2018年高中数学三角函数与解三角形

2018年高中数学三角函数与解三角形一解答题（共40小题，满分429分）1（11分）在ABC中，内角A，B，C的对分别为a，b，c，且cos2B+cosB=0（1）求角B的值；（2）求b=，a+c=5，求ABC的面积2（11分）在ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且满足（1）求角C的大小；（2）若bsin（A）=acosB，且，求ABC的面积3（11分）在锐角三角形ABC中，a、b、c分别为角A、B、C所对的边，且a=2csin A（1）确定角C的大小；（2）若c=，且ABC的面积为，求a+b的值4（11分）在ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知，（I）求角A的大小；（II）若a=2，求的面积S的最大值5（11分）已知ABC中，a，b，c分别为角A，B，C的对边，csinCasinA=（cb）sinB（）求角A；（）若a=1，求三角形ABC面积S的最大值6（11分）在ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且2c2acosB=b（1）求角A的大小；（2）若ABC的面积为，且c2+abcosC+a2=4，求a7（11分）如图，在ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c且2acosCc=2b（1）求角A的大小；（2）若ABC=，AC边上的中线BD的长为，求ABC的面积8（11分）在ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且满足2bsin（C+）=a+c（）求角B的大小；（）若点M为BC中点，且AM=AC=2，求a的值9（11分）已知函数（1）求f（x）的单调递增区间；（2）若，且锐角ABC的两边长分别是函数f（x）的最大值和最小值，ABC的外接圆半径是，求ABC的面积10（11分）设函数f（x）=cos（2x+）+2cos2x（1）求f（x）的最大值，并写出使f（x）取最大值时x的集合；（2）已知ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若f（A）=，b+c=2，求a的最小值11（11分）已知=（p，cosx），=（sinx，3），凼数f（x）=（1）若凼数g（x）=f（x）q（q为常数）相邻两个零点的横坐标分别为x1=，x2=，则求q的值以及凼数f（x）在（，）上的值域；（2）在（1）的条件下，在ABC中，满足f（B）=6，且AC=1，+=，求|的最大值12（11分）已知函数f（x）=cos（2x）2sinxcosx（I）求f（x）的最小正周期；（II）求证：当x，时，f（x）13（11分）已知函数f（x）=cos2xsin2x+，x（0，）（1）求f（x）的单调递增区间；（2）设ABC为锐角三角形，角A所对边a=，角B所对边b=5，若f（A）=0，求ABC的面积14（11分）已知函数f（x）=（sinx+cosx）2+2cos2x（）求f（x）最小正周期；（）求f（x）在区间0，上的最大值和最小值15（11分）已知函数（0）的最小正周期为（）求的值；（）求函数f（x）在区间上的取值范围16（11分）设向量=（sinx，cosx），=（cosx，cosx），记f（x）=（）求函数f（x）的最小正周期；（）画出函数f（x）在区间的简图，并指出该函数的图象可由y=sinx（xR）的图象经过怎样的平移和伸缩变换得到？（）若时，函数g（x）=f（x）+m的最小值为2，试求出函数g（x）的最大值并指出x取何值时，函数g（x）取得最大值17（11分）已知函数f（x）=sin2xcos2x+1，x，（1）求f（x）的最大值和最小值；（2）若不等式|f（x）m|2在x，上恒成立，求实数m的取值范围（3）将函数y=f（x）的图象向右平移个单位，得到y=g（x）的图象，求直线y=2+与函数y=f（x）+g（x）的图象在（，）内所有交点的坐标18（11分）已知函数f（x）=Asin（x+），xR，且f（）=（1）求A的值；（2）若f（）+f（）=，（0，），求f（）19（11分）如图所示，图象为函数f（x）=Asin（x+）（A0，0，的部分图象如图所示（1）求f（x）的解析式（2）已知g（）=f（）+f（），且tan=，求g（）的值20（11分）已知函数f（x）=3sin（x+）（0，0）的最小正周期为，且其图象经过点（，0）（1）求函数f（x）的解析式；（2）若函数g（x）=f（+），（0，），且g（）=1，g（）=，求g（）的值21（11分）设函数（）求f（x）的最小正周期（）若y=g（x）与y=f（x）的图象关于直线x=1对称，求当时y=g（x）的最大值22（11分）已知函数f（x）=sin2x，g（x）=cos，直线x=t（tR）与函数f（x），g（x）的图象分别交于M、N两点（1）当时，求|MN|的值；（2）求|MN|在时的最大值23（11分）已知函数f（x）=sin2x+cosx+tan，其中x0，0，（1）若时，求f（x）的最大值及相应的x的值；（2）是否存在实数，使得函数f（x）最大值是？若存在，求出对应的值；若不存在，试说明理由24（11分）已知函数f（x）=sin2x+2cosx1，（1）当=1时，求函数y=f（x）的值域；（2）若f（x）的最大值是，求实数的值25（11分）已知函数（）求f（x）的最大值和最小值；（）若不等式|f（x）m|2在定义域上恒成立，求实数m的取值范围26（11分）已知向量=（m，cos2x），=（sin2x，1），函数f（x）=，且y=f（x）的图象过点（）（1）求m的值；（2）将y=f（x）的图象向左平移（0）个单位后得到函数y=g（x）的图象，若y=g（x）图象上各最高点到点（0，3）的距离的最小值为1，求y=g（x）的单调递增区间27（11分）已知向量=（sin，1），记f（x）=（）求函数f（x）的单调递增区间；（）在锐角ABC中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，且满足（2ac）cosB=bcosC，求f（2A）的取值范围28设锐角三角形的内角A、B、C的对边分别为a、b、c，且a=2bsinA（1）求B的大小；（2）求cosA+sinC的取值范围29（11分）ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c已知absinC=20sinB，a2+c2=41，且8cosB=1（1）求b；（2）证明：ABC的三个内角中必有一个角是另一个角的两倍30（11分）ABC的内角为A，B，C的对边分别为a，b，c，已知（1）求sin（A+B）+sinAcosA+cos（AB）的最大值；（2）若，当ABC的面积最大时，ABC的周长；31（11分）在ABC中，a，b，c分别为角A，B，C的对边，已知c=，ABC的面积为，又tanA+tanB=（tanAtanB1）（）求角C的大小；（）求a+b的值32（11分）在ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，bcosC=acos2B+bcosAcosB（1）求证：ABC是等腰三角形；（2）若，且ABC的周长为5，求ABC的面积33（11分）在ABC中，角A，B，C所对的边分别是a，b，c，且+=（）证明：sinAsinB=sinC；（）若b2+c2a2=bc，求tanB34（11分）在ABC中，内角A，B，C对边的边长分别是a，b，c，已知c=2，C=（）若ABC的面积等于，求a，b；（）若sinC+sin（BA）=2sin2A，求ABC的面积35（11分）在ABC中，内角A、B、C所对的边分别为a，b，c，a2+b2=6abcosC，且sin2C=2sinAsinB（1）求角C的值； （2）设函数f（x）=sinxcosx（0），且f（x）图象上相邻两最高点间的距离为，求f（A）的取值范围36（11分）已知函数f（x）=msinxcosx+mcos2x+n（m，nR）在区间0，上的值域为1，2（） 求函数f（x）的单调递增区间；（） 在ABC中，角A，B，C所对的边长分别为a，b，c，当m0时，若f（A）=1，sinB=4sin（C），ABC的面积为，求边长a的值37（11分）已知ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且2ccosBb=2a（）求角C的大小；（）设角A的平分线交BC于D，且AD=，若b=，求ABC的面积38（11分）已知函数f（x）=2x23x+1，g（x）=ksin（x），（k0）（1）问a取何值时，方程f（sinx）=asinx在0，2上有两解；（2）若对任意的x10，3，总存在x20，3，使f（x1）=g（x2）成立，求实数k的取值范围？39（11分）函数f（x）=2ax22bxa+b（a，bR，a0），g（x）=2ax2b（1）若时，求f（sin）的最大值；（2）设a0时，若对任意R，都有|f（sin）|1恒成立，且g（sin）的最大值为2，求f（x）的表达式40（11分）已知函数f（x）=sin2x+acosx+a，aR（1）当a=1时，求函数f（x）的最大值；（2）如果对于区间上的任意一个x，都有f（x）1成立，求a的取值范围2018年高中数学三角函数与解三角形参考答案与试题解析一解答题（共40小题，满分429分）1【解答】解：（1）ABC中，内角A，B，C的对分别为a，b，c，且cos2B+cosB=0则：2cos2B+cosB+1=0整理得：（2cosB1）（cosB+1）=0解得：cosB=（1舍去）则：B=（2）利用余弦定理：b2=a2+c22accosB，由于：b=，a+c=5，解得：ac=6所以：2【解答】解：（1）在ABC中，由，由余弦定理：a2+b2c2=2abcosC，可得：2acsinB=2abcosC由正弦定理：2sinCsinB=2sinBcosC0B，sinB0，2sinC=2cosC，即tanC=，0C，C=（2）由bsin（A）=acosB，sinBsinA=sinAcosB，0A，sinA0，sinB=cosB，根据正弦定理，可得，解得c=1，3【解答】解：（1）由a=2csin A及正弦定理得，=因为sin A0，所以sin C=因为ABC是锐角三角形，所以C=（2）因为c=，C=，由面积公式得：absin=，即ab=6（i）由余弦定理得，a2+b22abcos=7，即a2+b2ab=7（ii）由（ii）变形得（a+b）2=3ab+7（iii）将（i）代入（iii），得（a+b）2=25，可得：a+b=54【解答】解：（I）已知，正弦定理化简可得：，即sinCcosA=sinAcosB+sinBcosA=sinC0C，sinC0，cosA=1即cosA=A=（II）a=2，A=余弦定理：a2=b2+c22bccosA可得：b2+c2=4+bc4+bc2bc，当且仅当b=c时取等号解得：bc2（2+）那么三角形面积S=bcsinA=5【解答】解：（）利用正弦定理化简csinCasinA=（cb）sinB得：c2+b2bc=a2，即c2+b2a2=bc，由余弦定理可得：cosA=A为三角形内角，A=30（）由（1）可得c2+b21=bc，2bc1bc，当且仅当b=c时取等号，bc=2+SABC=bcsinA=bc三角形ABC面积S的最大值6【解答】解：（1）在ABC中，2c2acosB=b，由正弦定理可得：2sinC2sinAcosB=sinB，即：2sin（A+B）2sinAcosB=sinB，2sinAcosB+2cosAsinB2sinAcosB=sinB，可得：2cosAsinB=sinB，B为三角形内角，sinB0，cosA=，又A（0，），A=（2）A=，且ABC的面积为=bcsinA=bc，解得：bc=1，c2+abcosC+a2=4，cosC=，c2+ab+a2=4，整理可得：b2+c2=83a2，a2=b2+c22bccosA=b2+c2bc=83a21，整理可得：a=7【解答】解：由2acosCc=2b正弦定理，可得2sinAcosCsinC=2sinB即2sinAcosCsinC=2sin（A+C）可得：sinC=2cosAsinC、sinC0cosA=，A（0，）则A=（2）由（1）可知A=ABC=C=则AC=AB设AD=x，则AB=2x，在ABD中利用余弦定理：可得BD2=AB2+AD22ABADcosA即7x2=35，可得x=，故得ABC的面积S=8【解答】解：（I）2bsin（C+）=a+c，b（sinC+cosC）=a+c，即bsinC+bcosC=a+c，sinBsinC+sinBcosC=sinA+sinC=sin（B+C）+sinC=sinBcosC+cosBsinC+sinCsinBsinC=cosBsinC+sinC，sinC0，sinB=cosB+1，两边平方得：3sin2B=cos2B+1+2cosB，2cos2B+cosB1=0，解得cosB=或1，0B，B=（II）BM=CM=，在ABC中，由余弦定理得：cosB=，即，a2+c24=ac，在ABM中，由余弦定理得：cosB=，即，联立方程组，解得a=9【解答】解：（1）函数=sin2x，=2sin（2x），令：（kZ），解得：（kZ），故函数的单调递增区间为：（kZ）（2）由于：，故：，所以：，锐角ABC的两边长分别是函数f（x）的最大值和最小值，ABC的外接圆半径是，所以：令b=2，c=，则利用正弦定理：解得：sinB=，sinC=，故：cosB=，cosC=则：sinA=sin（B+C）=sinBcosC+cosBsinC=所以：10【解答】解：（1）函数f（x）=cos（2x+）+2cos2x=，故：f（x）的最大值为：2要使f（x）取最大值，即：（kZ），解得：（kZ），则x的集合为：（kZ），（2）由题意，即：，又0A，在ABC中，b+c=2，由余弦定理，a2=b2+c22bccosA=（b+c）2bc，由于：=1，所以：当b=c=1时，等号成立则：a241=3，即：则a的最小值为11【解答】解：（1）由=（p，cosx），=（sinx，3），函数f（x）=psinx+3cosx，g（x）=psinx+3cosxq，由题意可得psin+3cos=q，psin+3cos=q，两式相减可得，p=3q=3sin+3cos=6sin（+）=6sin=3，则有f（x）=3sinx+3cosx=6（sinx+cosx）=6sin（x+），由x（，），x+（，），则sin（x+）（，1，f（x）（3，6则值域为（3，6；（2）f（B）=6sin（B+）=6，（0B），则B=，由余弦定理可得b2=a2+c22accosB=a2+c2ac=1，即a2+c2=1+ac，由于a2+c22ac，则ac1，当且仅当a=c=1取得等号，由+=，则M为AC的中点，则=（+），|2=（+2）=（c2+a2+2accos）=（1+2ac），即有|当ABC为等边三角形时，|取得最大值，且为12【解答】解：（）f（x）=cos（2x）2sinxcosx，=（co2x+sin2x）sin2x，=cos2x+sin2x，=sin（2x+），T=，f（x）的最小正周期为，（）x，2x+，sin（2x+）1，f（x）13【解答】解：（1）函数f（x）=cos2xsin2x+=cos2x+，x（0，），由2k2x2k，解得kxk，kZ，k=1时，x，可得f（x）的增区间为，）；（2）设ABC为锐角三角形，角A所对边a=，角B所对边b=5，若f（A）=0，即有cos2A+=0，解得2A=，即A=，由余弦定理可得a2=b2+c22bccosA，化为c25c+6=0，解得c=2或3，若c=2，则cosB=0，即有B为钝角，c=2不成立，则c=3，ABC的面积为S=bcsinA=53=14【解答】解：（）f（x）=（sinx+cosx）2+2cos2x=sin2x+2sinxcosx+cos2x+2cos2x=1+sin2x+1+cos2x=sin（2x+）+2，（4分）所以f（x）的最小正周期为T=；（6分）（）由0x得，02x，所以2 x+；（8分）根据正弦函数y=sinx的图象可知当时，f（x）有最大值为2+，（11分）当时，f（x）有最小值为1（13分）15【解答】解：（）函数=+sinxcosx=cos2x+sin2x=sin（2x）+（0），f（x）的最小正周期为T=，解得=1；（）由（）知，f（x）=sin（2x）+，当x0，时，2x0，2x，sin（2x），1，sin（2x）+0，；函数f（x）在区间上的取值范围是0，16【解答】解：（）由题意可得：=所以最小正周期 （）x02sin（）01010y将函数y=sinx的图象向左平移单位得到函数的图象，再保持纵坐标不变，横坐标缩短为原为的得到函数的图象，最后再向上平移个单位得到就可得到函数的图象 （）由，可得所以由，所以又因为函数g（x）=f（x）+m的最小值为2，所以m=2所以函数g（x）的最大值为当时，即x=时，函数g（x）取得最大值17【解答】解：（1）函数f（x）=sin2xcos2x+1=2sin（2x）+1，x，2x，sin（2x），1，当2x=时，函数取得最小值为2，当2x=时，函数取得最大值为3（2）若不等式|f（x）m|2在x，上恒成立，即 sin（2x） 在x，上恒成立，且1，由此求得m1，或 m4，由此求得实数m的取值范围为m|m1，或 m4（3）将函数y=f（x）的图象向右平移个单位，得到y=g（x）=2sin2（x）+1=2sin（2x）+1=2cos（2x）+1 的图象，故y=f（x）+g（x）=2sin（2x）+1+2cos（2x）+1=2+2sin（2x）=2+2sin（2x）=22cos（2x）再根据x（，），可得 2x（2，2）由y=2+=f（x）+g（x），求得cos（2x）=1，求得2x= 或2x=，即x=，或x=故直线y=2+与函数y=f（x）+g（x）的图象在（，）内所有交点的坐标分别为（，2+），（，2+）18【解答】解：（1）函数f（x）=Asin（x+），xR，且f（）=Asin（+）=Asin=A=，A=（2）由（1）可得 f（x）=sin（x+），f（）+f（）=sin（+）+sin（+）=2sincos=cos=，cos=，再由 （0，），可得sin=f（）=sin（+）=sin（）=sin=19【解答】解：（1）由图象知，A=1，T=，又函数的图象经过（），0=sin2+，|，解得（6分）（2）=2sin2（10分），（12分）20【解答】解：（1）因为函数f（x）的最小正周期为，且0，所以=，解得=2所以f（x）=3sin（2x+）因为函数f（x）的图象经过点，所以3sin=0，得=k，kZ，即=k，kZ由，得=所以函数f（x）的解析式为f（x）=3sin（2）依题意有g（x）=3sin=3cosx由g（）=3cos=1，得cos=，由g（）=3cos=，得cos=因为，（0，），所以sin=，sin=所以g（）=3cos（）=3（coscos+sinsin）=3=21【解答】解：（1）f（x）=故f（x）的最小正周期为T=8（2）在y=g（x）的图象上任取一点（x，g（x），它关于x=1的对称点（2x，g（x）由题设条件，点（2x，g（x）在y=f（x）的图象上，从而=当时，时，因此y=g（x）在区间上的最大值为22【解答】解：（1）将代入函数f（x）、g（x）中得到=（2）=，|MN|的最大值为23【解答】解：（1）f（x）=1cos2x+3cosx+=+，当cosx=1，即x=0时，f（x）max=5分（2）f（x）=+，当0x时，0cosx1，令a=，则a0，7分f（x）=（cosxa）2+a2+，若a1时，则当cosx=1时，f（x）max=2a+=，a=1，此时不成立10分当0a1时，则当cosx=a时，f（x）max=a2+=a=或a=（舍去）即=，即tan=，=综合上述知，存在符合题设（13分）24【解答】解：（1）=1时，f（x）=sin2x+2cosx1=cos2x+2cosx；令t=cosx，0t1；y=t2+2t=（t1）2+1；当t=0时，ymin=0，当t=1时，ymax=1；函数y=f（x）的值域为0，1；（2）f（x）=sin2x+2cosx1=cos2x+2cosx=（cosx）2+2当0时，当且仅当cosx=0时，f（x）取得最大值0，这与已知矛盾；当01，当且仅当cosx=时，f（x）取得最大值2；由已知得2=，解得；当1时，当且仅当cosx=1时，f（x）取得最大值1+2；由已知得1+2，解得，这与1相矛盾；综上所述，25【解答】解：（）=又，即，f（x）max=3，f（x）min=2（）|f（x）m|2f（x）2mf（x）+2，mf（x）max2且mf（x）min+2，1m4，即m的取值范围是（1，4）26【解答】解：（1）已知，又f（x）过点，解得：（2）由以上可得，把f（x）的图象向左左移个单位后，得到设g（x）的图象上符合题意的最高点为（x0，2），解得x0=0，g（0）=2，解得，+2k2x2k，kz，f（x）的单调增区间为27【解答】（本题满分为12分）解：（）由题意可得：f（x）=cos+cos2=sin+cos+=sin（）+，由2k2k+，kZ，解得：4kx4k+，kZ，函数f（x）的单调递增区间为4k，4k+，kZ，（6分）（）因为（2ac）cosB=bcosC，由正弦定理得：（2sinAsinC）cosB=sinBcosC，所以：2sinAcosBsinCcosB=sinBcosC，所以：2sinAcosB=sin（B+C），因为：A+B+C=，所以：sin（B+C）=sinA，且sinA0，所以：cosB=，又0，所以：B=，则A+C=，A=C，又0，则，得，所以：sin（A+）1，又因为f（2A）=sin（A+）+，故函数f（2A）的取值范围是（，（12分）28【解答】解：（1）由a=2bsinA根据正弦定理，得sinA=2sinBsinA，sinA0故sinB=因ABC为锐角三角形，故B=（2）cosA+sinC=cosA+sin=cosA+sin=cosA+cosA+sinA=sin由ABC为锐角三角形，知=BA，A+，故sin，故cosA+sinC的取值范围是29【解答】（1）解：absinC=20sinB，abc=20b，即ac=20，则=（2）证明：ac=20，a2+c2=41，a=4，c=5或a=5，c=4若a=4，c=5，则，cosB=2cos2A1=cos2A，B=2A若a=5，c=4，同理可得B=2C故ABC的三个内角中必有一个角的大小是另一个角的两倍30【解答】解：（1）由得：，a=bcosC+csinB，即sinA=sinBcosC+sinCsinB，cosB=sinB，；由，令t=sinA+cosA，原式=，当且仅当时，上式的最大值为（2），即，当且仅当等号成立；，周长31【解答】解：（I）tanA+tanB=（tanAtanB1），tan（A+B）=，A+B=，从而C= （7分）（II）由SABC=，C=得ab=6，又cosC=，c=，a+b=（14分）32【解答】解：（1）证明：根据正弦定理，由bcosC=acos2B+bcosAcosB可得sinBcosC=sinAcos2B+sinBcosAcosB=cosB（sinAcosB+sinBcosA）=cosBsin（A+B），即sinBcosC=cosBsinC，故sin（BC）=0，由B，C（0，）得BC（，），故B=C，所以ABC是等腰三角形；（2）由（1）知b=c，又因为ABC的周长为a+b+c=5a=5，得a=1，b=2故ABC的面积33【解答】（）证明：在ABC中，+=，由正弦定理得：，=，sin（A+B）=sinC整理可得：sinAsinB=sinC，（）解：b2+c2a2=bc，由余弦定理可得cosA=sinA=，=+=1，=，tanB=434【解答】解：（）c=2，C=，c2=a2+b22abcosCa2+b2ab=4，又ABC的面积等于，ab=4联立方程组，解得a=2，b=2（）sinC+sin（BA）=sin（B+A）+sin（BA）=2sin2A=4sinAcosA，sinBcosA=2sinAcosA当cosA=0时，求得此时当cosA0时，得sinB=2sinA，由正弦定理得b=2a，联立方程组解得，所以ABC的面积综上知ABC的面积35【解答】解：（1）由于a2+b2=6abcosC，由余弦定理知a2+b2=c2+2abcosC，即cosC=，又sin2C=2sinAsinB，则由正弦定理得c2=2ab，所以cosC=，因为C（0，），所以C=；（2）f（x）=sinxcosx=2sin（x），由f（x）图象上相邻两最高点间的距离为，即有T=得，=2，则f（A）