数学思维与数学能力.doc

第六章 数学思维与数学能力教学目标 了解数学思维的种类、含义方法；理解数学能力的基本内涵与特征，熟悉中学数学教学培养数学能力的方法与途径。学时 4教学方法 课堂讲解；课例讨论重点、难点 数学思维与数学能力的意义教学过程6-1 数学思维与数学基本能力的培养一、数学思维（Mathematical thinking）1、思维的种类根据思维过程中的凭借物或思维形态不同，可将思维分为动作思维，形象思维和抽象思维三大类。动作思维，就是在思维过程中依赖实际动作为支柱的思维，其特点是：任务是直觉的，以具体形式给予的。其解决方法是实际动作，动作停止，思维也即停止。例如：动手做、折纸等。形象思维，是由表象或凭借事物的知觉形象来进行分析、综合、抽象、概括的过程。这种思维的基本单位是表象。例如：空间观念、函数图象、向量。抽象思维，是以概念、判断、推理的形式来反映客观事物的运动规律，以达到对事物本质特征和内在联系的认识过程。思维的其他分类：再现性思维和创造性思维（智力品质）；发散性思维和聚合（集中）思维（指向性）；（求异） （求同）直觉思维（顿悟）和分析思维。在数学学习中，随着学习内容的不断加深和抽象概括水平的逐步提高，学生的数学思维也逐步由直观行动的动作思维发展到具体形象思维，再发展到抽象的逻辑思维。同时，由于数学思维的复杂性，年龄的增长，学习内容的综合，这三种思维成分之间往往又是相互渗透的。数学思维最主要形式是逻辑思维及分析思维。2、数学思维的基本成分形象思维、抽象逻辑思维及直觉思维是数学思维的基本成分。（1）形象思维数学虽以其抽象性、严谨性著称，但数学思维中也有形象思维的成分。这里人们建立在理解数学概念的基础。在数学科学的演绎体系中，从原始概念到命题、结论，无一不是从具体事物中抽象出来的理想事物。以图表为例。在数学中，图不仅是研究的对象，而且也成为重要的数学语言，是对数学进行思维表达的工具。用图形表现数学内容能化抽象为具体、化深奥为浅显，从而有利于抽象数学内容的识记、保持和运用。形象思维，具备思维的各种特性。它的主要心理成分有联想、表象，想象和情感。（2）抽象逻辑思维它是以概念、判断、推理的形式来进行的思维。它是一切正常人的思维，是人类思维的核心形态。数学中的抽象逻辑思维包括形式逻辑思维和辩证逻辑思维。l 抽象思维又分为经验型抽象思维和理论型抽象思维。一般地，小学形象思维为主初中经验型抽象思维高中经验型抽象思维向理论型抽象思维过渡大学理论型抽象思维l 辩证思维，是抽象逻辑思维发展的高级阶段。这种思维依据的不是形式逻辑，而是辩证逻辑。所谓辩证逻辑是同形式逻辑相比较而存在，并且是在形式逻辑的基础上发展形成的，所以它属于高等逻辑。辩证逻辑的概念具有灵活性和具体性，强调思维反映事物的内在矛盾。在数学中有丰富的辩证法思维。恩格斯说：“数学，辩证的辅助工作和表现形式。”例如：正与负，常数与变数，微分与积分，直线与曲线等 （对立统一）数与形（如曲线和方程，倾向和斜率等） （矛盾转化）分数与整数，有限和无穷 （量变质变）导函数的产生是对原始函数的“否定之否定”的结果。还有：个别到一般，相对到绝对，从有限认识无限等，必然中之偶然。（3）直觉思维直觉思维，就是具有意识的人脑对于数学对象、结构以及规律性关系的敏锐的想象和迅速的判断。它包括两个方面，一是判断（洞察），二是想象，并且二者有机结合。l “判断”，是指人脑对数学对象以及结构关系的一种迅速的识别、直接的理解、综合的判断；l “想象”，是指人对脑中已有的表象进行加工改造，创造出新形象的过程。布鲁纳指出，直觉思维“它不是一按仔细的规定好的步骤前进为其特征的”，“总是以熟悉牵涉到的知识领域及其结构为根据，使思维者可能实行跃进、越级和采取捷径；多少需要用分析的方法不论演绎法或归纳法，重新检验所作的结论。”数学直觉思维往往会表现在灵感直觉和普通直觉两个方面。它具有潜逻辑性、无意识性（自发性、不可解释性及随机性）的特征。概括地说，所谓数学直充思维就是大脑基于有限的数据资料和知识经验，充分调动一切与问题有关的显意识和潜意识，在敏锐想象和迅速判断有机结合下，从整体上单刀直入地领悟数学对象的本质，洞察数学结构和关系的一种思维。这种思维的实质，是对数学对象及其结构、关系的想象和判断。二、数学基本能力能力是直接影响活动的效率，使活动顺利完成的稳定的个性心理特征。有以下要点：能力是活动中表现出来的；能力是影响活动效果的；能力是稳定的个性心理特征。智力是属一般的能力。它是观察力、记忆力、注意力、想象力、思维力的总称。但，数学成为是要反映出数学特点的。因此它是一种特殊的心理能力。中学数学教学里提到的数学基本能力是：运算能力，逻辑思维能力和空间想象力；还有分析问题、解决问题的能力，创新意识（精神）。两种数学能力的区分：学习数学的数学能力和“创造性”的数学能力。所谓学习数学的数学能力就是在学习（学会、掌握）数学（数学课程的数学）的过程中，迅速而成功地掌握适当知识和技能的能力。所谓“创造性”的数学能力，是在数学科学活动中的能力，这种能力产生具有社会价值的新成果和新成就。我们认为：二者本质相同，只是在程度上不同。如阿达玛断言，在试图解数学题和几何题的学生的活动与数学发现者的活动之间，仅仅只有程度上和水平上的差异这两种活动在性质上是相似的。学习数学的能力是创造性数学能力的一种表现。中小学学生的数学能力是高水平数学能力的初级阶段。已知的东西重新发现可以是创造性的。它的结果可能是非创造性的，但其过程却是创造性的。这两种数学能力都是在创造性的数学活动中形成和发展起来的。因此，它们具有本质上的相同。但是由于形成这两种数学能力的实际活动分别属于不同的层次，因此它们也有区别。同时，在一定条件下，学习数学的能力可以发展成为创造性的数学能力，而且要具备创造性数学能力，必须首先具备较强的学习数学的能力。由此可看出，中学数学教学的所要培养的运算能力，逻辑思维能力和空间想象中主要属于学习数学的教学能力。在中学数学教学中，可以进行创新精神、研究性意识和创造性思维的培养。其它还有更广泛的数学能力：数据处理能力、数学语言能力、审美能力、自学能力以及数学建模能力。三、数学基本的能力的培养途径（一）运算能力1、运算能力：运算通常可理解为一种特殊的映射。运算过程可以理解为根据运算定义及其性质，从已知的运算对象导出结果的过程。中学数学的运算主要涉及数与式的各种代数运算（整式、分式、根式运算）；初等超越运算（三角运算、指数运算、对数运算）；微积分中求导、求积的初步运算；概率的运算和大量的数据处理。此外，还包括一些初等的“集合运算”和逻辑运算。总之，数学运算在中学教材中是贯彻始终的。例 定义：一个AB到D的映射叫做一个AB到D的代数运算。用“o”表示： o：(a,b) d = o (a,b)例 数值计算，式的恒等变形，方程与不等式的同解变形；函数的运算；计算器、计算机数据处理，程序操作等；近似计算（估算）；数（式）的结合与分解。2、培养运算能力的基本途径（1）使学生理解和掌握各种运算的有关概念、性质、公式、法制等，是确保运算正确、合理的（根本）前提。包括一些常用数据、口诀、速算的方法等。（2）进行推理训练是提高运算能力的必要途径。（步步有根据、有充足理由、注意运用性质和公式进行推理）（3）加强运算练习是提高学生运算能力的更有效途径。3、中学数学运算能力应达到的目标深刻理解数学符号（图形）的含义以及数学符号（图形）运算所表达的数学内容；熟记各种重要数据、公式和法则；理解重要恒等变形的基本公式、法则的本质特征和数学思想；理解运算的算理，并能根据算理进行合理的推导；有较强的观察能力，能根据题目所给条件，探讨解题途径，寻求简捷、合理的解法；会使用数学用表、会心算、近似计算和估算；能运用数学知识从不同角度进行验算和检验；能迅速准确地得出解题结果。（二）空间想象能力1、空间想象能力，是指人的对客观事物的空间形式进行观察、分析和抽象思考的能力。数学中的空间想象力是指对物体的形态、结构、大小、位置关系的想象能力。2、培养空间想象力的基本途经学好有关空间形式的数学基础知识；如 立体几何，平面几何，解析几何及其他数形结合内容等。例 数轴、坐标、函数图像、三角函数的意义，曲线与曲面几何量的度量与计算，函数的极限与连续等。通过某些数学实践活动培养空间想象力；例如 观察、剖析、测量、设计作用或制作模型，数学实验等。利用几何的图像表达数量关系；把立体几何的教学作为重点，充分利用实物、模型、教具、挂图等直观教具。3、中学数学空间想象力应达到的目标对基本的几何图形熟悉，能正确画图，能在头脑中分析图形的基本元素之间的度是关系和位置关系。能借助图形来反映并思考客观事物的空间形状及位置关系。能借助图形来反映并思考用数学语言或式所表达的空间形状和位置关系。熟练的识图能力。即从复杂的图形中能区分出基本图形，能分析其中的基本图形和基本元素之间的基本关系。NOTE：关于数学能力的实质说（一）数学概括能力是数学能力的核心 曹才翰：中学数学教学概论，北京师范大学出版社，1999年，8689。 （二）数学能力实质的认识结构说 （三）“以习题演练为基础，以问题解决为主导”的能力培养理念（四）问题解决是数学应用的实质，数学建模是问题解决的核心AH柯尔莫戈洛夫在谈到数学中直觉的作用时曾指出：“在只要有可能的地方，数学家总是力求把他们研究的问题尽量地变成可借用的几何直观问题。几何想像，或如同平常人们所说的几何直觉，对于几乎所有数学分科的研究工作甚至对于最抽象的工作，有着重大的意义”。（三）逻辑思维能力1、逻辑思维能力就是正确、合理地进行思考的能力。中学数学的逻辑思维能力，是根据正确的思维规律和形式，对数学对象的属性进行分析综合、抽象概括、推理论证的能力。中学数学内容是通过逻辑论证来叙述的。数学中的运算、证明、作图都蕴含着逻辑推理过程。逻辑思维是数学中诸能力的核心，如果离开了逻辑思维能力的培养，那么要想学好数学是根本不可能的。运算能力是逻辑思维与一些具体的运算知识和技能相结合而在处理数量关系方面的表现；空间想象力则是逻辑思维与一些经验几何知识和识图、作图技能相结合而在处理空间形式方面的表现。2、培养逻辑思维能力的基本途径坚持数学的严谨性把数学直观作为逻辑推理的补充通过解题训练积累思维经验重视教材中逻辑成分的讲解3、中学数学逻辑思维能力应达到的目标能从具体对象中抽象概括一类事物的本质特征；在分析问题和解题过程中，因果关系明确、逻辑层次分明、结构简明、步骤完整；能运用综合、分析方法、寻找最优解法；能使用数学语言流畅地叙述自己对问题的思考和解答过程，而且能熟练地使用数学符号、完整地表达这个过程；能准确识别数学语句的逻辑形式；能综合运用观察、拟情推理、转化、设想、方向选择等分析思维方法；具有鉴别证明或解答是否正确的能力；能构造反例纠正逻辑错误；能摆脱固有模式，善于从不同角度去思考问题，并且思考敏捷，转向灵活。（四）如何加强数学能力的培养的教学探讨 1、 加强“双基”教学，为培养学生的能力打下坚实的数学基础；“智慧不是别的，而是一种组织得很好的知识体系”（俄乌申斯基）。知识是培养能力的基础。2、 重视数学思想方法的教学，是培养学生能力的重要方面；数学思想方法的教学，是数学素质教育的重要内容。3、 注重思维能力的培养，为培养学生能力的主攻方向；数学教学是数学思维活动的教学。思维能力是能力的核心。特别是数学的探究能力、抽象概括能力和推理论证能力。4、 指导学生运用知识解决实际问题，为培养学生能力开辟多种途径；数学的应用，数学建模，问题解决，研究性课题等。5、 坚持启发-创新的教学模式，为培养学生的能力创造有利条件；激发兴趣，合作交流，研究性学习。6、 指导学习方法，为学生的能力培养提供积极因素。质疑、善问、示范、探究、自学。（五）阅读材料：中学生数学能力结构剖析表 李永新：中学数学教材教法（上册），东北师范大学出版社，2001年.P195. 思考与练习（P193）6-2 问题解决的教学与创造性思维能力的培养一、什么是问题（Problem）1、问题，是认识主体想要弄清楚或力图说明的东西，也就是主体所要解决的疑难。当人们与客观世界产生接触，从抽象的量化的角度建立模式的过程中反映出认识与客观世界的矛盾时，就形成了数学问题。换言之，以数学为内容，或虽不以数学为内容，但必须运用数学概念、理论或方法才能解决的问题称为数学问题。2、“问题”与“习题”、“考题”有什么区别和关系？习题（Exercise）的目的在于巩固和练习，内容是常规的，学生易于模仿；考题（Test Question）专指在限定时间内笔试且必须独立完成的题目。问题（Problem）应如何定义，尚无统一的看法，有以下特点：非常规，即不是教材内容的简单模仿，不是靠熟练操作就能完成的，需要较多的创造性；重视情景与应用，即给出问题往往不是纯数学化的“已知”、“求证”模式，而是给出一种情景，一种实际要求，以克服一种现实困难为标志。探究性，问题不一定有解、答案不必唯一，条件可以冗余，模型可以自己设计，这往往需要动手操作、试验，与别人讨论，不必限时限刻地要求个人独立完成。开放性，其发散思维十分突出。数学教育活动中，“解题”是最基本的活动形式。无论是学生的数学概念的形成、数学命题的掌握、数学方法和技能技巧的获得，还是学生智力的培养和发展，都必须通过“解题”，同时，“解题”也是评价学生的知识和发展水平的主要手段。在我国传统的数学教育观念中，“解题”意味着解答“习题”。我们所说的习题包括训练性的题和探索性的题，与国外的练习（Exercise）的含义不完全相同，可以蕴涵“问题”（Problem）的大部分内容。但是，我国传统意义下的习题，显然不包括具有“开放性答案”和某些从实际生活中提出的条件不充分的“问题”。3、数学史的例证：九章算术（公元前一世纪）就是一本问题集，收录九类246个问题；秦九韶数学九章（南宋十三世纪）也是一本百科全书式的问题集，九类81题。从问题出发，从算法算理中总结数学原理而不是以推理论证为主旨，是中国传统数学（算学）发展的一条主线。吴文俊指出：“我国的古代数学基本上遵循了从生产实践中提练出数学问题，经过分析综合，形成概念方法，并上升到理论阶段，精炼成极少数一般性原理，进一步应用于多种多样的不同问题。从问题而不是从公理出发，以解决问题而不是以推理论证为主旨，这与西方之以欧几里得几何为代表的所谓演释体系旨趣迥异，途径亦殊。”“问题”的例证 （参见戴再平数学习题理论P. 12；开放题数学教学的新模式）美国著名数学教育家基尔巴屈克（JKilpartrick）列举以下六个题目，以显示“问题”的不同含义：（1）已知，问x是多少？（这是常规计算题）（2）如图： 1Ounce = 29.57 cm3, 1=1/100美元（3）如果一怀7 Ounces的汽水卖25，问一杯12盎斯的汽水卖多少钱？NOTE：（2）、（3）属于教材中文字题。（4）三个学生正在筹办一次野餐，他们了解到一杯7盎斯的汽水通常卖25，现在他们想知道一杯12盎斯的汽水应该收多少钱？（5）社区举办慈善性野餐，有位办事人员定出一杯7盎斯的汽水的价格是25，并问你一杯12盎斯的汽水应卖多少钱？NOTE：（4）、（5）属于问题情境题。（6）如果一杯7盎斯的汽水卖25，则按比例计算时，一杯12盎斯的汽水的价格不刚好为整数。一个解决的方式是把一杯7盎斯的汽水价格提高一些，使得按比例算出来的一杯12盎斯的汽水的价格为整数。请你提出解决的方案，在各种可能的解决方案中，提高的最少数目是多少？（non-routine problem）（可以导出来有两个未知数的不定方程）NOTE：（6）属于非常规问题。日泽田利夫的“开放型”（Open-ended）问题A、B、C三人作掷石子的游戏，结果如图，这个游戏是以石子散落的距离小者为优胜。请想一想如何用“数”来表示这个“散度”？ A B C以下是几种比较“散度”的方法：多边（角）形的面积；多边（角）形的周长；连续两点的最长线段；连续各点的线段之和；从某一点引向各点的线段之和；覆盖各点的圆的最小半径；由于坐标的引入而产生的平均差标准差高考中的开放性问题（开放题数学教学的新模式P252、268）国外的例证：1687年INewton的自然哲学的数学原理一书也是把数学建立为理论科学的方法论的范例。牛顿从他那个时代所积累的天文数据中发现了模式，他的理论就是源于数据、演绎推导、观察证实的一种模式的科学。（Science of Patterns）。对解题的思维策略的探讨始终是数学发展中的一条线索。LEuler应用了从有限过渡到无限，从代数方程过渡到三角方程的方法，求得了雅各贝努利（Jacob Bernoulli）没能解决的级数的和：迄今为人们所推崇，被认为是运用类比推理的典范。笛长尔（RDescartes）在创立了解析几何之后，进一步没想过一个包罗万象的解题方案；将任何种类的问题化归为数学问题；将任何数学问题化归为代数问题；将任何代数问题化归为方程求解。这虽然是一个古老的哲学梦想，但对数学发展的影响是深远和深刻的。1900年，伟大数学家DHilbert在巴黎第二届国际数学大会上以“23个数学问题”的著名演讲，昭示着数学问题对数学发展的推动。他说道：“只要一门科分支能提出大量的问题，它就充满着生命力；而问题缺乏则预示着独立发展的衰亡或中止。”这23个问题解决成为20世纪数学水平的标志。正如人类的每项事业都追求着确定的目标一样，数学研究也需要自己的问题。正是通过这些问题的解决，研究者锻炼其钢铁意志，发现新方法和新观点，达到更为广阔和自由境界。猜想:哥德巴赫CGoldbach猜想：1742年6月7日，德 Goldbach给侨居俄国彼得堡的大数学家Euler的一封信提出：是否任何不比6小的偶数均可表为两个奇质数之和？比勃巴赫猜想（LBieberbach）：1916 年，德 Bieberbach提出原猜想是：定义在单位圆上形如z+a2z2+a3z3+的单叶函数，有。Bieberbach本人只证明了，结论经过多次改进，最后由美达布兰奇斯（Lde Branges）于1984年彻底解决。正如人类的每项事业都追求着确定的目标一样，数学研究也需要自己的问题。正是通过这些问题的解决，研究者锻炼其钢铁意志，发现新方法和新观点，达到更为广阔和自由境界。费马（Fermat）大定理。庞加莱（HPoincare）的“三体问题”。以及由于计算机的出现摆在数学家面前的大量的应用问题对数学发展的推动。如：四色问题。数学界普遍接受美国数学家PRHalmos的下述说法：数学究竟是由什么组成的？是公理？定理？证明？概念？定义？理论？公式？诚然，没有这些组成部分，数学就不存在，这些都是数学的重要组成部分。但是它们中的任何一个都不是数学的心脏，这个观点是站得住脚的，数学存在的主要理由就是解题。因此，数学的真正的组成部分是问题和解。二、问题解决（Problem Solving）是数学教育的核心1、“问题解决”的含义是什么？目前尚无统一解释，归纳有以下几种情况：（1）问题解决是人心理活动。它指的是人们在日常生活和社会实践中，面临新情境、新课题，发现它与主客观需要的矛盾而自己却没有现成对策时，所引起的寻求处理问题办法的一种心理活动。（2）问题解决是过程。它是把以前面学到的知识运用到新的和不熟悉的情境中的过程。（3）问题解决是教学类型。应将“问题解决”的活动形成看作教和学的类型，不应将其看成课程附加的东西。（4）问题解决是目的“学习数学的主要目的在于问题解决。20世纪80年代以来，世界上许多国家都把提高学生问题解决的能力作为数学教学的主要目的之一。”（5）“问题解决”是能力1982年，英国考克罗夫特（Cockroft）报告中指出：“那种把数学用之各种情况的能力，叫做问题解决”。我们认为：问题解决提出一种新的教学模式。和过去一个定理，一个公式地学习现成的数学真理的静态过程不同，它要求学生创造（建构）“自己”的数学知识，在和困难作斗争中探究数学真理，因而是动态的。“问题解决”不是一种具体的技能，它是贯穿在整个数学教育过程中，应该在数学教育中所体现的一条主线。在数学中，“问题解决”为学生提供了一个发现、创新的环境和机会，为教师提供了一条培养学生解题能力、自控能力和应用数学知识能力的有效途径。“问题解决”教学模式对于英才教育和大众教育都是需要的。