材料力学-第五章

.第九单元(2)第五章 弯曲应力5-2 引言 以弯曲为主要变形的构件称为梁，如房屋的梁与火车的轮轴。本章主要研究外力作用在同一平面，变形也在同一平面的梁。实际上，这也是最常见的情况。 三种静定梁 固定铰 简支梁 可动铰（链杆） 固定端 悬臂梁 集中载荷 分布载荷 集中力偶 外伸梁5-2 剪应弯矩方程与剪应力弯矩图一、剪力与弯矩 研究梁的内力，仍使用截面法，由取出段的平衡，可知除了存在剪力，还存在弯矩。 ，“+”符号： 使保留段顺时针转 使保留段内凹 ，“-”符号：二、剪力弯矩方程与剪力弯矩图 剪力、弯矩与坐标X间的解析关系式，即称为剪力方程与弯矩方程。表示剪力与弯矩沿梁轴变化的另一重要方法为图示法，图示曲线称为剪力、弯矩图。例1： 1.求支反力校核(为保证正确, 要求校核) 2.建立，方程(截面法) AB段： BC段： 也可以只建一个坐标系， BC段： 3画图 图 图例2：(分布截荷，注意力系简化条件) 1.支反力 2. ，方程 AB： BC： 3.画，图第10单元 刚架：由刚性接头连接杆件所组成的结构。 铰链：传力，不传力矩 刚性接头，传力又传力矩 刚架中、，可能同时存在 内力符号 (拉正压负) (使研究对象顺时针转为正) (不规定正负，画在受压一侧) 有教材将竖杆看作横杆延伸部分的作图，但对于上图的三竖杆刚架将出现十、一号规定的自相矛盾。因此不规定正负号，画在受压一侧。具体画时，自行规定正向，但不标出正负号，如下图，左、右两观察者得出的弯矩正负号不同，图会画在同一侧。土木类教材将弯矩图画在受拉侧，如孙训芳“材料力学”。例： M方程 AB： BC： DC： 在没有集中力偶处，刚性接头两端弯矩相等，图在同一侧。例：平面曲杆：轴线为平面曲线，N、Q、M M：画在受压一侧(列Q、M方程时，采用曲线坐标，一般用极坐标)直线段：圆弧段：(1.可去掉右边一段，代之以反力和反力偶，2.弧坐标)例：(双杠的力学模型)支座设于何处，最大? 分析：在载荷运动中，梁有两危险截面，即支座处和中点，最大弯矩随长度X变化，规律相反。 “等强”，使两种危险情形的最大弯矩相等，实现最大弯矩为最小 1.P位于梁中点(弯矩用红线) 2.P位于梁端点 3.等强： 即外伸部分为中间部分的1/4，本问题为等强原则的推广。5-3 剪力、弯矩与载荷集度间的微(积)分关系 (本节研究载荷集度、剪力、弯矩三者的关系，及其在绘制剪力、弯矩图中的应用)微段的平衡：坐标系向左为正，载荷q(x)，向上为正。 函数在一点的展开的泰勒公式： 一、微(积)分关系略去二阶微量，得 (5.1) (5.2)： (5.3) 上述三个关系式的力学意义：微段的平衡 几何意义(为用于作Q、M图，将仔细研究)。 (上面的推导是对均布载荷而言。集中载荷在力学上是高度集中的分布力的抽象，在数学上代表一个奇异点。在这点，函数值发生跳跃)如图：当，保持常值，变为集中力图的跳跃，下面就一般情形研究此问题： 对于集中力情形， 略去高阶微量 (几何意义：P向上，Q图向上跳跃) (连续)集中力偶情形： 连续 (顺时针，图向上跳跃) 从数学上看，剪力、弯矩图就是函数的图象，因此可以利用函数的各种性质，包括微分和积分性质，总结出画剪力弯矩图的快捷方法。 几何意义(用来绘制剪力弯矩图) 正向规定：轴，P，q(由剪力、弯矩方程绘图时，不必加此限制。由微积分关系画图, 如正向规定不同，某些量会改变符号) Q图：斜率=q，q=常数：直线 P点跳，(P上指，Q图上跳)(任意截面)图左边面积+集中力(含支反力) 斜率=q 斜率=Q 图：斜率=Q 点跳（顺时针，上跳) ，极值(或拐点) 凹凸性：(比喻:雨落伞凸面)(任意截面)图左边面积+集中力偶(含支反力偶)第十单元例：利用、的微分关系绘制、图 1.分段、段值 2.利用微分关系连线水平斜上斜下 在绘图中，计算端值是较费时的，这可以利用积分关系解决。 极值点，补算例：利用微分积分关系绘制剪力弯矩图。 1.求支反力 2.Q图(从零开始) A点：向上跳(支反力向上) AB：水平 B点：下跳，水平 C点：连续 D点：上跳，(校核：回到零点) 3.M图 A点：0 AB：直线斜上 B点：Q图左边面积 BC：直线斜下 C点：Q图左边面积，外力偶顺时针，上跳CD：直线斜下D点：Q图左边面积+外力偶=0 校核：回到零点例： Q图： A：上跳 AB:水平 B：连续 BC：直线斜下 C：左载荷图(负)面积下跳 CD:水平 D：上跳回零 (回零校核很重要) M图：(从零开始) A：上跳 AB：斜上直线 B：左图面积 E：Q图零点，M图极值 BC：曲线，(,“顶肚皮”) C：左边面积 CD：斜下直线 D：图左边面积，回零点作校核例：梁间铰，Q：连续，M：=0 1.求反支力 ， (注意必须折开，先分析BD段) 2.Q图 A：上跳 AB：水平 B：连续(无须考虑铰) BC：斜下 C：(载荷图段面积)=0，连续 BC： C：下跳 CD:斜上 CD： D：载荷图左边面积 D：回到0 下跳到零 3M图： A：下跳 B：-+Q图左边面积等于零(不须考虑铰，但该出等于零可作校核)思考：为什么画剪力、弯矩图时不须考虑中间铰答：求约束反力时已利用了中间铰条件，中间铰处M=0可作校核。例：三角形分布载荷的剪力、弯矩图 1.载荷图(题中为工程载荷图，此处数学坐标形式) (将载荷图用数学坐标形式表示 ，有助于利用微积分关系画剪力弯矩图) 两点式： 2.剪力图 A点：上跳 C点：+负面积 AC：（由载荷图） 下跳 CB：（） B点：上跳到0，校核 3.弯矩图：抛物线面积（1）； （2）。例(P159，5.5a)：剪力、弯矩图的反问题，已知Q、M图，求q图 (1)利用剪力图画集中力和分布力 A点：上跳，代表向上集中力 图斜率，代表向下均布载荷 (2)利用弯矩图画集中力偶A点和B点均下跳 代表此两点都作用有逆时针力偶 (3)受约束的静定梁形式不是唯一的，见图示两例。微积分关系也用于作刚架的剪力、弯矩图。刚架可看作分段的梁。第11单元内力及内力图小结 融汇贯通所学知识，熟练掌握内力图画法. 内力(广义)、(轴力、扭矩、剪力、弯矩)1.力学：平衡关系 理力：刚体的平衡，求约束反力(外力) 材力：构件一部分的平衡，求内力(截面法) (将构件另一部分看作约束，与理力求约束反力的相同) 刚体平衡:代数方程 微段的平衡：微分关系式 取研究对象后：由刚化原理、可应用刚体的平衡方程 (从这个角度认识问题，就不必再一一归纳：在变形体力学中，力的可传性原理适用吗?力系是否可简化等等问题)2.(从)数学(角度)：内力函数及其图象 (1)内力符号 （a）N、T、Q与坐标无关，需标正负号。 （b）与坐标相关(凹凸性暗含了坐标上指还是下指)，标正负号，画在受压侧，物理属性与坐标无关。 (2)作图 a.利用内力函数(Q、M方程，T、N方程) b. c.刚架看作分段的梁3.工程(意义)内力分布规律的形象化对比剪流、电力线、磁力线课堂练习第12单元5-4 弯曲正应力 引言 “一点失效”概念，求， Q，M(主要应力，见图) 对称弯曲：梁至少有一个纵向对称面，外力作用在此面内，变形对称于纵向对称面。 对称纯弯曲：（矩形截面梁的纯弯，从简单到复杂分析方法，应力分布未知，内力静不定问题) 几(变形关系应变分布规律)物(应力分布规律)静力学(应力大小)一、几何方面1.外部变形(观测) (1)纵向线(成同心圆弧，靠顶面缩短，底部伸长) (2)横向线(仍为直线，相对转动，与纵线正交) (3)纵横线变形比(实验量测符合泊松比)(利用上面观测的现象，对内部变形作假设)2.内部变形(假设) (1)平面假设(从(1)和(2)，横截面变形后保持平面，与梁轴正交，截面间相对转动。) (2)单向受力假设(从(3)，纵向纤维仅受正应力，无横向挤压应力。此条假设是从几何假设到物理假设) 重要推论：既然弯曲时，一侧纵向纤维伸长，一侧缩短，总有一个面既不伸长，也不缩短。 中性层，中性轴(横截面与中性层交线) 中性层 中性轴3.正应变公式(平面假设的数学描述) 任取梁-微段，变形前，变形后。 (a)(a)式代表了梁中纵坐标为的任一“纤维”的正应变，它是平面假设的数学描述)二、物理方面 由胡克定律与(a)式(利用了单向受力假设) (条件，即线弹性) (b)1.式(b)表明：横截面正应力沿高度线性变化，沿宽度不变2. (1)未知，(2)中性轴位置未知，无法计算。它们由静力学方程解决三、静力学方面 （1） (中性轴过形心) 均质薄板的重心，即板中面形心，为板厚。 （2） 令对z轴的惯性矩 ，EI：截面弯曲刚度 (5-4)上式即用曲率表示的弯曲变形公式，代(5-4)到(b) (5-5)此即弯曲正应力一般公式。四、最大弯曲正应力(令5-5中)抗弯截面模量。 矩形 圆形(空心) (，d、D分别为管的内外径) 型刚的,查教材表P310-313,附录F。附录A 极惯性矩与惯性矩(P291)(截面的几何性质) 杆件中的应力和变形，不仅与外力相关，而且与截面的几何性质相关，我们已学过(圆) (圆), , 等等 我们还将遇到一些新的表征截面几何性质的量，为方便以后的研究，下面从纯几何的角度集中研究这个问题。A-1 静矩与形心 回顾数学与理力中的重心计算公式(以坐标为例) 对于均质薄板，重心与形心(几何中心)重合 (1) (2)定义静矩(一次矩) (3)代入(1)和(2) 通过截面形心的坐标称为形心轴，截面对面的静矩为零。(自学P293,例1)A-2 极惯性矩 (P2294,自学)A-3 轴惯性矩 ，分别称为对轴与轴的惯性矩1.对形心轴的惯性矩 积分，三角形，矩形见P296-297 对圆：2.平行移轴定理 对任意轴的惯性矩的计算，除了直接积分外，还可以利用平行移轴定理。i)对比理力相应公式(刚体转动惯量的平行移轴定理)ii)对两任意轴，平行移轴定理是否成立?不成立，不是形心轴，推导的中间项不为零。组合公式： 根据面积积分等于它各部分面积积分之和的原理，我们得出组合公式 静矩， 形心 (，形心坐标) 负面积法：上述公式中，取整体减孔洞 第13单元5-5 矩形与薄壁截面梁的弯曲剪应力 已经研究了纯弯梁的正应力，现在研究横力弯曲，由剪力Q引起的剪应力。 问题：剪应力是否沿横截面分布?如果均布，由剪应力互等，上表面剪应力为零将导致截面剪应力为零，矛盾。 历史(提出此方法)，D.J.Jourawski(1821-1891)，俄国铁路工程师，枕木开裂，材力分析法。Saint Venant精确解，特殊情形。一、矩形截面梁的弯曲剪应力 (考虑仅增加平衡方程中高阶微量)1.假定 /侧边(剪应力互等) 沿均布2.平衡(截取微段)(沿高度变化，难以直接研究，利用剪应力互等，沿水平面不变，且与有平衡关系)3.分布 的形心 代入上式 (为平均剪应力1.5倍) 由于剪应力存在，平面假设不精确成立，矛盾解法。时，相当精确。二、对称薄壁梁的弯曲剪应力1.尺寸参数 (截面中心线，壁厚)2分布（1）中心线（互等）（2）沿厚度均布（因薄）2.的大小(思路：与求矩形截面剪应力一样，从开口处截取一微段，直接求横截面剪应力困难，利用剪应力互等，转化为求纵向截面剪应力。微段，任意长)4.剪流(利用剪流概念，可形象定的方向) 工字形截面 (1)腹板剪应力方向取单元块，在图示剪力下，为正。 单元块纵向剪应力向前横截面剪应力向右。(2)上述判别麻烦，可由剪流比拟得到形象直观的简单判别。在腹板上剪流方向与同，其余依它定。比较闭口薄壁杆扭转一条永远循环的恒定河，q(s)形成的“河”沙漠河，开始有水渗出，河水渐多，过中性轴后渗漏，直至水消失。 翼缘 腹板 点剪应力为点的2倍，点剪应力最大。 闭口薄壁梁，根据对称性，A端的剪应力为0，可以取一半分析，见A点取出微体，长，。 对工字梁，由于腹板存在，和得出腹板剪流为翼缘2倍的结论。三、弯曲正应力与弯曲剪应力比较 P1142例5-11，自学 实心细长梁，弯曲剪应力较正应力小得多，可忽略，薄壁截面梁，弯曲剪应力通常不能忽略。5-6 梁的强度条件一、弯曲正应力强度条件等截面直梁，：许用拉应力 ：许用压应力。二、弯曲剪应力强度条件等截面直梁： 非薄壁截面细长梁，通常只需按弯曲正应力条件分析，对薄壁截面或非薄壁但弯矩小，剪力大的梁(短粗梁，集中载荷作用在端点附近的梁)，还应考虑弯曲剪应力条件。例（P144）：，试校核强度。一、画弯矩图,截面D,B为危险截面,见上图,a,b为危险点。 截面D： 截面B： 可先比较截面D上中与截面B上中的大小。 （校核三点。） 例（P145）：P=20kN，选工字钢解：(1) (2) (查表，见p293，注意单位) #22a (3)校核P146 例5-14矩形截面应力叠加 圆截面先将弯矩合成 第14单元5-7 梁的合理强度设计 (a) 设计梁的主要依据是弯曲正应力强度，也就是尽可能降低式(a)的数值。梁的合理设计可从以下几个方面考虑。(正应力为主导因素)一、梁的合理受力(降低最大弯矩) (1)合理置支座(从设计方案考虑) 双杠，等强， 汽车主梁，后轮位置设计，(2)分散载荷(从使用方案考虑) 图： (3)加配重(特殊措施) 二人过桥，1人可作配重2.合理设计截面形状(增大抗弯截面模量) ，通常，保持面积不变，增大时，同时也使增大，这时要看哪个是主导因素 (1)总是为正。保持面积不变，使材料远离中性层，并利用等强概念， a.塑性材料 上、下对称 抗弯更好，抗扭差 b.脆性材料 调