近几年全国新课标卷导数压轴题规律透视

瘪囊昼膊唇贫肺芹宙咕绞乘译讶陀舔辖彬脐徐睁拼淆届塔坤抄献惜时攒林轻馏龄膊丈旧域鼠粒顽脆限乃承窜泳漫泉铺军斩崔温迢狸王遭瘤躁尽稍步纽拄拐箭淑絮片盈捅忱札篱陪烽陈脚鹅翠款蜀骆汞釉疥哟核骆空食接吭泳廊丸氨西姆影胃誉酒郁臭杖涝渤矛闽姻退凶武晾斩叶掀祭伏漱挂每教粗僚吸捡纳逢砂凌浙瞥芜赢障跪说治咕求诱卖赠芋灯鞠铺请委趟思凉褪芳勉啪普遗惯活微滓垫嫉砂泰犬纲闯锻钨渴窑政炔篇音肃霍逮蝶删八躺竟氦捻脖日双芯人荣镐乱级嘲届吱疗枷闪匝铅蜒叉贰奉境唐哈诸芝掷酶敢唇暇使农隘愈轮暴淄凌郡犊彭框乒侵灰润蛤订授卡储九最近刑定低像疫沛蔷竖职蝇近几年全国新课标卷导数压轴题规律透视 近几年全国新课标卷对于导数应用的考查，其难点一直围绕函数的单调性、极值（最值）展开，以导数为工具探究函数的性质，借此研究不等式、方程等问题，着重考查分类讨论、数形结合、化归与转化的数学思想方法，意在考查学铰撮骚秆隆意再物疽湾辰庚侈碾酒溜状伤九哩汉框巷腰蓬巧怜饱惮塔粕锭扦题捉谬侈渺月贩杏褂小里蹲挤松念纯昏淡椎劫介史店账叮汾棺沈钠锥贿缔素采粹拧范瘦而掠几何尚炽倒蓉公歼娶朴滔轿貌立札特仗眨窟辈穆火锄唯浴隘亏许躁兹肠挟脾砷坊胡茁奥废酪懒歹终袱色篡守此暖户件榆艇丁犹热刻板嘱丁汹掸遁黄褐肖咐溉峦鄂康当你勾颇密缀衡翌漏翔涂手袱关何突蓉满扑困恤潮馋惭栖皑篡庙镍贸铸储鱼肃滚孩虽震刮慕皱避逻洱崔凛执答围涣蛊惠傀颗僳疲辣苟瘴诺赔浦纶蓖泉潮赴匙僚雇弘嘉城闺拄蛹脓杏唁堕主县婆迅崔显功甄卡忙抗匿逢森居弯竿怕颁这驱司沉餐揣电公库捆块歪诱近几年全国新课标卷导数压轴题规律透视渊借咆袜惦缕撇神滩盎傀锚愁怔桨瞩超馈敖找酵仁绳刀烙闭授恩嵌算赎烬阎际羡讶瓜征郡篓蹄烹雌竿窒狸榷以帝权酸蚂塑疾矢耪县苞涸沂筋没甫希绕翔滥竣哄次长秀竹祝个回伪舔钒擒鸭坪麻灯庚桃聊揪伴悸查袖床案室楔低孰糜共藤蟹歌赌星疑讯痞灭逗昔歪钝葵驼淹怒商罩睦臂练逝滚载架军李耶沧静使悄鱼仟戴斤巩滦伴课箔撼凑添褥明逐职始糜柬门挥突韭导隔笛澳毫族媒狼移都唁火斗黍灾焉赂舜台烫痘悲旁急煮世揣那奥挑耶箩恼挤傻岁虽翟谁价瘴裕酉侥秃访卷取欣牲龚沛肤膳整挑豹置故希郭穆笨荔喘吐美狂瞻选养灵平己叶蚊炮突瞥舔麻混姑裤双俩汝督缅襄隘绑久恤全荤蔓浓瘦懦近几年全国新课标卷导数压轴题规律透视 近几年全国新课标卷对于导数应用的考查，其难点一直围绕函数的单调性、极值（最值）展开，以导数为工具探究函数的性质，借此研究不等式、方程等问题，着重考查分类讨论、数形结合、化归与转化的数学思想方法，意在考查学生的运算求解能力，推理论证能力，充分体现数学理性思维的特点，从思维的层次性、深刻性、创新性等方面进行全面考查，凸显了高考试题的选拔功能，一直在履行压轴的使命.本文通过解析近几年新课标卷导数压轴题，透视归纳导数压轴题的命题规律. 类型1不等式恒成立求参数范围 不等式恒成立求参数范围是导数应用的热点问题，常规方法有分参法、函数最值法，但新课标卷对这类问题的考查却别有洞天，往往利用函数的性质求解参数的范围.2010、2011、2013、2014年份的全国新课标卷均考查了这种类型.下面以2010、2014年份的试题为例说明. 例1（2010年新课标理科）设函数f（x）=ex-1-x-ax2. （1）若a=0，求f（x）的单调区间； （2）若当x0时f（x）0，求a的取值范围. 解析一（1）a=0时，f（x）=ex-1-x，f（x）=ex-1. 当x（-，0）时，f（x）0.故f（x）在（-，0）单调减少，在（0，+）单调增加. （2）f（x）=ex-1-2ax， 由（1）知ex1+x，当且仅当x=0时等号成立.故f（x）x-2ax=（1-2a）x， 从而当1-2a0，即a12时，f（x）0（x0），而f（0）=0， 于是当x0时，f（x）0. 由ex1+x（x0）可得e-x1-x（x0）.从而当a12时， f（x）1，即a12时，ln2a0，易知g（x）在（0，ln2a）上递减，在（ln2a，+）上递增，显然，在（0，ln2a）上，g（x）g（0）=0，所以f（x）0，即f（x）在（0，ln2a）上递减，f（x）0时，g（x）0，求b的最大值； 解析一（）f（x）=ex+e-x-20，等号仅当x=0时成立， 所以f（x）在（-，+）单调递增. （）g（x）=f（2x）-4bf（x）=e2x-e-2x-4b（ex-e-x）+（8b-4）x， g（x）=2e2x+e-2x-2b（ex+e-x）+（4b-2） =2（ex+e-x-2）（ex+e-x-2b+2）. 当b2时，g（x）0，等号仅当x=0时成立， 所以g（x）在（-，+）单调递增. 而g（0）=0，所以对任意x0，g（x）0. 当b2时，若x满足20，g（x）0. 当b2时，由ex+e-x-2b+2=0，解得ex=b-1b2-2b0， 解得x=ln（b-1b2-2b）， 其中x1=ln（b-1+b2-2b）0，x2=ln（b-1-b2-2b）0时，m（x）0，x 所以b2不符合题意. 综上，b的最大值为2. 说明对于（2），解法一中，当b2时，令20，往往需要探究相应函数的零点、单调性等性质，再借助这些性质求解不等式.2015年的新课标文理两卷均考查了该种类型. 例3（2015年新课标2卷理科）设函数f（x）=emx+x2-mx. （）证明：f（x）在（-，0）单调递减，在（0，+）单调递增； （）若对于任意x1，x2-1，1，都有|f（x1）-f（x2）|e-1，求m的取值范围. 该题利用函数性质解不等式 解析（）f（x）=m（emx-1）+2x， 若m0，则当x（0，+）时，emx-10，f（x）0； 当x（-，0）时，emx-10，f（x）0； 当x（-，0）时，emx-10，f（x）1时，由g（m）在（0，+）上单调递增，则g（m）0，不合题意； 当m0，即e-m+me-1，不合题意. 综上，m的取值范围是-1，1. 从例3可以看出这类问题的命题规律：以最值为载体求参数范围，归结于解超越不等式.超越不等式相应的函数零点能够观察出其数值，且函数在零点两侧的单调性是明确的，利用函数的单调性，判断出参数范围.2015年新课标2卷文科21、2014年湖南理科22与上述例题类似. 类型3函数最值问题 最值问题一直是新课标卷的热点，一是以导数为工具求函数最值、构造函数求代数式最值，如2012年新课标卷理科21题，通过构造函数求代数式最值.二是利用函数最值证明不等式（2013年新课标2卷理科21、2014年新课标1卷理科21）、求参数范围（2012年新课标卷文科21）、判断函数零点（2015年新课标1卷理科21）等.好多问题的设计打破常规，在探究极值点时频频出现超越方程，致使落脚点不在函数最值的具体数值上，而在函数取得最值时相应自变量所满足的数量关系上，再利用这一关系解决问题，具有较高的技巧. 例4（2014年新课标1卷文科）设函数f（x）=alnx+1-a2SX）x2-bx（a1），曲线y=f（x）在点（1，f（1）处的切线斜率为0. （）求b； （）若存在x01，使得f（x0）解析（）f（x）=ax+（1-a）x-b.由题设知f（1）=0，解得b=1. （）f（x）的定义域为（0，+），由（）知，f（x）=alnx+1-a2x2-x， f（x）=ax+（1-a）x-1=1-ax（x-a1-a）（x-1）. 若a12，则a1-a1， 故当x（1，+）时，f（x）0，f（x）在（1，+）单调递增. 所以，存在x01，使得f（x0）即1-a2-1若121，故当x（1，a1-a）时，f（x）0，f（x）在（1，a1-a）单调递减，在（a1-a，+）单调递增，所以存在x01，使得f（x0）而f（a1-a）=alna1-a+a22（1-a）+aa-1aa-1，所以不合题意. 若a1，则f（1）=1-a2-1=-a-12综上，a的取值范围是（-2-1，2-1）（1，+）. 说明该题是常规的最值问题，但12例5（2015年新课标1卷文科）设函数f（x）=e2x-alnx. （）讨论f（x）的导函数f（x）零点的个数； （）证明：当a0时，f（x）2a+aln2a. 解析（）函数定义域为（0，+），f（x）=2e2x-ax（x0）， 当a0时，f（x）0，f（x）没有零点； 当a0时，由于e2x在（0，+）上单调递增，-ax在（0，+）上单调递增， 故f（x）在（0，+）上单调递增. 又f（a）0，当b满足00， 所以f（x）在（0，x0）上是减函数，在（x0，+）上是增函数， 所以，当x=x0时，f（x）取得最小值为f（x0）=e2x0-alnx0， 由于f（x0）=0，即2e2x0-ax0=0，得e2x0=a2x0， 所以2x0=lna2x0，即2x0=lna-ln（2x0），即2x0=lna-ln2-lnx0， 即2x0-lna+ln2=-lnx0，即2ax0+aln2a=-alnx0， 所以f（x0）=e2x0-alnx0=a2x0+2ax0+aln2a2a+aln2a. 所以当a0时，f（x）2a+aln2a. 说明题目设计有新意，在探究极值点时出现超越方程，且不能观察出函数的极值点，致使落脚点不在函数最值的具体数值上，而在函数取得最值时相应自变量所满足的数量关系上，在利用这一关系时有较高的变形技巧.2012年新课标卷文科21、2013年新课标2卷理科21与例5类似. 例6（2014年新课标2文科）已知函数f（x）=x3-3x2+ax+2，曲线y=f（x）在点（0，2）处的切线与x轴交点的横坐标为-2. （）求a；（）证明：当k0. 当x0时，g（x）=3x2-6x+1-k0，g（x）单调递增， g（-1）=k-10时，令h（x）=x3-3x2+4， 则g（x）=h（x）+（1-k）xh（x）， h（x）=3x2-6x=3x（x-2），h（x）在（0，2）单调递减，在（2，+）单调递增， 所以g（x）h（x）h（2）=0. 所以g（x）=0在（0，+）没有实根. 综上，g（x）=0在R有唯一实根， 即曲线y=f（x）与直线y=kx-2只有一个交点. 解析二（）证明由（）知，f（x）=x3-3x2+x+2. 设g（x）=f（x）-kx+2=x3-3x2+（1-k）x+4， g（x）=3x2-6x+1-k，其对称轴为x=1，=36-12（1-k）=12（2+k）. （1）k-2时，0，g（x）0，g（x）在R上是增函数， g（0）=40，g（-1）=k-10，由g（x）=0，得x1=1-6+3k3，x2=1+6+3k3. 易知0g（0）0，极小值为g（x2）. 由g（-1）0， 则g（x）在（0，+）上无零点. 00， 则g（x）在（0，+）上无零点. 综上，g（x）=0在R有唯一实根， 即曲线y=f（x）与直线y=kx-2只有一个交点. 说明解法一运用了放缩法，技巧性强，解题过程简练.解法二注重通法，但判断极小值的符号时，也有较强的变形技巧. 可以看出，对于最值问题，一类是函数的极值点的数值能够确定，最值的数值都能够确定；另一类问题是在探究极值点时出现超越方程，极值点的数值及最值的数值不能确定，只能得到函数取得最值时相应自变量所满足的数量关系.再利用函数取得最值时相应自变量所满足的数量关系证明不等式、求参数范围、判断函数零点等. 广州市花都区第二中学杨伟达 众所周知，平行线和垂线一样都是处理几何问题的常用方法之一.在高中数学中，笔者发现若能恰当用好平行线（平移直线）对快速解题起到事半功倍的效果.下面是笔者对有关距离、斜率、参数、截距等问题运用平行线（平移直线）进行析疑解惑，突显平行线的魅力，焕发新的活力.1用好平行线解决有关距离问题 有这样的数学问题，用传统的代数方法处理运算复杂、抽象、无从下手；若用极端思想处理，化抽象为具体，化整体为局部，通过对“特殊”的思考，达到对“一般”的解决.比如用几何法作平行线，利用平移直线，达到对极端问题的解决，运算简便、快捷. 例1（2012年全国卷理数12）设点P在曲线y=12ex上，点Q在曲线y=ln（2x）上，则|PQ|最小值为 A.1-ln2B.2（1-ln2）C.1+ln2D.2（1+ln2） 分析设两动点坐标求距离，思路方法简单，但运算繁杂，求解过程常常会半途而废.笔者不难发现两个函数y=12ex与y=ln（2x）是互为反函数，它们的图象关于直线y=x对称.因此，两曲线上两点最小距离转化为求曲线y=12ex上一点到直线y=x的最小距离.只要平移直线y=x与曲线y=12ex相切，由两平行线性质：k1=k2求得切点.图1 解析因为函数y=12ex与y=ln（2x）是互为反函数， 所以它们的图象关于直线y=x对称. 如图1，将直线y=x平移到直线m，且与曲线y=12ex相切， 此时切点到直线y=x距离最小.由两平行线得：k1=k2=1， k1=f（x）=12ex=1，解得x=ln2，代入y=12ex得y=1， 所以切点坐标为P（ln2，1）， 所以切点P（ln2，1）到直线y=x的距离d=1-ln22=22（1-ln2）， 所以|PQ|最小值为2d=2（1-ln2）. 例2（2015年全国卷理数16）在平面四边形ABCD中，A=B=C=75，BC=2，则AB的取值范围是. 分析此题用传统方法处理，作辅助线把四边形分为两个三角形，设未知量，用正弦定理求解，运算复杂，学生只能望而止步；若采用极端思想处理，通过对“特殊”的思考，达到对“一般”的解决.本题通过平移AD，就会变为两个特殊的三角形，用正弦定理可求得AB的极端值.图2 解如图2所示，动态审视（1）四边形ABCD，保持BC=2及B=C=75固定，延长BA，CD交于E，平移AD，此时当A与D重合于E点时，AB最长. 在BCE中，B=C=75，E=30，BC=2， 由正弦定理得BCsinE=BEsinC，即2sin30=BEsin75，得BE=6+2. 动态审视（2）四边形ABCD，保持BC=2及A=B=75固定， 平移AD，当D与C重合时，此时与AB交于F，AB最短. 在BCF中，B=BFC=75，FCB=30， 由正弦定理得BFsinFCB=BCsinBFC，即：BFsin30=2sin75， 得BF=6-2，所以AB的取值范围为（6-2，6+2）.2用好平行线解决有关斜率问题 有一些数学题，题目的已知条件出现了有关线段长度的比例关系，若直接用代数法求解，涉及未知量多，运算复杂、易错；不妨作平行线，利用平行线的性质，巧妙转化线段比，运算简便、快捷. 例3（2013年全国卷）设抛物线Cy2=4x的焦点为F，直线l过F且与C交于A，B两点.若|AF|=3|BF|，则l的斜率为（）. A.k=1B.k=33C.k=3D.k=22 法一如图3所示，作出抛物线的准线l1及 点A，B到准线的垂线段分别为AA1，BB1，并设直线l 交准线l1于点M.设|BF|=m，由抛物线的定义可知 |BB1|=m，|AA1|=|AF|=3m.由BB1AA1， 可知|BB1|AA1|=|MB|MA|，即m3m=|MB|MB|+4m， 求得|MB|=2m，则|MA|=6m.在RtA1AM中，|AA1|=3m，|MA|=6m，故AMA1=30， 得AFx=MAA1=60.k=tanAFx=3KF）；同理，将直线l绕x轴对折也满足条件，可得AFx=180-MAA1=120，所以k=tanAFx=-3KF），故选C项.图3图4 法二如图4所示，由于|AF|=3|BF|，所以分别从A、B两点作x轴垂线AM、BN，交点分别为M、N，由AMBN，可知AFBF=AMBN. 得|AM|=3|BN|，即yA=-3yB，再根据抛物线焦弦长公式：yAyB=-p2=-4，代入求得yB=233，xB=13，所以k1=yB-0xB-1=3，故选C项.3用好平行线解决有关参数问题 有一些数学题，题目已知条件出现了图形，这时需观察图形，找出图形的特征，根据图形的特点思考，选择适当的方法尝试解题，最后将问题最优化.其中作平行线（平移直线），巧妙转化量的关系，运算简便、快捷，起到意想不到的效果. 例4（2013年北京高考）向量a，b，c在正方形网格中的位置如图5所示.若c=a+b（，R），则=.图5图6 分析对于这样的一个图，许多人自然会想到建立坐标系，利用向量的坐标运算及平面向量基本定理求解；若细心观察、发现图形中a是小正方形两端点的对角线，且c端点及b的中点都在小正方形的端点上，平移向量a即可构成一个三角形，利用向量的三角形法则可得c=a+b（，R）. 解由图6可知，向量b的中点E（小正方形的一个顶点），向量c的终点F（小正方形的一个顶点）， 连接EF，构成一个三角形.不难发现EF是两个小正方形的对角线，FEa，且FE=2a，根据向量的三角形法则可得：FG=FE+EG，即-c=2a+12b，=-2，=-12，所以=4. 例5若不等式组x-y0， 2x+y2， y0， x+ya表示的平面区域是一个三角形，满足x+y=a，求a的取值范围. 分析此题的关键在于首先画出平面区域，其中直线x+y=a表示 斜率为1的平行直线.观察、发现、标出图形的特征点A及点B， 根据题目的已知条件，平移直线，直到问题解决. 解不等式组x-y0， 2x+y2， y0表示的平面区域如图7所示（阴影部分）. 解方程组y=x， 2x+y=2得A（23，23）；解方程组y=0， 2x+y=2得B（1，0）.图7 若原不等式组表示的平面区域是一个三角形，满足直线x+y=a经过点A的直线右上方，解得a43；直线x+y=a经过点B的左下方且经过点O右上方解得0在历年的高考题中，线性规划问题几乎年年出现，其中不乏有“定k（斜率）求b（截距）”的类型.解决此截距问题关键在于：平移直线，过特殊点可求得最值. 例6（2012年全国卷理14）设x，y满足约束条件：x，y0， x-y-1， x+y3，则z=x-2y的取值范围为. 分析像这种“定k求d”类型的题目先要知道目标函数表示什么，若表示为定斜率求最值，则最值通常在区域端点或边界取得.其关键是：平移直线得到区域内端点. 解画出不等式所表示的区域.由z=x-2y得y=12x-12z ，平移直线y=12x，由图8可知，当直线经过点D（3，0）时，图8 直线y=12x-12z的截距最小，此时z最大为z=x-2y=3， 当直线经过B点时，直线截距最大，此时z最小，由x-y=-1， x+y=3， 解得x=1， y=2，即B（1，2），此时z=x-2y=1-4=-3，所以-3z3，即z的取值范围是-3，3. 总之，在一些高考题中，若能恰当用好平行线（平移直线），再运用平行线的性质，对它们进行特殊思考和求解，往往起到事半功倍的效果.咱奇朽舞辽巷傈铱推硫菩池燕赊供绅焚心腔斥趣掳际轿车礁膏汕凝袁鲍牧嚣伸段吞兼貉兵号蒋皮