解读九章算术之方田

解读九章算术之方田 九章算术方田1、今有田廣十五步，從十六步。問為田幾何？答曰：一畝。解读：现有一块田，宽十五步，长十六步。问这块田的面积是多少？答：一亩数学表达式：1516/240=1（亩）2、又有田廣十二步，從十四步。問為田幾何？答曰：一百六十八步。方田術曰：廣從步數相乘得積步。以畝法二百四十步除之，即畝數。百畝為一頃。解读：有一块田，宽十二步，长十四步。问这块田的面积是多少？答：一百六十八步数学表达式：1214=168（步）方田计算方法：长宽步数相乘得积步。用亩法二百四十步除之，即亩数。一百亩为一顷。3、今有田廣一里，從一里。問為田幾何？答曰：三頃七十五畝。解读：现有方田，宽一里，长一里。问这块田的面积是多少？答：三顷七十五亩方田术语：里法三百步数学表达式：1 * 1 * 300 * 300 / 240 = 375 (亩)，即三顷七十五亩4、又有田廣二里，從三里。問為田幾何？答曰：二十二頃五十畝。里田術曰：廣從里數相乘得積里。以三百七十五乘之，即畝數。解读：又有一方田，宽两里，长三里。问此块田的面积是？答：二十二顷五十亩里田计算方法：长宽里数相乘得积里。以三百七十五乘之，即亩数。数学表达式：2 * 3 *375 = 2250（里积），即二十二顷五十亩。5、今有十八分之十二。問約之得幾何？答曰：三分之二。解读：现有十八分之十二，问约分后等于多少？答：三分之二数学表达式： 12/18 = 2/36、又有九十一分之四十九。問約之得幾何？答曰：十三分之七。約分術曰：可半者半之，不可半者，副置分母子之數，以少減多，更相減損，求其等也。以等數約之。解读：又有九十一分之四十九，问约分后等于多少？答：十三分之七约分法：即先进行观察，如果分数的分子、分母有2的倍数，则可先在分子、分母中同约去2；然后再用分子、分母中较大的减去较小的，所得的差与上一步骤中的减数比较大小，并再从较大的数中减去较小的数，如此重复进行下去，当差与减数相等即出现“等数”时，该等数即为所求分子与分母的最大公约数，只需将分子分母同除以这个数，即可将原来的分数化为最简分数。【2】7、今有三分之一，五分之二。問合之得幾何？答曰：十五分之十一。解读：现有三分之一和五分之二，问两数相加等于多少？答：十五分之十一。数学表达式：1/3 + 2/5 = 11/158、又有三分之二，七分之四，九分之五。問合之得幾何？答曰：得一、六十三分之五十。解读：又有三分之二、七分之四和九分之五 ，问这三个数相加等于多少？答：一又六十三分之五十。数学表达式：2/3 + 4/7 + 5/9 = 1+50/639、又有二分之一，三分之二，四分之三，五分之四。問合之得幾何？答曰：得二、六十分之四十三。合分術曰：母互乘子，并以為實，母相乘為法，實如法而一。不滿法者，以法命之。其母同者，直相從之。解读：又有二分之一、三分之二、四分之三和五分之四，问这四个数相加等于多少？答：二又六十分之四十三。合分法：两分数的分母和分子互乘，取它们的和作为分子，两分母相乘作为分母，分子分母相等时为一。10、今有九分之八，減其五分之一。問餘幾何？答曰：四十五分之三十一。解读:现有九分之八，减去五分之一，问剩下多少？答：四十五分之三十一数学表达式：8 /90 - 1/5 = 31/4511、又有四分之三，減其三分之一。問餘幾何？答曰：十二分之五。減分術曰：母互乘子，以少減多，餘為實，母相乘為法，實如法而一。解读：又有四分之三，减去三分之一，问剩下多少？答：十二分之五减分法：两分数分子与分母互乘，用较大者减去较小者的差作为分子，两分母相乘之积作为分母，分子等于分母时，值为一。12、今有八分之五，二十五分之十六。問孰多？多幾何？答曰：二十五分之十六多，多二百分之三。解读：现有八分之五，二十五分之十六，问哪个数大？大多少？答：二十五分之十六大，大二百分之三数学表达式：5/8 < 16/25, 16/25 - 5/8 = 3/20013、又有九分之八，七分之六。問孰多？多幾何？答曰：九分之八多，多六十三分之二。解读：又有九分之八、七分之六。问哪个数大？大多少？答：九分之八大，大六十三分之二。数学表达式： 8/9 > 6/7, 8/9 - 6/7 = 2/6314、又有二十一分之八，五十分之十七。問孰多？幾何？答曰：二十一分之八多，多一千五十分之四十三。課分術曰：母互乘子，以少減多，餘為實，母相乘為法，實如法而一，即相多也。解读：又有二十一分之八和五十分之十七，问哪个大？大多少？答：二十一分之八大，大一千五十分之四十三。课分法：分子互乘分母，用较大的减去较小的，余数作为分子，分母相乘之积作为分母。当分子等于分母时，值为一，即是较大的分数。15、今有三分之一，三分之二，四分之三。問減多益少，各幾何而平？答曰：減四分之三者二，三分之二者一，并以益三分之一，而各平於十二分之七。解读：现有三分之一、三分之二、四分之三，问减去多的补给少的各多少就一样了？答：减3/4二份，减2/3一份，并把这些 补给1/3，就一样多，一样时为7/1216、又有二分之一，三分之二，四分之三。問減多益少，各幾何而平？答曰：減三分之二者一，四分之三者四，并以益二分之一，而各平於三十六分之二十三。平分術曰：母互乘子，副并為平實，母相乘為法。以列數乘未并者各自為列實。亦以列數乘法，以平實減列實，餘，約之為所減。并所減以益於少，以法命平實，各得其平。17、今有七人，分八錢三分錢之一。問人得幾何？答曰：人得一錢、二十一分錢之四。解读：现有七个人，均分八又三分之一钱。问每人分得多少钱？答：每人得一又二十一分之四钱。18、又有三人，三分人之一，分六錢三分錢之一，四分錢之三。問人得幾何？答曰：人得二錢、八分錢之一。經分術曰：以人數為法，錢數為實，實如法而一。有分者通之，重有分者同而通之。经分法：法与实皆为分数的除法，先将法、实皆化为假分数，然后以法的分母乘实的分子为实，似实的分母乘法的分子为法，相除即为所求。【3】19、今有田廣七分步之四，從五分步之三。問為田幾何？答曰：三十五分步之十二。解读：现有方田宽为七分之四，长为五分之三。问此块田的面积为？答：三十五分之十二步20、有田廣九分步之七，從十一分步之九。問為田幾何？答曰：十一分步之七。解读：又有方田宽九分之七，长十一分之九。问该方田的面积是？答：十一分之七步21、又有田廣五分步之四，從九分步之五，問為田幾何？答曰：九分步之四。乘分術曰：母相乘為法，子相乘為實，實如法而一。解读：又有一块方田宽为五分之四，长为九分之五。问该方田的面积是？答：九分之四步。22、今有田廣三步、三分步之一，從五步、五分步之二。問為田幾何？答曰：十八步。解读：现有块方田宽为三又三分之一步，长为五又五分之二步，问该块田的面积是？答：十八步。23、又有田廣七步、四分步之三，從十五步、九分步之五。問為田幾何？答曰：一百二十步、九分步之五。解读：又有一块方田宽为七又四分之三步，长为十五又九分之五步。问该块方田的面积是？答：一百二十又九分之五步。24、又有田廣十八步、七分步之五，從二十三步、十一分步之六。問為田幾何？答曰：一畝二百步、十一分步之七。大廣田術曰：分母各乘其全，分子從之，相乘為實。分母相乘為法。實如法而一。解读：又有一块方田宽为十八又七分之五步，长为二十三又十一分之六步。问该块方田的面积是？答：一亩两百又十一 分之七步。25、今有圭田廣十二步，正從二十一步。問為田幾何？答曰：一百二十六步。解读：现有等腰三角形田【4】边为十二步，高为二十一步。问该田面积是？答：一百二十六步。数学表达式： S = 1/2 * l * h = 1/2 * 12 * 21 = 12626、又有圭田廣五步、二分步之一，從八步、三分步之二。問為田幾何？答曰：二十三步、六分步之五。術曰：半廣以乘正從。解读：有等腰三角形田边长为五又二分之一步，高为八又三分之二步，问该块田的面积为多少？答：二十三又六分之五步。数学表达式： S = 1/2 * l * h = 1/2 * (5+1/2) * (8+2/3) = 23 + 5/6计算方法：底边长的一半乘以高。27、今有邪田，一頭廣三十步，一頭廣四十二步，正從六十四步。問為田幾何？答曰：九畝一百四十四步。解读：现有一块直角梯形田，上底边长三十步，下底边长为四十二步，高为六十四步。问该块田的面积是多少？答：九亩一百四十四步。数学表达式： S = 1/2 * (b上 + b下) * h = 1/2 * (30 + 42 ) * 64 = 2304(积步), 即九亩四十四步28、又有邪田，正廣六十五步，一畔從一百步，一畔從七十二步。問為田幾何？答曰：二十三畝七十步。術曰：并兩邪而半之，以乘正從若廣。又可半正從若廣，以乘并，畝法而一。解读：又有一直角梯形田，正宽长为六十五步，一边长一百步，另一边长七十二步。问该田的面积是多少？答：二十三亩七十步。数学表达式： S = 1/2 * (b上 + b下) * h = 1/2 * (100 + 72) * 65 = 5590， 即二十三亩七十步计算方法：取两边长的一半，乘以正从（宽）。也可取正从的一半做宽，再乘以两边长之和，用亩法归一制。29、今有箕田，舌廣二十步，踵廣五步，正從三十步。問為田幾何？答曰：一畝一百三十五步。解读：现有一般梯形田，上底长二十步，下底长五步，高为三十步。问此块田的面积是多少？答：一亩一百三十五步数学表达式：S = 1/2 * (b上 + b下) * h = 1/2 * (20 + 5) * 30 = 375(积步)，即一亩三十五步。30、又有箕田，舌廣一百一十七步，踵廣五十步，正從一百三十五步。問為田幾何？答曰：四十六畝二百三十二步半。術曰：并踵舌而半之，以乘正從。畝法而一。解读：又有一块梯形田，上底长一百一十七步，下底长五十步，宽为一百三十五步。问该田的面积是多少？答：四十六亩二百三十二步半计算方法：取上下底长的一半，乘以高，即得面积，用亩法归一制。31、今有圓田，周三十步，徑十步。問為田幾何？答曰：七十五步。解读：现有圆形田，周长三十步，半径十步。问此田面积是？答：七十五步。数学 表达式：S = 1/2 * l * r = 1/2 * 30 * 10 = 75（积步）32、又有圓田，周一百八十一步，徑六十步、三分步之一。問為田幾何？答曰：十一畝九十步、十二分步之一。術曰：半周半徑相乘得積步。又術曰：周徑相乘，四而一。又術曰：徑自相乘，三之，四而一。又術曰：周自相乘，十二而一。解读：又有一圆形田，周长一百八十一步，半径长六十又三分之一步。问此田的面积是？答：十一亩九十又十二分之一步计算方法：半周长乘以半径长等于积步（面积）。计算方法：周长乘以直径，取其四分之一。计算方法：直径相乘，然后乘以三，再取其四分之一。计算方法：周长相乘，取其十二分之一。数学表达式：S = 1/4 * L * r = 1/4 * 181 * (60+1/3) = 32761/12，即十一亩九十又十二分之一步。33、今有宛田，下周三十步，徑十六步。問為田幾何？答曰：一百二十步。解读：现有一侧面圆形田【5】，下半周长为三十步，半径为十六步。问此田面积是？答：一百二十步数学表达式： S = 1/4 * l * r = 1/4 * 30 * 16 = 120(积步)34、又有宛田，下周九十九步，徑五十一步。問為田幾何？答曰：五畝六十二步、四分步之一。術曰：以徑乘周，四而一。解读：又有一侧面圆形田，下周长九十九步，半径为五十一步。问此块田的面积是？答：五亩六十二又四分之一步。术语：用半径乘以周长，取其四分之一。数学表达式： S = 1/4 * l * r = 1/4 * 99 * 51 = 1262.25 (积步)35、今有弧田，弦三十步，矢十五步。問為田幾何？答曰：一畝九十七步半。解读：现有一弓形田，弦长为三十步，矢长为十五步。问此田的面积是？答：一亩九十七步半。数学表达式： S = 1/2 * (l *d + d*d) = 1/2 * (30*15 + 15*15) = 337.5，即一亩九十七步半。36、又有弧田，弦七十八步、二分步之一，矢十三步、九分步之七。問為田幾何？答曰：二畝一百五十五步、八十一分步之五十六。術曰：以弦乘矢，矢又自乘，并之，二而一。解读：又有一弓形田，炫长七十八又二分之一步，矢长十三又九分之七步。问此田的面积是？答：二亩一百五十五又八十一分之五十六步。计算方法：用弦长乘以矢，矢又自乘，取两者和的一半。37、今有環田，中周九十二步，外周一百二十二步，徑五步。問為田幾何？答曰：二畝五十五步。解读：现有一环形田，中周长为九十二步，外周长为一百二十二步，径长五步。问此田面积是？答：二亩五十五步。数学表达式： S = 1/2 * (l内 + l外) * d = 1/2 * (92 * 122) * 5 = 535(积步)，即535/240 = 2亩55步。 38、又