2014年10月04184自学考试线性代数试卷及答案

2014年10月高等教育自学考试全国统一命题考试04184线性代数（经管类）试卷本试卷共8页，满分100分，考试时间150分钟。说明：本试卷中，表示矩阵的转置矩阵，表示矩阵的伴随矩阵，是单位矩阵，表示方阵的行列式，表示矩阵的秩。1、 单项选择题（本大题共5小题，每小题2分，共10分）在每小题列出的四个备选项中只有一个是符合题目要求的，请将其代码填写在题后的括号内。错选、多选或未选均无分。1. 设3阶行列式=2，若元素的代数余子公式为（i,j=1,2,3)，则 【 】A. B.0 C.1 D.22. 设为3阶矩阵，将的第3行乘以得到单位矩阵，则=【 】A. B. C. D.23. 设向量组的秩为2，则中 【 】A. 必有一个零向量 B. B.任意两个向量都线性无关C.存在一个向量可由其余向量线性表出 D.每个向量均可由其余向量线性表出4. 设3阶矩阵,则下列向量中是的属于特征值的特征向量为 【 】A. B. C. D.5. 二次型的正惯性指数为 【 】A.0 B.1 C.2 D.32、 填空题（本大题共10小题，每小题2分，共20分）请在每小题的空格中填上正确答案。错误、不填均无分、6. 设，则方程的根是 7. 设矩阵,则= 8. 设为3阶矩阵，,则行列式= 9. 设矩阵,若矩阵满足,则= 10. 设向量,则由线性表出的表示式为 11. 设向量组线性相关，则数 12. 3元齐次线性方程组的基础解系中所含解向量的个数为 13. 设3阶矩阵满足，则必有一个特征值为 14. 设2阶实对称矩阵的特征值分别为和1，则 15. 设二次型正定，则实数的取值范围是 3、 计算题（本大题共7小题，每小题9分，共63分）16. 计算4阶行列式的值。17. 已知矩阵，求。18. 设矩阵,且矩阵满足,求。19. 设向量,试确定当取何值时能由线性表出，并写出表示式。20. 求线性方程组的通解（要求用其一个特解和导出组的基础解系表示）。21. 设矩阵与对角矩阵相似，求数与可逆矩阵，使得。22. 用正交变换将二次型化为标准形，写出标准形和所作的正交变换。四、证明题（本题7分）23.设向量组线性相关，且其中任意两个向量都线性无关。证明：存在全不为零的常数使得。2014年10月高等教育自学考试全国统一命题考试线性代数（经管类）试题答案及评分参考（课程代码04184）1、 单项选择题（本大题共5小题，每小题2分，共10分）1. D 2.A 3.C 4.B 5.C2、 填空题（本大题共10小题，每小题2分，共20分）6. 57. 8.9.10.11.12.13.14.15. 3、 计算题（本大题共7小题，每小题9分，共63分）16. 解 = .3分 .9分17. 解 .2分 .7分从而 .9分18. 解 由,得 .2分又由可逆 .5分由,可得两边左乘,得到 .9分19解 设， .2分该线性方程组的增广矩阵为 .6分由于能有线性表出，则必有此时，方程组有唯一解表示式为 .9分20. 解 方程组的增广矩阵 .2分可知4，方程组有无穷多解 .4分由同解方程组求出方程组的一个特解,导出组的一个基础解系为 .7分从而方程组的通解为为任意常数） .9分21. 解 由条件可知矩阵的特征值为 .2分 由，得 .4分对于，由线性方程组求得一个特征向量为 对于，由线性方程组求得两个线性无关的特征向量为 令,则 .9分22. 解 二次型的矩阵 .2分由故的特征值为 .4分对于，求解齐次线性方程组，得到基础解系 将其单位化，得 .7分令,则为正交矩阵，经正交变换，化二次型为标准形 .9分4、 证明题（本题7分）23. 证 由于向量组线性相关，故存在不全