数量值函数习题课neat

一、重积分的深入理解一、重积分的深入理解一、重积分的深入理解一、重积分的深入理解 二、习题难点解答二、习题难点解答二、习题难点解答二、习题难点解答 三、典型例题三、典型例题三、典型例题三、典型例题 四、课堂提问与解答四、课堂提问与解答四、课堂提问与解答四、课堂提问与解答 1. 二重积分的换元法二重积分的换元法 ( , )f x yxOy定理 设在平面的闭区域定理 设在平面的闭区域 ( , ),( , )Dxx u vyy u v= =上连续，变换将=上连续，变换将 uOvDxOy面上的闭区域一对一映到面面上的闭区域一对一映到面 ,( , ), ( , )Dx u vy u vD上的闭区域函数在上上的闭区域函数在上 D具有一阶连续偏导数，且在上雅可 比行列式 具有一阶连续偏导数，且在上雅可 比行列式 ( , ) 0 ( , ) xx x y uv J u vyy uv = ， = ， ( , ) ( , )( , , , ). ( , ) DD x y f x y df x u vy u vdudv u v = = 则有则有 x y O u v O 1(), D Ixy dxdy D=+=+ 计算：是圆域： 计算：是圆域： 22 .xyxy+ x O y 2222 111 1()() 222 xyxyxy+=解 ：由得，+=解 ：由得， 22 111 : 222 xuyvDDuv=+=令，则 变为，=+=令，则 变为， 11( , ) () 22( , ) D x y Iuvdudv u v =+ =+ 所以所以 (1) D uvdudv=+=+ 由对称性由对称性 2 D dudv = uO v 2 2 D 3 cossin 2 4 0 4 (cossin )drdr + + + + 解2：原式解2：原式 3 4 4 4 1 (cossin ) 3 d =+=+ 3 4 4 11cos4 (12sin2) 32 d =+ =+ 2 = = 222 ,2 ,xy xy yx= =例2 求曲线：=例2 求曲线： 0.511.52 0.5 1 1.5 2 D 22 , xy uv yx = =解：作变换，=解：作变换， 0.511.52 0.5 1 1.5 2 2 2yx=所围成的平面图形的面积。=所围成的平面图形的面积。 2 2 2 2 ( , )111 ( , )( , )3 2 ( , ) 2 x y u vu v xy x y yx xy xy = 。= 。 1 3 DD Sdxdydudv= 所以，所以， 12,12Duv 其中为： 。其中为： 。 22 11 11 . 33 Sdudv= 所以 所以 ( , )( , )1 ( , ) ( , )( , ) ( , ) xx u vx y u v yy u vu v x y = = 补例.设，证明：。 = = 补例.设，证明：。 ( , )( , ) , ( , )( , ) xx u vx y J u vyy u v = = = 证明：令设 = = = 证明：令设 ,u vx yx视为的函数，两边同时对 求导得视为的函数，两边同时对 求导得 1 ,; 0 uxvx vu xx uxvx x ux v yy uv y uy vJJ =+ = =+ =+ = =+ ,. vu yy xx uv JJ = =同理可得：故= =同理可得：故 22 ( , )111 ( , ) vvuv uuuv yxxx u v yxyyx yJJJ = . = . ( , )1 . ( , )( , ) ( , ) x y u vu v x y 即： 即： ()sin(), D xyxy dxdy+ 例3 计算例3 计算 ,uxy vxy=+解：令，则=+解：令，则 ( , )111 ( , )11( , )2 ( , ) 11 x y u vu v x y = ， = ， 0,0Duv 为：为： :0,0.Dxyxy +其中：+其中： ()sin() D xyxy dxdy+ 所以 所以 1 sin 2 D vududv= = 00 1 sin 2 dvvudu = = 2 2 = = , y x yx D IedxdyD + + = = 例4 计算：其中 是以点例4 计算：其中 是以点 (0,0),(1,0),(0,1)为顶点的三角形内部。为顶点的三角形内部。 ,(0,0),(1,0),(0,1) yxu yxv = += 解：令则三点 = += 解：令则三点 (0,0),( 1,1),(1,1). 变为变为 x y O D x y O D ( , )111 ( , )11( , )2 ( , ) 11 x y u vu v x y = = 。= 。 1 2 y x u y x v DD edxdyedudv + + = 所以 所以 1 0 1 2 u v v v dvedu = 1 4 ee = = x y O D 2222 522zxyzxy= =+=例 求由椭圆抛物面与 所围成立体的体积。 +=例 求由椭圆抛物面与 所围成立体的体积。 2222 (2)(2) D Vxyxydxdy=+=+ 解：解： 22 (223). D xydxdy= 22 3 ( , )|1. 2 Dx yxy=+=+ 2 cos ,sin , 3 xryr =作变换：=作变换： ( , )| 01,02 .DDrr = =变为变为 ( , )2 . ( , )3 x y Jr u v = = 2 2 2(1) 3 D Vrrdrd = 21 2 00 2 6 (1) 3 drrdr = 6 3 = = 22 Question 6 Find (), where ( , )|1. D Ixy dxdy Dx yxyxy =+=+ = =+ 22 11 Solve : D is a circle ()()2. 22 xy + 22 11 Let , is a circle 2. 22 xuyvDuv=+=+=+=+ ()(1) DD Ixy dxdyuvdudv=+=+=+=+ 22 00 2( cossin )drrrdr =+=+ 8 22. 3 =+=+ 222 ( )( ) 7 ( )( ) xyR axby Id xy + + = + + = + 例 计算二重积分：.例 计算二重积分：. 222 ( )( ) ( )( ) xyR axby Id xy + + + = + = + 解：解： 222222 1( )( )( )( ) 2( )( )( )( ) xyRxyR axbybxay dd xyxy + + + + + + + + 222 1( )( )( )( ) 2( )( ) xyR axbybxay d xy + + + = + + = + 222 1 () 2 xyR ab d + =+=+ 2 2 ab R + = + = 2. 三重积分的换元法三重积分的换元法 ( , , )f x y zV定理 设在闭区域上连续，变换：定理 设在闭区域上连续，变换： ( , ,),( , ,),( , ,),xx u v wyy u v wzz u v w= ( , , )Vx y zV建立了区域 中的点与区域中建立了区域 中的点与区域中 ( , ,)u v w的点之间的一一对应关系，函数的点之间的一一对应关系，函数 ( , ,),( , ,),( , ,)xx u v wyy u v wzz u v w= V在区域中有一阶连续偏导数，且雅可 比行列式。 在区域中有一阶连续偏导数，且雅可 比行列式。 ( , , ) 0 ( , ,) xxx uvw x y zyyy J u v wuvw zzz uvw = ， = ， ( , , ) V f x y z dV 则有： 则有： ( , ,), ( , ,), ( , ,)| V f x u v wy u v wz u v wJ dudvdw= = 1 2 (), V IxyzdV=+=+ 例 计算三重积分例 计算三重积分 222 (222) V Ixyzxyyzzx dV=+=+ 解：解： 2220. VVV xydVyzdVzxdV= = 由对称性得：由对称性得： 222 123 (). V IxyzdVIII=+=+=+=+ 所以 所以 222 222 :1. xyz V abc + +其中+其中 3 sincos ,sinsin, cos xa Iyb zc = = = 求作变换 = = = 求作变换 222 222 :1 xyz V abc + +它把区域，+它把区域， 2 ( , , ) sin ( , , ) x y z Jabc = = :01,0,02 .V 变为区域变为区域 2 3 V Iz dV= = 于是 于是 21 324 000 cossinabcddd = = 2 32 00 1 cossin 5 abcdd = = 33 124 2 5315 abcabc= 2222 cossin V cabcd d d = = 33 12 44 ,. 1515 Ia bc Iab c=同理可得：=同理可得： 222 4 (). 15 Iabc abc =+所以： =+所以： 22 222 , xy L IedsLxya + + =+=+= ? ? 1计算其中 为圆周1计算其中 为圆周 yxx= =与直线和 轴在第一象限内扇形的边界。与直线和 轴在第一象限内扇形的边界。 x O xy = = y 1 L 2 L 3 L a 1 :0,0;Lyxa=解：=解： 2 :cos ,sin ,0; 4 Lxaya = 3 2 :,0. 2 Lyxx= 22 123 xy LLL Ieds + + =+=+ 0 a x e dx= = 4 0 a ead + 2 2 2 0 2 a x edx+ (2)2. 4 a ea = =+ 2( ), ( ) , f xg xa b设 在上连续，证明：设 在上连续，证明： 2 , ( )( )0, b a tf xtg xdx+ 证明1：有即证明1：有即 222 ( )(2( ) ( )( )0 bbb aaa gx dx tf x g x dx tfx dx+ + ， ( () ) 2 22 2( ) ( )4( )( )0 bbb aaa f x g x dxgx dxfx dx = = ， ( () ) 2 22 ( ) ( )( )( ). bbb aaa f x g x dxfx dxgx dx 即： 即： ( () ) 2 22 ( ) ( )( )( ) bbb aaa f x g x dxfx dxgx dx . . ( )1g x = =特别地，令，有特别地，令，有 ( () ) 2 2 ( )()( ) bb aa f x dxbafx dx ( () ) 2 22 22( )( )2( ) ( ) bbb aaa fx dxgx dxf x g x dx 证明 ： 证明 ： 2222 ( )( )( )( ) bbbb aaaa fx dxgy dyfy dygx dx=+=+ 2222 ( )( )( )( ) bbbb aaaa fx gy dxdyfy gx dxdy=+=+ 2( ) ( )( ) ( ) bb aa f x g x dxf y g y dy 2( ) ( ) ( ) ( ) bb aa f x g x f y g y dxdy 2 ( ( ) ( )( ) ( )0 bb aa f x g yf y g xdxdy= ， ( () ) 22 ( ) ( )( )( ). bbb aaa f x g x dxfx dxgx dx 22 2, 3(0) 0, yzay az x += = 求圆周绕 轴旋 += = 求圆周绕 轴旋 yO z y a2 P 2ay (2)yay Q 转一周所得到的旋转面的方程，并求 此旋转面所围成的立体的体积。 转一周所得到的旋转面的方程，并求 此旋转面所围成的立体的体积。 yO z y a2 P 2ay (2)yay Q yO z y a2 P 2ay (2)yay Q ( ,0)(2)QyPQyay=解：设 点坐标为，则，=解：设 点坐标为，则， PQz所以绕 轴旋转一周所得圆柱面的面积为所以绕 轴旋转一周所得圆柱面的面积为 2(2)2(2),SyyaydVyyay dy=，体积微元为=，体积微元为= 2 0 22(2) a Vyyay dy = 所以所以 2 22 0 4() cos a y ayadyyaa =+=+ 令令 0 4(cos ) sin (sin )aaaad =+=+ 0 32 4(1cos )sinad = += + 323 402 2 aa =+=+= yO z y a2 P 2ay (2)yay Q 41:xy+ += 求平面包含在椭球面= 求平面包含在椭球面 222 1 236 xyz += 内的那部分面积。+= 内的那部分面积。 O z x 2 445zxx=+=+ p=linspace(0,pi,200); t=linspace(0,2*pi,200); ph,th=meshgrid(p,t); x=sqrt(2)*sin(ph).*cos(th); y=sqrt(3)*sin(ph).*sin(th); z=sqrt(6)*cos(ph); mesh(x,y,z); daspect(1 1 1); axis tight; grid on; camlight; lighting gouraud; alpha(.5) hold on t=linspace(-1.5,1.5,200); s=linspace(-2.5,2.5,200); x,z=meshgrid(t,s); mesh(x,1-x,z) hold on mesh(x,z,z*0) axis equal xlabel(x);ylabel(y); zlabel(z); colormap hsv; xOz解：把图形投影到坐标面，由方程解：把图形投影到坐标面，由方程 222 1, 326, xy y xyz += += 消去 得方程： += += 消去 得方程： 2222 544445xxzzxx+=+ ，即，+=+ ，即， 22 04450,zxx+由可得 +由可得 22 622 6 55 x + 所以有， + 所以有， 2 445.zzxx=+=+取0的一支图象可得取0的一支图象可得 1yx=因为所求平面方程为 ，因为所求平面方程为 ， 2 2 12. xz dSyy=+=所以=+=所以 O z x 2 445zxx=+ =+ 得平面的面积得平面的面积 2 2 2 6 44 5 5 2 2 6 0 5 22 2 xz xx D Sdxdzdxdz + + + + = 2 2 2 2 6 2 5 2 2 6 5 2 2445xx dx + + =+=+ 2 2 6 2 5 2 2 6 5 242 2 25() 255 xdx + + = 24 10 25 = = O z y 2 445zxx=+=+ 2222 2 5, 0 L xyza Ix dsL xyz += = += += = += ? ? 求其中 为圆周：. 求其中 为圆周：. 222 LLL x dsy dsx ds= ? ? 解：由对称性得：，解：由对称性得：， 222 1 () 3 L Ixyzds=+=+ ? 2 1 3 L a ds= = ? ? 23 12 2 33 aaa = Acrobat 2222 22 62,. L xyza Iyz dsL yx += =+ = += =+ = ? ? 求其中 为圆周： 求其中 为圆周： yx=解：由，则=解：由，则 22 2 L Iyz ds=+=+ ? ? 222 L yyz ds=+=+ ? ? 2 L a ds= = ? ? 2aa = = L ads= = ? ? 2 2 a = = 222 L xyz ds=+=+ ? ? 222222 7(),: S Ixy dSS xyza=+=+= ? ? 计算：其中. 计算：其中. 222 , SSS x dSy dSz dS= ? ? 解：由对称性得： 解：由对称性得： 2224 2 () 3 S Ixyz dS=+=+ ? ? 所以有：所以有： 22 22 33 SS a dSadS= ? ? ? 224 28 4 33 aaa = 8 计算曲面所围成几何体的体积：计算曲面所围成几何体的体积： 22223 ()(0)xyzaza+ +=+= 3 cos,a =解：其球面坐标方程为：=解：其球面坐标方程为： 02 0 2 其中，.其中，. 3 2cos 2 2 000 sin a Vddd = = 39 2 0 1 2cossin 3 ad = = 3 15 a = = cossincos cossinsin coscos 0, ,0,2 xa ya za = = = = = = 222 9zxyxyR=+=计算双曲面位于圆柱面=+=计算双曲面位于圆柱面 内部的面积。内部的面积。 x=-2:0.1:2;y=x; X,Y=meshgrid(x,y); z=X.*Y; mesh(X,Y,z) hold on X1,Y1,Z1=cylinder(2,2,100); mesh(X1,Y1,Z1*2) hold on surf(X1,Y1,-Z1*2) hold on scatter3(0,0,0,filled) hold on surf(X,Y,z*0) box off axis off s = surf(X1,Y1,Z1*2, . LineStyle,none, . FaceLighting,gouraud, . FaceColor,interp); colormap jet; daspect(1 1 1); lightangle(l1,70,-40); lightangle(l2,-30,80); view(-40,32); camzoom(1.5); 22 max, 1, xy D Iedxdy= = 计算二重积分： 计算二重积分： 1 ( , )| 01,0Dx yxyx=解：设，=解：设， 2 ( , )|01,1.Dx yxxy= ( , )| 01,01.(2002.7)Dx yxy=其中分其中分 x O 1 D 2 D y 22 max,xy D Iedxdy= = 2222 12 max,max,xyxy DD edxdyedxdy=+=+ 22 12 xy DD e dxdye dxdy=+=+ 2211 0000 xy xy dxe dydye dx=+=+ 2211 00 xy xe dxye dy=+=+ 1e= x O 1 D 2 D y 00 ( ) 2 ( )(0) ()() ax fy dxdyf af axxy = = 证明：. 证明：. 00 ( ) ()() ax fy dxdy axxy 证明：证明： 0 1 ( ) ()() aa y fy dydx axxy = = 0 22 1 ( ) ()() 22 aa y fy dydx ayay x = + = + 交换积分的先后顺序交换积分的先后顺序 0 2 ( )arcsin 2 x a a xy ay x fydy ay = = = = + = + = 0 ( ) a fy dy = = ( )(0)f af = 3( )0, f xa 已知函数在上连续，证明： 已知函数在上连续，证明： 2 00 2( )( )( ) aaa x f x dxf y dyf x dx = = 2 0 ( ) a If x dx = = 证明1：证明1： 00 ( )( )( ) ( ) aa D f x dxf y dyf x f y dxdy= = =，=， ( , )| 0,0,Dx yxaya=其中=其中 1 ( , )| 0,Dx yxa xya=记=记 2 ( , )| 0,Dx yya yxa= = Oxa y a 1 D 2 D 12 12 ( ) ( )( ) ( ), DD If x f y dxdyf x f y dxdyII=+=+=+=+ 1 1 0 ( ) ( )( )( ); aa x D If x f y dxdyf x dxf y dy= 2 2 ( ) ( ) D If x f y dxdy= = 0 ( )( ) aa y f y dyf x dx= = 12121 ,2IIIIII=+=所以得证。=+=所以得证。 0 ( )( ), aa x f x dxf y dy= = Ox a y a 1 D 2 D 互换互换x, y ( )0, f xa原题 已知函数在上连续，证明：原题 已知函数在上连续，证明： 2 00 2( )( )( ). aaa x f x dxf y dyf x dx = = 000 ( )( )( )( ) aaay x f x dxf y dyf y dyf x dx= = 证明2： 证明2： Oxa y a 1 D 2 D 2 00 ( )2( )( )( ) aaa x I af x dxf y dyf x dx = = 2 000 2( )( )( ) aya f y dyf x dxf x dx = = 00 2 ( )( )2 ( )( ) aa a If af x dxf af x dx= 0,( )(0)0( )0.I aCII a=故.由，故=故.由，故 4( )0,1f x 设 是上连续、单调减少的正值函数，证明： 设 是上连续、单调减少的正值函数，证明： 证明：原式等价于证明：原式等价于 1111 22 0000 ( )( )( )( )0fx dxxf x dxxfx dxf x dx ， 1111 22 0000 ( )( )( )( )0fx dxyf y dyyfy dyf x dx 即 ，即 ， 11 22 00 11 00 ( )( ) . ( )( ) xfx dxfx dx xf x dxf x dx ( ) ( ) ( ( )( )0, D If x f y y f xf y dxdy= = 即 即 ( , )| 01,01.Dx yxy=其中=其中 交换积分变量得：交换积分变量得： ( ) ( ) ( ( )( ), D If x f y x f yf x dxdy= 2( ) ( )()( ( )( ) D If x f yyxf xf y dxdy= ， ( )f x由于单调减少，由于单调减少， ()( ( )( )0,0.yxf xf yI所以即所以即 5RH 设有一半径为 ，高为的圆柱形容器，盛 设有一半径为 ，高为的圆柱形容器，盛 H y x z R 2 3 H有高的水，放在离心机上高速旋转。因受有高的水，放在离心机上高速旋转。因受 离心力的作用，水面成旋转抛物面形，问当 水刚要溢出容器时，液面的最低点在何处？ 离心力的作用，水面成旋转抛物面形，问当 水刚要溢出容器时，液面的最低点在何处？ 解：如图选取坐标系，解：如图选取坐标系， za= =设液面的最低点为，设液面的最低点为， 则旋转抛物面的方程为则旋转抛物面的方程为 22 2 () Ha zaxy R =+ =+ 液体的体积为液体的体积为 222 22 2 () xyR Ha Vaxydxdy R + =+ =+ 2 2 2 00 R Ha darrdr R =+ =+ 242 2 0 2() 242 R arHa rR Ha R =+=+ . =+=+ . 2 2 2 (),. 233 RHH HaRa +=由题意知得+=由题意知得 H y x z R 6( )0,1f x 设在区间上连续，证明： 设在区间上连续，证明： 0 ( )( ),( )( ) u F uf t dtFuf u= 证明： 设则，证明： 设则， 11 0 ( )( )( )( ) x f x dxf y F yF x dy= 左端左端 11 1 2 0 1 ( )( )( )( ) 2 x x f xFyF x F ydx= 1 0 (1)( ),(0)0Ff t dt F= = = . . 111 3 00 1 ( )( )( )( ) . 3! y xx f x dxf y dyf z dzf t dt= = 11 2 0 1 ( )( )( )( ) 2 x f x dxF yF x dFy= 1 222 0 11 ( )(1)( )( ) (1)( ) 22 f xFFxF x FFx dx=+=+ 1 2 0 1 ( )(1)( ) 2 f x FF xdx= 1 3 0 1 (1)( ) 23 FF x = = 3 1 (1)(0) 6 FF= 1 3 0 1 ( ) . 3! f t dt= = 222 | ,: L y dsL xyz+ ? ? 8 计算其中 是8 计算其中 是 1() :L解 法的参数方程为解 法的参数方程为 222 dsxyzdt=+=+x y z O 2 1cos. 2 t adt=+=+ 2222 22 4 ,(0,0). 2 xyza za xyax += += += += (1cos ),sin ,xatyat= =+=+= 2 sin,(02 ). 2 t zat = 222 | L y ds xyz+ ? ? 2 0 1 1cossin 22 t tdt =+=+ 2 (2 21) 3 = 2 2 2 0 |sin | 1cos 24 att adt a =+=+ 222 | ,: L y dsL xyz+ ? ? 原题：计算其中 是原题：计算其中 是 (2):Lx解 法对 的方程两边对 求导得：解 法对 的方程两边对 求导得： 2220 222 dydz xyz dxdx dy xya dx += += += += , , dyax dxy dzz dxa = = = = 2222 22 4 ,(0,0). 2 xyza za xyax += += += += 22 1 dydz dsdx dxdx =+ 所以 =+ 所以 22 22 aa dx yz =+=+ 2222 4, |