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2018年高中数学三角函数与解三角形一解答题(共40小题,满分429分)1(11分)在ABC中,内角A,B,C的对分别为a,b,c,且cos2B+cosB=0(1)求角B的值;(2)求b=,a+c=5,求ABC的面积2(11分)在ABC中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c,且满足(1)求角C的大小;(2)若bsin(A)=acosB,且,求ABC的面积3(11分)在锐角三角形ABC中,a、b、c分别为角A、B、C所对的边,且a=2csin A(1)确定角C的大小;(2)若c=,且ABC的面积为,求a+b的值4(11分)在ABC中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c,已知,(I)求角A的大小;(II)若a=2,求的面积S的最大值5(11分)已知ABC中,a,b,c分别为角A,B,C的对边,csinCasinA=(cb)sinB()求角A;()若a=1,求三角形ABC面积S的最大值6(11分)在ABC中,内角A,B,C的对边分别为a,b,c,且2c2acosB=b(1)求角A的大小;(2)若ABC的面积为,且c2+abcosC+a2=4,求a7(11分)如图,在ABC中,内角A,B,C所对的边分别为a,b,c且2acosCc=2b(1)求角A的大小;(2)若ABC=,AC边上的中线BD的长为,求ABC的面积8(11分)在ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c,且满足2bsin(C+)=a+c()求角B的大小;()若点M为BC中点,且AM=AC=2,求a的值9(11分)已知函数(1)求f(x)的单调递增区间;(2)若,且锐角ABC的两边长分别是函数f(x)的最大值和最小值,ABC的外接圆半径是,求ABC的面积10(11分)设函数f(x)=cos(2x+)+2cos2x(1)求f(x)的最大值,并写出使f(x)取最大值时x的集合;(2)已知ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c,若f(A)=,b+c=2,求a的最小值11(11分)已知=(p,cosx),=(sinx,3),凼数f(x)=(1)若凼数g(x)=f(x)q(q为常数)相邻两个零点的横坐标分别为x1=,x2=,则求q的值以及凼数f(x)在(,)上的值域;(2)在(1)的条件下,在ABC中,满足f(B)=6,且AC=1,+=,求|的最大值12(11分)已知函数f(x)=cos(2x)2sinxcosx(I)求f(x)的最小正周期;(II)求证:当x,时,f(x)13(11分)已知函数f(x)=cos2xsin2x+,x(0,)(1)求f(x)的单调递增区间;(2)设ABC为锐角三角形,角A所对边a=,角B所对边b=5,若f(A)=0,求ABC的面积14(11分)已知函数f(x)=(sinx+cosx)2+2cos2x()求f(x)最小正周期;()求f(x)在区间0,上的最大值和最小值15(11分)已知函数(0)的最小正周期为()求的值;()求函数f(x)在区间上的取值范围16(11分)设向量=(sinx,cosx),=(cosx,cosx),记f(x)=()求函数f(x)的最小正周期;()画出函数f(x)在区间的简图,并指出该函数的图象可由y=sinx(xR)的图象经过怎样的平移和伸缩变换得到?()若时,函数g(x)=f(x)+m的最小值为2,试求出函数g(x)的最大值并指出x取何值时,函数g(x)取得最大值17(11分)已知函数f(x)=sin2xcos2x+1,x,(1)求f(x)的最大值和最小值;(2)若不等式|f(x)m|2在x,上恒成立,求实数m的取值范围(3)将函数y=f(x)的图象向右平移个单位,得到y=g(x)的图象,求直线y=2+与函数y=f(x)+g(x)的图象在(,)内所有交点的坐标18(11分)已知函数f(x)=Asin(x+),xR,且f()=(1)求A的值;(2)若f()+f()=,(0,),求f()19(11分)如图所示,图象为函数f(x)=Asin(x+)(A0,0,的部分图象如图所示(1)求f(x)的解析式(2)已知g()=f()+f(),且tan=,求g()的值20(11分)已知函数f(x)=3sin(x+)(0,0)的最小正周期为,且其图象经过点(,0)(1)求函数f(x)的解析式;(2)若函数g(x)=f(+),(0,),且g()=1,g()=,求g()的值21(11分)设函数()求f(x)的最小正周期()若y=g(x)与y=f(x)的图象关于直线x=1对称,求当时y=g(x)的最大值22(11分)已知函数f(x)=sin2x,g(x)=cos,直线x=t(tR)与函数f(x),g(x)的图象分别交于M、N两点(1)当时,求|MN|的值;(2)求|MN|在时的最大值23(11分)已知函数f(x)=sin2x+cosx+tan,其中x0,0,(1)若时,求f(x)的最大值及相应的x的值;(2)是否存在实数,使得函数f(x)最大值是?若存在,求出对应的值;若不存在,试说明理由24(11分)已知函数f(x)=sin2x+2cosx1,(1)当=1时,求函数y=f(x)的值域;(2)若f(x)的最大值是,求实数的值25(11分)已知函数()求f(x)的最大值和最小值;()若不等式|f(x)m|2在定义域上恒成立,求实数m的取值范围26(11分)已知向量=(m,cos2x),=(sin2x,1),函数f(x)=,且y=f(x)的图象过点()(1)求m的值;(2)将y=f(x)的图象向左平移(0)个单位后得到函数y=g(x)的图象,若y=g(x)图象上各最高点到点(0,3)的距离的最小值为1,求y=g(x)的单调递增区间27(11分)已知向量=(sin,1),记f(x)=()求函数f(x)的单调递增区间;()在锐角ABC中,角A,B,C的对边分别是a,b,c,且满足(2ac)cosB=bcosC,求f(2A)的取值范围28设锐角三角形的内角A、B、C的对边分别为a、b、c,且a=2bsinA(1)求B的大小;(2)求cosA+sinC的取值范围29(11分)ABC的内角A,B,C所对的边分别为a,b,c已知absinC=20sinB,a2+c2=41,且8cosB=1(1)求b;(2)证明:ABC的三个内角中必有一个角是另一个角的两倍30(11分)ABC的内角为A,B,C的对边分别为a,b,c,已知(1)求sin(A+B)+sinAcosA+cos(AB)的最大值;(2)若,当ABC的面积最大时,ABC的周长;31(11分)在ABC中,a,b,c分别为角A,B,C的对边,已知c=,ABC的面积为,又tanA+tanB=(tanAtanB1)()求角C的大小;()求a+b的值32(11分)在ABC中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c,bcosC=acos2B+bcosAcosB(1)求证:ABC是等腰三角形;(2)若,且ABC的周长为5,求ABC的面积33(11分)在ABC中,角A,B,C所对的边分别是a,b,c,且+=()证明:sinAsinB=sinC;()若b2+c2a2=bc,求tanB34(11分)在ABC中,内角A,B,C对边的边长分别是a,b,c,已知c=2,C=()若ABC的面积等于,求a,b;()若sinC+sin(BA)=2sin2A,求ABC的面积35(11分)在ABC中,内角A、B、C所对的边分别为a,b,c,a2+b2=6abcosC,且sin2C=2sinAsinB(1)求角C的值; (2)设函数f(x)=sinxcosx(0),且f(x)图象上相邻两最高点间的距离为,求f(A)的取值范围36(11分)已知函数f(x)=msinxcosx+mcos2x+n(m,nR)在区间0,上的值域为1,2() 求函数f(x)的单调递增区间;() 在ABC中,角A,B,C所对的边长分别为a,b,c,当m0时,若f(A)=1,sinB=4sin(C),ABC的面积为,求边长a的值37(11分)已知ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,且2ccosBb=2a()求角C的大小;()设角A的平分线交BC于D,且AD=,若b=,求ABC的面积38(11分)已知函数f(x)=2x23x+1,g(x)=ksin(x),(k0)(1)问a取何值时,方程f(sinx)=asinx在0,2上有两解;(2)若对任意的x10,3,总存在x20,3,使f(x1)=g(x2)成立,求实数k的取值范围?39(11分)函数f(x)=2ax22bxa+b(a,bR,a0),g(x)=2ax2b(1)若时,求f(sin)的最大值;(2)设a0时,若对任意R,都有|f(sin)|1恒成立,且g(sin)的最大值为2,求f(x)的表达式40(11分)已知函数f(x)=sin2x+acosx+a,aR(1)当a=1时,求函数f(x)的最大值;(2)如果对于区间上的任意一个x,都有f(x)1成立,求a的取值范围2018年高中数学三角函数与解三角形参考答案与试题解析一解答题(共40小题,满分429分)1【解答】解:(1)ABC中,内角A,B,C的对分别为a,b,c,且cos2B+cosB=0则:2cos2B+cosB+1=0整理得:(2cosB1)(cosB+1)=0解得:cosB=(1舍去)则:B=(2)利用余弦定理:b2=a2+c22accosB,由于:b=,a+c=5,解得:ac=6所以:2【解答】解:(1)在ABC中,由,由余弦定理:a2+b2c2=2abcosC,可得:2acsinB=2abcosC由正弦定理:2sinCsinB=2sinBcosC0B,sinB0,2sinC=2cosC,即tanC=,0C,C=(2)由bsin(A)=acosB,sinBsinA=sinAcosB,0A,sinA0,sinB=cosB,根据正弦定理,可得,解得c=1,3【解答】解:(1)由a=2csin A及正弦定理得,=因为sin A0,所以sin C=因为ABC是锐角三角形,所以C=(2)因为c=,C=,由面积公式得:absin=,即ab=6(i)由余弦定理得,a2+b22abcos=7,即a2+b2ab=7(ii)由(ii)变形得(a+b)2=3ab+7(iii)将(i)代入(iii),得(a+b)2=25,可得:a+b=54【解答】解:(I)已知,正弦定理化简可得:,即sinCcosA=sinAcosB+sinBcosA=sinC0C,sinC0,cosA=1即cosA=A=(II)a=2,A=余弦定理:a2=b2+c22bccosA可得:b2+c2=4+bc4+bc2bc,当且仅当b=c时取等号解得:bc2(2+)那么三角形面积S=bcsinA=5【解答】解:()利用正弦定理化简csinCasinA=(cb)sinB得:c2+b2bc=a2,即c2+b2a2=bc,由余弦定理可得:cosA=A为三角形内角,A=30()由(1)可得c2+b21=bc,2bc1bc,当且仅当b=c时取等号,bc=2+SABC=bcsinA=bc三角形ABC面积S的最大值6【解答】解:(1)在ABC中,2c2acosB=b,由正弦定理可得:2sinC2sinAcosB=sinB,即:2sin(A+B)2sinAcosB=sinB,2sinAcosB+2cosAsinB2sinAcosB=sinB,可得:2cosAsinB=sinB,B为三角形内角,sinB0,cosA=,又A(0,),A=(2)A=,且ABC的面积为=bcsinA=bc,解得:bc=1,c2+abcosC+a2=4,cosC=,c2+ab+a2=4,整理可得:b2+c2=83a2,a2=b2+c22bccosA=b2+c2bc=83a21,整理可得:a=7【解答】解:由2acosCc=2b正弦定理,可得2sinAcosCsinC=2sinB即2sinAcosCsinC=2sin(A+C)可得:sinC=2cosAsinC、sinC0cosA=,A(0,)则A=(2)由(1)可知A=ABC=C=则AC=AB设AD=x,则AB=2x,在ABD中利用余弦定理:可得BD2=AB2+AD22ABADcosA即7x2=35,可得x=,故得ABC的面积S=8【解答】解:(I)2bsin(C+)=a+c,b(sinC+cosC)=a+c,即bsinC+bcosC=a+c,sinBsinC+sinBcosC=sinA+sinC=sin(B+C)+sinC=sinBcosC+cosBsinC+sinCsinBsinC=cosBsinC+sinC,sinC0,sinB=cosB+1,两边平方得:3sin2B=cos2B+1+2cosB,2cos2B+cosB1=0,解得cosB=或1,0B,B=(II)BM=CM=,在ABC中,由余弦定理得:cosB=,即,a2+c24=ac,在ABM中,由余弦定理得:cosB=,即,联立方程组,解得a=9【解答】解:(1)函数=sin2x,=2sin(2x),令:(kZ),解得:(kZ),故函数的单调递增区间为:(kZ)(2)由于:,故:,所以:,锐角ABC的两边长分别是函数f(x)的最大值和最小值,ABC的外接圆半径是,所以:令b=2,c=,则利用正弦定理:解得:sinB=,sinC=,故:cosB=,cosC=则:sinA=sin(B+C)=sinBcosC+cosBsinC=所以:10【解答】解:(1)函数f(x)=cos(2x+)+2cos2x=,故:f(x)的最大值为:2要使f(x)取最大值,即:(kZ),解得:(kZ),则x的集合为:(kZ),(2)由题意,即:,又0A,在ABC中,b+c=2,由余弦定理,a2=b2+c22bccosA=(b+c)2bc,由于:=1,所以:当b=c=1时,等号成立则:a241=3,即:则a的最小值为11【解答】解:(1)由=(p,cosx),=(sinx,3),函数f(x)=psinx+3cosx,g(x)=psinx+3cosxq,由题意可得psin+3cos=q,psin+3cos=q,两式相减可得,p=3q=3sin+3cos=6sin(+)=6sin=3,则有f(x)=3sinx+3cosx=6(sinx+cosx)=6sin(x+),由x(,),x+(,),则sin(x+)(,1,f(x)(3,6则值域为(3,6;(2)f(B)=6sin(B+)=6,(0B),则B=,由余弦定理可得b2=a2+c22accosB=a2+c2ac=1,即a2+c2=1+ac,由于a2+c22ac,则ac1,当且仅当a=c=1取得等号,由+=,则M为AC的中点,则=(+),|2=(+2)=(c2+a2+2accos)=(1+2ac),即有|当ABC为等边三角形时,|取得最大值,且为12【解答】解:()f(x)=cos(2x)2sinxcosx,=(co2x+sin2x)sin2x,=cos2x+sin2x,=sin(2x+),T=,f(x)的最小正周期为,()x,2x+,sin(2x+)1,f(x)13【解答】解:(1)函数f(x)=cos2xsin2x+=cos2x+,x(0,),由2k2x2k,解得kxk,kZ,k=1时,x,可得f(x)的增区间为,);(2)设ABC为锐角三角形,角A所对边a=,角B所对边b=5,若f(A)=0,即有cos2A+=0,解得2A=,即A=,由余弦定理可得a2=b2+c22bccosA,化为c25c+6=0,解得c=2或3,若c=2,则cosB=0,即有B为钝角,c=2不成立,则c=3,ABC的面积为S=bcsinA=53=14【解答】解:()f(x)=(sinx+cosx)2+2cos2x=sin2x+2sinxcosx+cos2x+2cos2x=1+sin2x+1+cos2x=sin(2x+)+2,(4分)所以f(x)的最小正周期为T=;(6分)()由0x得,02x,所以2 x+;(8分)根据正弦函数y=sinx的图象可知当时,f(x)有最大值为2+,(11分)当时,f(x)有最小值为1(13分)15【解答】解:()函数=+sinxcosx=cos2x+sin2x=sin(2x)+(0),f(x)的最小正周期为T=,解得=1;()由()知,f(x)=sin(2x)+,当x0,时,2x0,2x,sin(2x),1,sin(2x)+0,;函数f(x)在区间上的取值范围是0,16【解答】解:()由题意可得:=所以最小正周期 ()x02sin()01010y将函数y=sinx的图象向左平移单位得到函数的图象,再保持纵坐标不变,横坐标缩短为原为的得到函数的图象,最后再向上平移个单位得到就可得到函数的图象 ()由,可得所以由,所以又因为函数g(x)=f(x)+m的最小值为2,所以m=2所以函数g(x)的最大值为当时,即x=时,函数g(x)取得最大值17【解答】解:(1)函数f(x)=sin2xcos2x+1=2sin(2x)+1,x,2x,sin(2x),1,当2x=时,函数取得最小值为2,当2x=时,函数取得最大值为3(2)若不等式|f(x)m|2在x,上恒成立,即 sin(2x) 在x,上恒成立,且1,由此求得m1,或 m4,由此求得实数m的取值范围为m|m1,或 m4(3)将函数y=f(x)的图象向右平移个单位,得到y=g(x)=2sin2(x)+1=2sin(2x)+1=2cos(2x)+1 的图象,故y=f(x)+g(x)=2sin(2x)+1+2cos(2x)+1=2+2sin(2x)=2+2sin(2x)=22cos(2x)再根据x(,),可得 2x(2,2)由y=2+=f(x)+g(x),求得cos(2x)=1,求得2x= 或2x=,即x=,或x=故直线y=2+与函数y=f(x)+g(x)的图象在(,)内所有交点的坐标分别为(,2+),(,2+)18【解答】解:(1)函数f(x)=Asin(x+),xR,且f()=Asin(+)=Asin=A=,A=(2)由(1)可得 f(x)=sin(x+),f()+f()=sin(+)+sin(+)=2sincos=cos=,cos=,再由 (0,),可得sin=f()=sin(+)=sin()=sin=19【解答】解:(1)由图象知,A=1,T=,又函数的图象经过(),0=sin2+,|,解得(6分)(2)=2sin2(10分),(12分)20【解答】解:(1)因为函数f(x)的最小正周期为,且0,所以=,解得=2所以f(x)=3sin(2x+)因为函数f(x)的图象经过点,所以3sin=0,得=k,kZ,即=k,kZ由,得=所以函数f(x)的解析式为f(x)=3sin(2)依题意有g(x)=3sin=3cosx由g()=3cos=1,得cos=,由g()=3cos=,得cos=因为,(0,),所以sin=,sin=所以g()=3cos()=3(coscos+sinsin)=3=21【解答】解:(1)f(x)=故f(x)的最小正周期为T=8(2)在y=g(x)的图象上任取一点(x,g(x),它关于x=1的对称点(2x,g(x)由题设条件,点(2x,g(x)在y=f(x)的图象上,从而=当时,时,因此y=g(x)在区间上的最大值为22【解答】解:(1)将代入函数f(x)、g(x)中得到=(2)=,|MN|的最大值为23【解答】解:(1)f(x)=1cos2x+3cosx+=+,当cosx=1,即x=0时,f(x)max=5分(2)f(x)=+,当0x时,0cosx1,令a=,则a0,7分f(x)=(cosxa)2+a2+,若a1时,则当cosx=1时,f(x)max=2a+=,a=1,此时不成立10分当0a1时,则当cosx=a时,f(x)max=a2+=a=或a=(舍去)即=,即tan=,=综合上述知,存在符合题设(13分)24【解答】解:(1)=1时,f(x)=sin2x+2cosx1=cos2x+2cosx;令t=cosx,0t1;y=t2+2t=(t1)2+1;当t=0时,ymin=0,当t=1时,ymax=1;函数y=f(x)的值域为0,1;(2)f(x)=sin2x+2cosx1=cos2x+2cosx=(cosx)2+2当0时,当且仅当cosx=0时,f(x)取得最大值0,这与已知矛盾;当01,当且仅当cosx=时,f(x)取得最大值2;由已知得2=,解得;当1时,当且仅当cosx=1时,f(x)取得最大值1+2;由已知得1+2,解得,这与1相矛盾;综上所述,25【解答】解:()=又,即,f(x)max=3,f(x)min=2()|f(x)m|2f(x)2mf(x)+2,mf(x)max2且mf(x)min+2,1m4,即m的取值范围是(1,4)26【解答】解:(1)已知,又f(x)过点,解得:(2)由以上可得,把f(x)的图象向左左移个单位后,得到设g(x)的图象上符合题意的最高点为(x0,2),解得x0=0,g(0)=2,解得,+2k2x2k,kz,f(x)的单调增区间为27【解答】(本题满分为12分)解:()由题意可得:f(x)=cos+cos2=sin+cos+=sin()+,由2k2k+,kZ,解得:4kx4k+,kZ,函数f(x)的单调递增区间为4k,4k+,kZ,(6分)()因为(2ac)cosB=bcosC,由正弦定理得:(2sinAsinC)cosB=sinBcosC,所以:2sinAcosBsinCcosB=sinBcosC,所以:2sinAcosB=sin(B+C),因为:A+B+C=,所以:sin(B+C)=sinA,且sinA0,所以:cosB=,又0,所以:B=,则A+C=,A=C,又0,则,得,所以:sin(A+)1,又因为f(2A)=sin(A+)+,故函数f(2A)的取值范围是(,(12分)28【解答】解:(1)由a=2bsinA根据正弦定理,得sinA=2sinBsinA,sinA0故sinB=因ABC为锐角三角形,故B=(2)cosA+sinC=cosA+sin=cosA+sin=cosA+cosA+sinA=sin由ABC为锐角三角形,知=BA,A+,故sin,故cosA+sinC的取值范围是29【解答】(1)解:absinC=20sinB,abc=20b,即ac=20,则=(2)证明:ac=20,a2+c2=41,a=4,c=5或a=5,c=4若a=4,c=5,则,cosB=2cos2A1=cos2A,B=2A若a=5,c=4,同理可得B=2C故ABC的三个内角中必有一个角的大小是另一个角的两倍30【解答】解:(1)由得:,a=bcosC+csinB,即sinA=sinBcosC+sinCsinB,cosB=sinB,;由,令t=sinA+cosA,原式=,当且仅当时,上式的最大值为(2),即,当且仅当等号成立;,周长31【解答】解:(I)tanA+tanB=(tanAtanB1),tan(A+B)=,A+B=,从而C= (7分)(II)由SABC=,C=得ab=6,又cosC=,c=,a+b=(14分)32【解答】解:(1)证明:根据正弦定理,由bcosC=acos2B+bcosAcosB可得sinBcosC=sinAcos2B+sinBcosAcosB=cosB(sinAcosB+sinBcosA)=cosBsin(A+B),即sinBcosC=cosBsinC,故sin(BC)=0,由B,C(0,)得BC(,),故B=C,所以ABC是等腰三角形;(2)由(1)知b=c,又因为ABC的周长为a+b+c=5a=5,得a=1,b=2故ABC的面积33【解答】()证明:在ABC中,+=,由正弦定理得:,=,sin(A+B)=sinC整理可得:sinAsinB=sinC,()解:b2+c2a2=bc,由余弦定理可得cosA=sinA=,=+=1,=,tanB=434【解答】解:()c=2,C=,c2=a2+b22abcosCa2+b2ab=4,又ABC的面积等于,ab=4联立方程组,解得a=2,b=2()sinC+sin(BA)=sin(B+A)+sin(BA)=2sin2A=4sinAcosA,sinBcosA=2sinAcosA当cosA=0时,求得此时当cosA0时,得sinB=2sinA,由正弦定理得b=2a,联立方程组解得,所以ABC的面积综上知ABC的面积35【解答】解:(1)由于a2+b2=6abcosC,由余弦定理知a2+b2=c2+2abcosC,即cosC=,又sin2C=2sinAsinB,则由正弦定理得c2=2ab,所以cosC=,因为C(0,),所以C=;(2)f(x)=sinxcosx=2sin(x),由f(x)图象上相邻两最高点间的距离为,即有T=得,=2,则f(A)

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