的信息大多以函数图像或表格形式给出的一类数学问题，其目的是考查学生将实际问题抽象成函数等数学问题的能力及获取数据的能力。这类题型充分体现了新课标的“数学作为一种普遍适用的技术，有助于人们收集、整理、描述信息，建立数学模型，进而解决问题，直接为社会创造价值”的理念。如2003年吉林省中考压轴题： 例3 如图6（1）所示，在矩形ABCD中，AB=10cm,BC=8cm.点P从A出发,沿ABC D路线运动D停止.点Q从D出发,沿DCBA路线运动,到A停止.若点P、点Q同时出发,P的速度为每秒1cm,点Q的速度每秒2cm,a秒时,点P、点Q同时改变速度 ,点P的速度变为每秒bcm,点Q的速度变为每秒dcm.图6(2)是点P出发x(S)后,求d的值；设点离开点的路程为y1(cm),点到点还需走的路程为y2(cm),请分别写出动点、改变速度后y1、y2与出发后的运动时间x(s)的函数关系式，并求出、相遇是x的值。当点出发秒时，点、点在运动线上相距的路程为25cm.,APD的面积S1(cm2)与x(s)的函数关系图象;图6(3)是点Q出发x(s)后AQD的面积S2(cm2)与x(s)的函数图象.,如图，正方形ABCD的边长为12，划分成1212个小正方形格，将边长n（n为整数，且2n11）的黑白两色正方形纸片按图中的方式 黑白相间地摆放，第一张nn的纸片正好盖住正方形ABCD左上角的nn个小正方形格，第二张纸片盖住第一张纸片的部分恰好为（n1）（n1）的正方形。如此摆放下去，最后直到纸片盖住正方形ABCD的右下角为止。 请你认真观察思考后回答下列问题： （1）由于正方形纸片边长n的取值不同，完成摆放时所使用正方形纸片的张数也不同，请填写下表：（3分）,（2）设正方形ABCD被纸片盖住的面积（重合部分只计一次）为S1，未被盖住的面积为S2。 四.方案设计型压轴题初露锋芒 方案设计型题，是指根据问题提供的信息需要设计出各种上天堂同的方案，然后通过分析、计算、证明等，才能确定出最佳方案的一类数学问题。,新课标总目标中就要求学生“初步学会运用数学思维 方式去观察、分析现实社会、去解决日常生活中和其它学科学习中的问题，增强数学的应用意识”方案设计型试题充分体现了这一新课标理念。如2004年陕西省中考题。 例4李大爷有一个边长为a的正方形鱼塘（图4），鱼塘四个角的顶点A，B，C，D上各有一棵大树，现在李大爷想把原来的鱼塘扩建成一个圆形或正方形鱼塘（原鱼塘周围的面积足够大），又不想把挖掉（四棵大树要在新建鱼塘的边沿上）。 （1）图若按圆形设计，利用图4画出你所设计的图形，并求出圆形鱼塘的面积； （2）若按正方形设计，利用图5画出你所设计的正方形鱼塘示意图； （3）你在（2）中所设计的正方形鱼塘，有无最大面积？为什么？ （4）李大爷想使新建的鱼塘面积最大，你认为新建,鱼塘的最大面积是多少？ 解：（1）如图4所示，圆形鱼塘的面积S= 。 （2）如图5所示。（3）有最大面积。 如图5.RtABE，RtBFC，RtCDG，和RtAHD为四个全等的三解形。因此，只要RtABE的面积最大，就有正方形EFGH的面积最大，而RtABE的斜边AB=a定值，点E在以AB为直径的半圆上，当点E正好落在线段AB的中垂线上时，面积最大，,其最大面积为 。从而得到正方形EFGH的最大面积4 +a2=2a2(4)由图4可知，所设计的圆形鱼塘面积为 2a2。所以，李大爷新建鱼塘的最大面积为2a2。它是一个正方形鱼塘。 例 5 问题：要将一块直径为2cm的半圆形铁皮加工成一个圆柱的两个底和一个圆锥的底面。,操作：方案一：在图7中，设计一个使圆锥底面最大，半 圆铁皮得以最充分利用的方案（要求：画示意图）； 方案二：在图8中，设计一个使圆柱两个底面最大，半圆形铁皮得以最充分利用的方案（要求：画示意图）； 探究：（1）求方案一中圆锥底面的半径； （2）求方案二中圆锥底面及圆柱底面的半径； （3）设方案二中半圆圆心为O，圆柱两个底面的圆心为O1、O2，圆锥底面的圆心为O3，试判断以O1、O2、O3、O为顶点的四边形是什么样的特殊四边形，并加以证明。,数学来源于生活，又服务于生活，能用数学的眼光认识世界，并用数学的知识和方法处理周围的问题，是我们每一个人应具备的基本素养。 五、阅读探究型压轴题崭露头角 所谓阅读探究题，是指给出一文字或给出某个数学概念或命题或解题过程等，在阅读的基础上要求对其本质作描述性的回答或进行判断、概括或让学生在变化了的新环境中运用新知识解决新问题。 这类题型 充分体现了“学生是数学学习的主人，教师是数学学习的组织者、引导者和合作者” 这一新课程理念。通过这类题型的教学有助于培养学生阅读理解、收集信息、处理信息及自学能力。,例6已知抛物线l：y=ax2 + bx + c（其中a , b , c都不等于0），它的顶点P的坐标是（ ），与y轴的交点是M（0，c）.我们称 M为顶点，对称轴是 y 轴且过点P的抛物线为抛物线L 的伴随抛物线，直线PM为l的伴随直线。 （1）请直接写出抛物线y=2x24x + 1的伴随抛物线和伴随直线的解析式。伴随抛物线的解析式是 ；伴随直线的解析式是 。 （2）若一条抛物线的伴随抛物线和伴随直线分别是Y =x23和y =x3，则这条抛物线的解析式是 。,（3）求抛物线l：y=ax2 + bx + c（其中a , b , c都不等于0）的伴随抛物线和伴随直线的解析式。（4）若抛物线l与x轴交于点A（x1，0），B（x2，0）两点，x1x20,它的伴随抛物线与x轴交于C，D两点，且AB=CD，请求出a、b、c应满足的条件。 略解（1）y=2x2 + 1 , y=2x + 1. （2）y=x22x3. （3）伴随抛物线的顶点是（0，c），设它的解析式为y=m(x0)2+c(m0)。此抛物线过P（ ），解得m=a 伴随抛物线的解析式是y=ax2 + c.,设伴随直线的解析式是y=kx+c(k0),P（ ）在此直线上，k= ,伴随直线的解析式是 y = x + c.（4）抛物线l与x轴由两个交点，1=b24ac0, b24ac.x2x10, x1 + x2= 0, x1 x20,ab0,ac0. 对于伴随抛物线的解析式是 y =ax2 + c，有1=4 ac0。 由ax2 + c=0，解得x= C（ ，0），D（ ，0），CD=2 .,又AB= x2 x1= ,由AB=CD，得 =2 ，b2=8ac.a,b,c应满足的条件为b2=8ac且ab0或b2=8ac且bc0. 例7如图，这些等腰三角形与正三角形的形状有些差异，我们把它与正三角形的接近程度称为“正度”。在研究“正度”时，应保证相似三角形的“正度”相等。,设等腰三角形的底和腰分别为a、b，底角和顶角分别为，要求“正度”的值是非负数. 同学甲认为：可用式|a-b|来表示“正度”，|a-b|的值越小，表示等腰三角形越接近三角形 同学乙认为：可用式|-|来表示“正度”，|-|的值越小，表示等腰三角形越接近正三角形； 探究：（）他们的方案哪个较为合理，为什么？ （）对你认为不够合理的方案，请加以改正（给出式子即可）； （）请再给出一种衡量“正度”的表达式。 六、立体图形压轴题初露端端俾 所谓立体图形压轴题是指对一些基本的立体几何体（如正方体、长方体、圆柱体、圆锥体等）与其展开图之间数与形之间关系的探究或在日常生活中的应用的探究。,例11（2004年淮安市）如图6，一个无盖的正方体盒子的棱长为10厘米，顶点C1处有一只昆虫甲，在盒子的内部顶点A处有一只昆虫乙（盒壁的厚度忽略不计）。 （1）假设昆虫甲在顶点C1处静止不动，如图6，在盒子内部我们先取棱BB1的中点E，再连结AE，EC1。昆虫如果沿路径AEC1爬行，那么可以在最短的时间内捕捉到昆虫甲。仔细体会其中的道理，并在图7中画出另一条路径，使昆虫乙从顶点A沿这条路径爬行，同样可以在最短的时间内捕捉到昆虫甲。（请简要说明画法） （2）如图8，假设昆