高考数学高三数学总复习《函数的基本性质》

综合复习学案2.2 函数的基本性质简析：函数的基本性质是函数的核心内容，是历年高考的命题热点，考题主要涉及两个方面，一是判断函数的某些性质；二是研究函数的单调性、奇偶性、周期性等，多为中低档的客观题。考点内容要求函数的单调性理解函数的单调性.掌握函数的奇偶性结合具体函数，判断奇偶性并且进行简单的应用.掌握函数的周期性掌握几种周期语句和对称语句理解1. 函数的单调性的判断方法（1）定义法：设函数f(x)的定义域为I，对于I内某个区间D上的任意2个自变量x1，x2，当x1x2时，若f(x1)f(x2)成立，则f(x)是D上的_；当x1x2时，若f(x1)f(x2)成立，则f(x)是D上的_. 利用定义法证明单调性的步骤：任设两值；作差变形；判断符号；得出结论.（2）导数法：根据函数的导数求出相应的单调区间.（3）复合函数的单调性：若构成复合函数的内、外层函数具有相同的单调性，则复合函数为_；当内、外层函数的单调性相反时，那么复合函数为_. 判断复合函数的单调性的方法一般是：写出定义域；分解函数；判断每个函数的单调性；根据“同增异减”写出单调区间.（4）图像法：结合基本初等函数的图像快速判断函数的单调性.（5）快速判断函数的单调性：两个增（减）函数相加，结果依然是增（减）函数；一个增函数减去一个减函数则是增函数，反之，一个减函数减去一个增函数得到的函数则是减函数（注意：此类方法不适用于函数相乘）.2. 函数的周期性及对称性（1）周期函数的定义：对于函数yf(x)，若存在一个非零常数T，使得x取定义域内任意值都有f(xT)f(x)成立，那么yf(x)叫做周期函数，T即为函数的周期；当T为最小的一个正整数，那么此时的T叫做函数的最小正周期.（2）周期语句：（3）对称语句：f(x+a)f(x)，则f(x)关于直线_对称；若f(x+h)f(x)，则f(x)关于_对称3. 函数的奇偶性（1）奇偶性定义图像特点在关于原点对称的区间的单调性偶函数函数f(x)的定义域内任意一个x，都有_.关于_对称相反奇函数函数f(x)的定义域内任意一个x，都有_.关于_对称相同注 如果一个奇函数f(x)在0处有定义，则一定有f(0)0； f(x)是偶函数f(x)图像关于y轴对称；f(x)是奇函数f(x)图像关于（0,0）对称.（2）快速判断函数的奇偶性：两个奇（偶）函数相加，所得函数是_函数，两个奇 （偶）函数相乘，所得函数是_函数，一个奇函数乘一个偶函数则是_函数.例1. 证明函数f(x)2x在(，0)上是增函数规范步骤 设x1，x2是区间(，0)上的任意两个自变量的值，且x1x2.则f(x1)2x1，f(x2)2x2，f(x1)f(x2)2(x1x2)(x1x2) 由于x1x20，所以x1x20，因此f(x1)f(x2)0，即f(x1)f(2a)，则实数a的取值范围是_ 变式训练5. （1）已知f(x)是R上的偶函数，且在（，0上是减函数，若f(a)f(2)，则a的范围是_. （2）若函数f(x)为奇函数，则a_. （3）已知函数f(x)是奇函数，且f(2)5，则f(x)_.例6.（1）偶函数f(x)满足f(x+4)f(x)，当x（0,2）时，f(x)2，则f(9)_. （2）已知f(x1)f(x3)，且f(x2)f(x)，当x2,4时，则函数f(x)在0,8上满足f(x)0的根的和是_. 题后反思：_ _ _A组单调性（1）下列函数中，既是奇函数又是增函数的为（A）yx1 （B）yx3 （C）y|x| （D）yx|x|（2）函数y(2k1)xb在R上是减函数，则（A）k （B）k （D）k（3）下列函数中,在区间（0,1）上是增函数的是（A）yx22x （B）y3x （C）yx3 （D）yx24（4）在区间(0，)上不是增函数的函数是（A）y=2x1（B）y=3x21（C）y=（D）y=2x2x1（5）函数f(x)|x2|x的单调减区间是（A）1,2 （B）1,0 （C）0,2 （D）2，)（6）f(x)x22x(x2,4)的单调增区间为_，f(x)max_. （7）若f(x)为R上的增函数，则满足f(2m)f(m2)的实数m的取值范围是_（8）若函数f(x)|2xa|的单调递增区间是3，)，则a_.（9）函数f(x)在2,3上的最小值为_，最大值为_（10）函数f(x)2|x1|的单调递减区间是_.（11）函数f(x)log2(x22x)的单调递增区间是_.B组奇偶性（1）下列函数是偶函数的是（A）yx （B）y2x23 （C） （D）yx2，x0，1（2）如果偶函数在a，b具有最大值，那么该函数在b，a有（A）最大值（B）最小值 （C）没有最大值（D）没有最小值（3）已知函数f(x)为奇函数，且当x0时，f(x)x2+，则f(1)（A）2 （B）0 （C）1 （D）2（4）下列函数为偶函数的是（A）ysin x （B）yx3 .（C）yex （D）yln（5）已知定义在R上的奇函数f(x)，满足f(x4)f(x)，则f(8)的值为（A）1 （B）0 （C）1 （D）2（6）设偶函数f(x)在(0，)上为减函数，且f(2)0，则不等式的解集为（A）(2,0)(2，)（B）(，2)(0,2)（C）(，2)(2，) （D）(2,0)(0,2)（7）已知yf(x)x2是奇函数，且f(1)1.若g(x)f(x)2，则g(1)_. （8）设函数f(x)x3cos x1.若f(a)11，则f(a)_. （9）若函数f(x)x2|xa|为偶函数，则实数a_. （10）函数f(x)x21，x(1,3的奇偶性为_.C组周期性（1）已知函数yf(x)是R上的偶函数，且对于任意的x都有f(x+6)f(x)f(3)，则函数f(x)的最小正周期是 （A）3 （B）6 （C）4 （D）9（2）设函数f(x)的周期为2，且当0x1时，f(x)2x，则f(3)，f(1)，f(2)的大小关系是 （A）f(3)f(1)f(2) （B）f(3)f(1)f(2) （C）f(3)f(1)f(2) （D）f(3)f(1)f(2)（3）设f(x)是周期为2的奇函数，当0x1时，f(x)2x(1x)，则（A） （B） （C） （D）（4）定义在R上的函数f(x)满足f(x6)f(x)，当3x1时，f(x)(x+2)，当1x 3时，f(x)x则f(1)f(2)f(3)f(2012)_.（5）已知f(x)是R上最小正周期是2的周期函数，且当x0，2）时，f(x)x3x，则函 数yf(x)的图像在0,6内与x轴交点的个数为 （A）5 （B）6 （C）7 （D）8（6）定义在R上的函数，则f(2009) （A）2 （B）2 （C）1 （D）1（7）设函数f(x)是定义在R上周期为2的偶函数，当x0,1时，f(x)x1，则 _.（8）已知函数f(x)是定义在R上的奇函数，其最小正周期为3，且x时，f(x) log2(3x1)，则f(2 011)_.（9）关于yf(x)，给出下列五个命题： 若f(1x)f(1x)，则yf(x)是周期函数； 若f(1x)f(1x)，则yf(x)为奇函数； 若函数yf(x1)的图象关于x1对称，则yf(x)为偶函数； 函数yf(1x)与函数yf(1x)的图象关于直线x1对称； 若f(1x)f(1x)，则yf(x)的图象关于点(1,0)对称； 若f(1x)f(1x)，则yf(x)的一个周期是4. 填写所有正确命题的序号_函数的单调性是函数局部的性质，而奇偶性则是函数整体的性质； 判断函数奇偶性的前提是定义域关于原点对称，若某一函数的定义域不关于原点对称，则是非奇非偶函数； 基本的周期语句的形式：f(xT)f(x)，关于直线的