曲面的第一基本形式

2.2 曲面的第一基本形式 2.2.1 第一基本形式 我们来考察曲面上邻近两点之间的距离. 设P,Q是曲面S : r = r(u,v)上的两个邻近 点, 对应的径矢分别为r(u,v), r(u + u,v + v), 应用Taylor展开式, 有 PQ = ruu + rvv + o(|u| + |v|), 故 PQ长度的平方为 | PQ|2= r2 uu 2 + 2ru rvuv + rvv2+ o(|u|2+ |v|2), 当P 与Q无限接近时, 按通常的理解, 有du = u,dv = v, 故| PQ|2的主要部分(记为I )就是 I = r2 udu 2 + 2ru rvdudv + rvdv2, 令 E = r2 u, F = ru rv,G = r2 v, 则 I = Edu2+ 2Fdudv + Gdv2. 称为曲面的第一基本形式, 它是曲面上点和方向的函数, 在给定点处它是方向的函数. E,F,G称为曲面的第一类基本量, 在给定点处都是常数.容易验证 EG F2 0, 所以第一基本形式是du,dv的正定二次形式, 且E 0,G 0. 【例 1】求柱面r(u,v) = (u) + vb的第一基本形式. 【解】由参数方程计算得ru= 0(u),rv= b, 且 E = r2 u= | 0(u)|2, F = ru rv= 0(u) b,G = r2 v = b2, 所以, 正螺面的第一基本形式为 I = |0(u)|2du2+ 20(u) b dudv + b2dv2. 65 【例 2】求xy平面的第一基本形式. 【解】可设xy平面的参数表示为r(x,y) = x,y,0, 则第一基本形式为 I = dx2+ dy2. 【例 3】求球面x2+ y2+ z2= a2的第一基本型. 【解】在球坐标参数下, 球面有表示 r(,) = acoscos,acossin,asin; 容易求出它的第一基本形式为 I = a2(d2+ cos2d2). 在球极投影参数下, 球面有表示 r(u,v) = 2a2u u2+ v2+ a2 , 2a2v u2+ v2+ a2 , a(u2+ v2 a2) u2+ v2+ a2 ? 容易求出它的第一基本形式为 I = 4a4 (u2+ v2+ a2)2 (du2+ dv2) = 4 1 + 1 a2(u 2+ v2)2 (du2+ dv2). 【例 4】旋转曲面r(u,v) = f(v)cosu,f(v)sinu,g(v)的第一基本形式为 I = f0(v)2du2+ (f0(v)2+ g0(v)2) dv2. 2.2.2 第第第一一一基基基本本本形形形式式式的的的性性性质质质 定理 2.1曲面的第一基本形式是参数变换的不变量. 证明设 u = u( u, v) v = v( u, v) 是曲面S : r = r(u,v)的任一容许的参数变换, 并记在参数 (u,v)和( u, v)下的第一基本形式分别为 I = Edu2+ 2Fdudv + Gdv2, I = Ed u2+ 2Fd ud v + Gd v2, 66 首先我们得到第一基本形式系数之间的如下关系: E = r u r u= ? ru u u + rv v u ? ru u u + rv v u = E ?u u 2 + 2F ?u u v v + G ? v u 2 ; F = r u r v= E ?u u u v + F ?u u v v + v u u v + G ? v u v v ; G = r v r v= E ?u v 2 + 2F ?u v v v + G ?v v 2 . 我们用J = u u u v v u v v # 表示参数变换的Jacobi矩阵, 则上述关系式可以写成如下矩阵的形式 E F F G # = Jt EF FG # J, 又因为 du = u ud u + u v d v, dv = v ud u + v v d v, 即 du, dv = d u, d vJt, 于是我们有 I = d u, d v E F F G # d u d v # = d u, d vJt EF FG # J d u d v # = du, dv EF FG # du dv # = I. 【注 1】当曲面选取容许参数( u, v)时, 所得到的第一基本形式系数 E, F, G一般将 67 与参数(u,v)下的第一基本形式系数E,F,G不同, 但从定理2.1的证明可以看出 EG F2= fl fl fl fl (u,v) ( u, v) fl fl fl fl 2 (EG F2). 定理 2.2曲面的第一基本形式是R3的合同变换下的不变量. 证明设f : f(P) = P T + P0是R3的任一合同变换, 曲面S : r = r(u,v)在f 下的像 为S: r(u,v) = f r(u,v). 则 r u= ru T, r v = rv T, 设E,F,G是曲面S的第一基本形式系数, 由于T 是正交矩阵, 所以 E= r u r u= (ru T) (ru T) = ru ru= E, 同理F= F,G= G, 这时S与S的第一基本形式相同. 2.2.3 第第第一一一基基基本本本形形形式式式的的的应应应用用用 1. 求曲面上曲线的弧长 设C : r(t) = r(u(t),v(t), t a,b是曲面S : r = r(u,v)上一条曲线, 按照曲线论中 弧长的计算公式, 则有 s = Z b a |r0(t)|dt = Z b a s E ?du dt 2 + 2F ?du dt dv dt + G ?dv dt 2 dt = Z b a I 【例 5】求xy平面上, 曲线x = x(t),y = y(t)的弧长. 【解】熟知xy平面的第一基本形式I = dx2+ dy2, 因此 s = Z t2 t1 I = Z t2 t1 s? dx dt 2 + ?dy dt 2 dt = Z t2 t1 q x02+ y02dt. 这与曲线论(或微积分)中平面曲线的弧长公式一致. 68 【例 6】试计算单位球面r(,) = cossin,sinsin,cos上, 曲线 = logcot(/4 t/2) = /2 t ,0 t /2, 的弧长(该曲线从赤道出发, 围绕北极点呈“龙卷风”形状). 【解】直接计算得到球面的第一基本形式为 I = sin2d2+ d2, 而且 d dt = 1 sin(/2 t), d dt = 1, 因此, 所求曲线的弧长为 s = Z /2 0 s E ?d dt 2 + 2F ?d dt d dt + G ?d dt 2 dt = Z /2 0 2 dt = /2. 2. 求曲面上两条曲线之间的夹角 曲面上两条曲线之间的夹角即两曲线在交点处切向量之间的夹角. 设C 与C是曲面 S : r = r(u,v)上两条交于P0(u0,v0)点的曲线, 并设其参数方程分别为 u = u(t),v = v(t); u = u(t),v = v(t), 它们在P0(u0,v0)点处的切向量为 ? ru du dt + rv dv dt fl fl fl fl P0 , ? ru du dt + rv dv dt fl fl fl fl P0 , 因此, C 与C在其交点P0(u0,v0)处夹角的余弦为 cos = r u du dt + rv dv dt r u du dt + rv dv dt fl fl ru du dt + rv dv dt fl fl fl fl ru du dt + rv dv dt fl fl fl fl fl fl fl P0 69 分子、分母同乘以dtdt得 cos = Edudu+ F(dudv+ dvdu) + Gdvdv Edu2 + 2Fdudv + Gdv2 pE(du)2 + 2Fdudv+ G(dv)2 fl fl fl fl fl P0 , 因此, 如果我们知道曲面的第一类基本量(而无需知道曲面的方程和形状)及切平面上两个 方向du : dv及du: dv, 便能按上式求出这两个切方向之间的夹角. 【注 2】上述公式求夹角是针对有向曲线而言; 对无向曲线, 则公式右端应取正负两 个符号, 这表示曲线有两个夹角, 它们之和为. 推论 2.3切平面上两个方向dr = rudu + rvdv及r = ruu + rvv垂直的必要充分 条件是Eduu + F(duv + dvu) + Gdvv = 0. 推论 2.4曲面S : r = r(u,v)上u-曲线和v-曲线之间的夹角的余弦为 cos = F EG, 进而参数曲线(网)正交的必要充分条件是F = 0. 【例 7】设一个曲面的第一基本形式为 ds2= du2+ (u2+ a2)dv2, 求它上面两条曲线u + v = 0, u v = 0的交角(注意：解此题时, 不需要知道曲面的方程 和曲面的形状). 【解】关于曲线u + v = 0, 令u = u1, v = v1, 则du1= dv1; 关于曲线u v = 0, 令u = u2, v = v2, 则du2= dv2. 设此二曲线交角为, 则 cos = Edu1du2+ F(du1dv2+ du2dv1) + Gdv1dv2 pEdu2 1+ Fdu1dv1+ Gdv21 pEdu2 2+ Fdu2dv2+ Gdv22 . 由ds2= du2+ (u2+ a2)dv2可知 E = 1,F = 0,G = u2+ a2. 代入上式得 cos = u2+ a2 1 u2+ a2+ 1. 70 把曲线u + v = 0与u v = 0交点的曲线坐标u = 0, v = 0代入上式得二曲线的交角余弦 为 cos = u2+ a2 1 u2+ a2+ 1 fl fl fl fl u=0 v=0 = a2 1 a2+ 1. 3. 求曲面(域)的面积 现在我们来推导曲面S : r = r(u,v),(u,v) D(平面区域)上给定区域D 的面积. (以下 我们只是给出直观推导, 详细的证明参见C. Goff man著多元微积分) 用u-线和v-线划分曲面域D 成 完整 不完整 曲边四边形. 划分加细, 完整四边形的面积越接近于平行四边形的面积 不完整四边形面积越来越小, 在D中所占比重愈小 任取一个完整的曲边四边形PP1P2P3(如图), 设四个顶点P、P1、P2、P3对应的 径矢分别为 r(u,v),r(u + u,v),r(u,v + v),r(u + u,v + v), 由Taylor公式, 得 PP1= r(u + u,v) r(u,v) = ru(u,v) + 1u, PP2= r(u,v + v) r(u,v) = rv(u,v) + 2v, 其中 lim u0 1= lim v0 2= 0. 取其主要部分, 略去u,v的高阶项便得 PP1 ru(u,v)u, PP2 rv(u,v)v, 这时我们有 S曲边四边形 PP1P2P3 S平行四边形 PP1P2P3 = | PP1 PP2| = |ru rv|uv = p EG F2uv. 71 进而我们可以把 = EG F 2uv或d = EG F 2dudv作为曲面S上的面积元 素. 求和、取极限作为曲面域面积的公式 = lim u0 v0 Xp EG F2uv = ZZ D p EG F2dudv. 【注 3】由于E,F,G是刚性不变量, 所以是刚性不变量. 而且, 不受参数变换的 影响. 这是因为在参数变换 u = u( u, v) v = v( u, v) 下, EG F2= (u,v) ( u, v) 2 (EG F2), 由二重积分的参数变换公式知是参数变换的不变量. 【注 4】对于一个平面区域R, 由于不受坐标系选择的影响, 我们可以选择直角坐 标系, 使那个平面区域在xy平面上; 由于不受参数选择的影响, 可选择u = x,v = y, 这 样, 平面的第一基本形式为I = dx2+ dy2, 于是面积公式化为 = ZZ R dxdy. 这和惯用的平面区域的面积公式一致. 【例 8】设曲面的第一基本形式为ds2= du2+(u2+a2)dv2, 求出曲面上由三条曲线 u = av, v = 1相交所成的三角形的面积. 【解】首先求得曲面上三条曲线u = av, v = 1相交于下列三点：A(u = 0,v = 72 0),B(u = a,v = 1),C(u = a,v = 1). 则曲边三角形ABC 的面积是 S = ZZ D p EG F2dudv = ZZ D p u2+ a2dudv = 2 Z a 0 p u2+ a2du Z 1 a u dv = 2 Z a 0 (1 u a ) p u2+ a2du = u p u2+ a2+ a2ln(u + p u2+ a2) 2 3a(u 2 + a2)3/2 a 0 = 2 3 2 3 + ln(2 1) # a2. 【例 9】求环面的r(,) = (b + asin)cos,(b + asin)sin,acos面积, 其中 a,b (b a)是正常数, 参数0 2,0 2. 【解】首先求得环面的第一基本形式为 I = (b + asin)2d2+ a2d2, 于是环面的面积为 S = ZZ 02 02 p EG F2dd = Z 2 0 Z 2 0 a(b + asin)dd = 42ab. 2.2.4 曲曲曲面面面的的的内内内蕴蕴蕴性性性质质质内内内蕴蕴蕴量量量 在上一部分中，我们已看到曲面上曲线的弧长、曲面上两个方向的夹角及曲面（域） 的面积都可以用曲面的第一类基本量来表示, 这种仅由曲面的第一类基本量所能建立的几 何性质称为曲面的内在性质或内蕴性质, 把仅由第一类基本量所能表示出来的几何量称为 曲面的内蕴量. 研究曲面内蕴量或内在性质的几何称为曲面的内在几何. 2.2.5 正正正交交交曲曲曲线线线族族族与与与正正正交交交轨轨轨线线线 73 曲面的几何性质与曲面的参数表示显然是无关的, 在一些特殊的参数选取下, 我们可以 简化许多几何问题中的计算过程. 这里将阐明曲面上总存在正交参数曲线网的. 为此先证 明一个 定理 2.5设在曲面S : r = r(u,v)上给出两个线性独立的向量场a(u,v)和b(u,v), 则 可选到一族新的参数( u, v), 使在新的参数下, 坐标曲线的切向量r u与r v分别平行于a,b. 证明考察a,b的表示式 eda = a1ru+ a2rv, b = b1ru+ b2rv, ed() 和两个一次微分式 b2du b1dv,a2du + a1dv, 那么, 从常微分方程组理论得知, 分别存在非零积分因子和, 使这两个一次微分式变成 全微分, 即有 (b2du b1dv) = d u, (a2du + a1dv) = d v, 其中 u, v表示u,v的两个函数, 即 u = u(u,v), v = v(u,v). 由于a,b是线性独立的, 那么 ( u, v) (u,v) = fl fl fl fl fl a1a2 b1b2 fl fl fl fl fl 6= 0, 所以 u, v可以作为曲面S的新参数. 其次, 从(*)有 du = a1d u + b1d v fl fl fl fl fl a1a2 b1b2 fl fl fl fl fl , dv = b2d v + a2d u fl fl fl fl fl a1a2 b1b2 fl fl fl fl fl , 74 所以 r u= ru du d u + rv dv d u = 1 fl fl fl fl fl a1a2 b1b2 fl fl fl fl fl (a1ru+ a2rv) k a, r v= ru du d v + rv dv d v = 1 fl fl fl fl fl a1a2 b1b2 fl fl fl fl fl (b1ru+ b2rv) k b. 推论 2.6曲面上总存在正交参数曲线网. 证明实际上, 对任何参数(u,v), 取定 a = ru,b = F E ru+ rv, 便立即得出, a,b构成S上的正交向量场. 根据上述结果, 在曲面S上存在参数( u, v), 使 r uk a,r vk b, 所以( u, v)构成