尼科尔森《微观经济理论-基本原理与扩展》（第9版）笔记和课后习题详解.doc

尼科尔森微观经济理论-基本原理与扩展（第9版）笔记和课后习题详解第1篇引言第1章经济模型1.1复习笔记1经济模型（1）经济模型的含义经济模型是一种分析方法，它极其简单地描述现实世界的情况。现实世界的情况是由各种主要变量和次要变量构成的，错综复杂，因而除非把次要的因素排除在外，否则就不可能进行严格的分析，或使分析复杂得无法进行。通过作出某些假设，可以排除许多次要因素，从而建立起模型，便于进行分析。（2）经济模型的一般特征“其他条件不变”的假设；经济决策者寻求某项最优化的假设；准确地区分“实证性”和“规范性”问题。（3）检验经济模型的方法用于验证经济模型的一般方法有两种:直接法，即检验作为模型基础的基本假设是否成立；间接法，即看所抽象出的模型对现实预测的有效性。2“水与钻石悖论”亚当斯密在国富论指出“具有极大使用价值的东西往往只有很少的或没有交换价值，相反，那些具有极大交换价值的东西往往很少或没有使用价值。再没有比水更有用的东西了，但水却不能购买任何东西，没有东西和水交换。相反，钻石几乎没有使用价值，却十分昂贵。”由此引出了水与钻石悖论。英国经济学家马歇尔从需求和供给两方面来共同解释了该悖论：从需求一方看，价格取决于商品的边际效用，而不是总效用。对于水，水源充足，人们对水的消费量大，因而其边际效用很小，价格也就很便宜。同理，人们对钻石的边际效用很大，其价格也就相应地昂贵。从供给一方看，由于水源充足，生产人类用水的成本很低，因而其价格也低。钻石则很稀缺，生产钻石的成本也很大，因而钻石很昂贵。综合需求和供给两方面，则水便宜，钻石昂贵。即虽然水的使用价值极大，却没有交换价值；而钻石几乎没有使用价值，却可以交换大量的其他商品。3经济均衡（1）局部均衡模型局部均衡模型是一种经济分析方法，指在其他情况不变的情况下，仅考察经济生活在一定时间的某个变数对有关经济变量的影响的分析方法。其特点是以单个的生产者和消费者为分析的对象，而不考虑它同其他生产者或消费者之间的相互影响。英国著名经济学家马歇尔在其价值论和分配论的阐释中运用了这种分析方法。（2）一般均衡模型一般均衡模型是法国经济学家瓦尔拉斯创立的。瓦尔拉斯认为，整个经济体系处于均衡状态时，所有消费品和生产要素的价格将有一个确定的均衡值，它们的产出和供给，将有一个确定的均衡量。他还认为在“完全竞争”的均衡条件下，出售一切生产要素的总收入和出售一切消费品的总收入必将相等。该理论的实质是说明资本主义经济可以处于稳定的均衡状态。在资本主义经济中,消费者可以获得最大效用,企业家可以获得最大利润,生产要素的所有者可以得到最大报酬。1.2课后习题详解本章没有课后习题。本章是全书的一个导言，主要要求读者对微观经济模型有一个整体了解，然后在以后各章的学习中逐渐深化认识。第2章最优化的数学表达2.1复习笔记1一元函数最大值问题假设企业所获得的利润（）仅取决于出售商品的数量（），它的数学表达为，则利润最大化的产量必须满足以下两个条件：（1）最大化的一阶条件（必要条件）：对于上述一元函数，如果在某一点取到最大值，它在该点的导数（如果存在）必为零，即。（2）最大化的二阶条件（必要条件）：在满足一阶导数等于零的条件下，并不能保证该点为极大值点，还必须满足二阶导数小于零，即。上述两个条件同时满足才够成为最大化的充分条件。2多元函数最大值问题函数取最大值（或者最小值）的必要条件是，对于任意的微小变化的组合都有，这样该点必有：，此为极值的一阶条件。但这个条件并不能保证最大化，还需要考察该点的二阶偏导数，只有满足某些条件才能保证最大化。3包络定理在经济分析中，人们常常要考察经济中的某些参数的变化对目标函数（最大值）的影响，如一商品价格的变化对消费者的效用的影响，一投入要素价格的变化（或要素禀赋的变动）对厂商收入（或利润）的影响，此时，包络定理为这种分析提供了方便。考察如下一个最优化问题：其中，为维向量，参数为维向量。定义值函数和拉格朗日函数分别为：包络定理可以表示为：即参数对最大值函数（目标函数的最大值）的影响，就等于拉格朗日函数直接对参数求偏导数，并且在最优解处取值。4条件极值解具有约束条件求最大化问题的一种方法是拉格朗日乘数法。假设求解、的值，以便最大化下式：其中部分自变量是有限制的，但可以将约束条件一般性地记为：其中函数表示所有满足的关系。构造拉格朗日函数：有一阶条件为：上述方程能够解出、和的值。此解满足两个性质：第一，服从约束条件；第二，所有这些服从约束条件的使得（与）尽可能大。5约束条件下的最大化问题中的包络定理假设求解以下函数的最大值：其变量服从约束条件：函数与对参数具有依赖性。求解这个问题的一种方法是建立拉格朗日表达式：求解最优值，的一阶条件，它可以表示为：即当参数的改变（与所有重新计算的的最优值）导致的最优值的改变可由对拉格朗日表达式求偏导数，再将极值点的数据代入得到。因此，拉格朗日表达式在计算约束条件下的问题和没有约束条件的问题应用包络定理时起一样的作用。6齐次函数对于一个多元函数，如果对于任意正数，满足：则称其为次齐次函数。（1）齐次函数的偏导数一个次齐次可微函数的各个偏导数是次齐次的。例如，对齐次函数表达式关于求偏导数，有：可见是满足次齐次的定义的。（2）欧拉定理齐次函数的另一个重要性质是对因子求偏导得到的。对齐次函数表达式的两边分别对求偏导得：令，有：这就是齐次函数的欧拉定理。它说明了对于齐次函数，其函数值与其各个偏导数之间有确定的关系。（3）位似函数齐次函数经过任意的单调映射得到的函数称之为位似函数。位似函数保持了原函数自变量到函数值对应的序关系。即对于函数，如果一组自变量对应的函数值大于另一组的，那么经过单调映射后前者的函数值仍大于后者。但是由于单调映射有很多可能的形式，原齐次函数的很多性质是不能保持的。要注意的是，位似函数有个很好的性质，即函数各个自变量之间的替代关系只取决于自变量之间的比例，而不取决于其绝对值。2.2课后习题详解1已知。（1）计算偏导数，。（2）求出上述偏导数在，处的值。（3）写出的全微分。（4）计算时的值这意味着当保持不变时，与的替代关系是什么？（5）验证：当，时，。（6）当保持时，且偏离，时，和的变化率是多少？（7）更一般的，当时，该函数的等高线是什么形状的？该等高线的斜率是多少？解：（1）对于函数，其关于和的偏导数分别为：，（2）当，时，（1）中的偏微分值分别为：，（3）的全微分为：（4）当时，由（3）可知：，从而可以解得：。（5）将，代入的表达式，可得：。（6）由（4）可得，在，处，当保持不变，即时，有：（7）当时，该函数变为：，因而该等高线是一个中心在原点的椭圆。由（4）可知，该等高线在（，）处的斜率为：。2假定公司的总收益取决于产量（），即总收益函数为：；总成本也取决于产量（）：。（1）为了使利润（）最大化，公司的产量水平应该是多少？利润是多少？（2）验证：在（1）中的产量水平下，利润最大化的二阶条件是满足的。（3）此处求得的解满足“边际收益等于边际成本”的准则吗？请加以解释。解：（1）由已知可得该公司的利润函数为：利润最大化的一阶条件为：从而可以解得利润最大化的产量为：；相应的最大化的利润为：。（2）在处，利润最大化的二阶条件为：，因而满足利润最大化的二阶条件。（3）在处，边际收益为：；边际成本为：；因而有，即“边际收益等于边际成本”准则满足。3假设。如果与的和是1，求此约束下的最大值。利用代入消元法和拉格朗日乘数法两种方法来求解此问题。解：（1）代入消元法由可得：，将其代入可得：。从而有：，可以解得：。从而，。（2）拉格朗日乘数法的最大值问题为：构造拉格朗日函数为：一阶条件为：从而可以解得：，因而有：。4对偶函数为：利用拉格朗日乘数法求解上述最小化问题。解：设最小化问题的拉格朗日函数为：一阶条件为：从而有：，从而可以解得：。5以一定的力垂直上抛的小球的高度是其被抛出时间（）的函数：其中，是由重力所决定的常数。（1）小球处于最高处的时间如何取决于参数？（2）利用你在（1）问中的答案来描述：随着参数的变化，小球的最大高度如何变化。（3）利用包络定理直接给出（2）问中的答案。（4）在地球上，但是这个值在某些地区会有差异。如果两个地方重力加速度的差异为0.1，则在上述两个地区所抛出的小球的最大高度之间的差异是多少？解：（1）对高度函数关于时间求导数可得：从而可以解得使高度最大的时间为：，从而可知小球处于最高处的时间与参数成反比例关系。（2）将代入高度函数中可得：从而有：，即：随着的增大，最大高度将变小。（3）由包络定理可知：取决于，因为取决于。因而有：。（4）当时，最大高度为：；当时，最大高度为：；因而两地最大高度的差异为：。6制作一个油轮模型的一个简单的方法是，首先选择一块宽为英尺、长为英尺的长方形钢板，接着在每个角处减去一个边长为英尺的正方形，然后叠起剩余的四边做成一个无盖的托盘。（如图2-1所示，去掉阴影部分的四个边长为的正方形，然后叠起）图2-1 油轮模型的制作（1）验证：该托盘可装油的体积为：（2）应该如何选择，才能使给定下的最大？（3）是否存在一个使得所装油的体积最大？（4）假设一个造船商受到限制，只能用1000000平方英尺的钢板来建造一个油轮。该约束条件可以用方程来表示（因为可以将去掉的钢板做退回处理）。如何将该受约束的最大化问题的解与（2）和（3）问中的解进行比较？解：（1）如图2-1所示，长方形四个角处去掉一个边长为的正方形后叠起来的托盘是一个长方体，该长方体的长为（），宽为（），高为，因而其体积为：（2）由体积函数为，体积最大化的一阶条件为：从而可以解得：，即：，。二阶条件为：，只有当时，才有。即只有当才能使给定下的最大。（3）当时，。因而当增大时，随之增大，没有极限。因此，不存在一个使得所装油的体积最大。（4）受约束的最优化问题为：设拉格朗日函数为：一阶条件为：从而可以利用拉格朗日乘数法求得最优的、。显然，该受约束的最大化问题的解将有别于（2）和（3）中求解出来的解。7考虑如下受约束的最优化问题：其中是一个可以被赋予任何特定值的常数。（1）验证：如果，则此问题可以视为仅包括一个等式约束的问题的求解。（2）验证：当时，此问题的解要求。（3）如果此问题的解须为非负，则当时，最优解是什么？（4）当时，此问题的解是什么？通过将此解与（1）问中的解比较，你可以得出什么结论？（注意：此问题涉及“拟线性函数”。这样的函数提供了消费者理论中的某些类型的消费行为的重要例子。）解：（1）设拉格朗日函数为：一阶条件为：从而可以解得：，即。当时，最优解为：。（2）当时，由（1）中的一阶条件可以解得：，因此结论成立。（3）如果此问题的解非负时，最优解为：，。因为任何正的的值都将使变小。（4）如果，则由（1）可得最优解为：，。因为给提供了一个递减的边际增量，而却没有，所以，所有的最优解要求一旦增至5，额外的增量应该全部由的增加来实现。8证明：如果是一个凹函数，它同时也是一个拟凹函数。可以通过比较方程2.114（定义拟凹性）和方程2.98（定义凹性）来完成验证。你能给出这个结论的一个直观的解释吗？拟凹函数必然是凹的吗？方程2.98为：；方程2.114为：。证明：（1）由凹函数和拟凹函数的定义可知：函数，对定义域（凸集）上任意两点，如果有，则称函数为凹函数。函数，对定义域（凸集）上任意两点，如果有，则称函数为拟凹函数。可知，对于凹函数有：因而可以从凹函数推出拟凹函数，反之，则不成立。（2）直观的，从图形上看，函数为拟凹表示线段、之间的点的函数值要高于点，或者说曲线之间的点都高于点。显然，当函数是凹函数，曲线呈一个倒置的锅，则上述性质是满足的。从这一点看，凹函数一定是拟凹函数。但是，这不是必要的。如图2-2所示，在曲线段，函数是凹的；而在段，函数是凸的。这说明拟凹函数的概念要比凹函数更弱。图2-2 凹函数与拟凹函数9柯布-道格拉斯函数：，其中，和都是小于1的正的常数。（1）利用方程计算，从而验证该函数是一个拟凹函数。（2）通过验证任何（为任何正的常数）的上水平线都是凸的，从而任何满足的集合都是凸的，来验证柯布道格拉斯函数是拟凹函数。（3）验证：如果，则柯布道格拉斯函数不是凹函数（从而表明不是所有的拟凹函数都是凹函数）。证明：（1）分别对柯布-道格拉斯函数求一阶、二阶导数可得：从而可得：，因而可知柯布-道格拉斯函数是一个拟凹函数。（2）如果，则，因而当、时，是的凸函数。关于拟凹函数的一个重要性质是，如果函数是拟凹的，则当且仅当集合是凸集，其中是任意常数。集合为函数的上等值集合。（3）由方程2.98可知：当时，该式是负的，因而此时函数不是凹函数，从而可知，并非所有的拟凹函数都是凹函数。10幂函数，其中，（有时，也可以考虑为负的情形，此时利用来确保导数有恰当的符号）。（1）证明：此函数是凹函数。注意到当的特殊情况，以及仅当时，该函数才是“严格”凹的。（2）证明：幂函数的多元形式也是一个凹函数（和拟凹函数）。解释在这种情况下，为什么使得凹形的确定变得极其简单。（3）一种将“规模”效应融入该函数的方法是，对（2）问中的函数进行单调变换：其中，是一个正的常数。这种变换是否仍保持函数的凹性？是拟凹的吗？证明：（1）当时，因为，所以此时函数是严格凹函数。（2）对于幂函数，有：，；，。因为，且，所以满足，因而该函数是凹函数。（3）因为是拟凹函数，所以是拟凹函数。但是，当时，不是凹函数。所有这些结论可以通过对的偏微分以及方程和来验证。第2篇选择与需求第3章偏好与效用3.1复习笔记1理性选择定理偏好是指消费者按照自己的意愿对可供选择的商品组合进行的排列。偏好是微观经济学价值理论中的一个基础概念。偏好是主观的，也是相对的概念。为了便于经济分析，经济学家通常假定人们的偏好关系满足以下三个基本假设：（1）完全性（completeness）：偏好是完备的，也就是说，消费者可以在所有可能的消费组合中进行比较和排序。例如，对于任何两个消费组合A和B，消费者要么偏好其中的A，要么偏好其中的B，要么觉得两者无差异。其中，无差异是指消费者从两个消费选择中获得相同的满足程度。（2）传递性（transitivity）：偏好是可以传递的，这意味着，如果消费者在消费组合A和B中更偏好A，在B和C中更偏好B，那么消费者在A和C中更偏好A。这一假定保证了消费者的种种偏好是一致的，因而也是理性的。（3）连续性（continuity）：如果消费者认为消费组合A优于B，那么接近 A的消费组合也一定优于接近B的消费组合。2效用及其表示方法（1）效用的含义效用是指消费者消费或拥有一定数量的某种商品时所获得的满足程度。一种商品给消费者所带来的效用不同于该商品的使用价值，它是消费者对所消费商品给予的主观评价，不同的消费者在相同的时间、地点消费相同数量的商品组合可以分别获得不同的效用，即使同一消费者在不同的时期、不同的地点消费同样数量的商品组合也可获得不同的满足程度。效用有总效用和边际效用之分。边际效用量的大小在消费者的消费决策中具有重要作用。（2）效用的函数表示效用函数效用函数的含义经济学家常用效用函数来说明个人偏好的次序，来表示消费者的效用。效用函数的一般形式为：其中，、分别代表了某一个时期消费的每一种商品的数量。其他事物表示消费者的福利还来自其他许多方面，假定不变。效用函数的单调变换与效用测度的不唯一性效用是用来表示个人的偏好，但个人偏好是心理的活动，因此效用的量在理论上、概念上和实际上是不可计量的，只能根据消费者的偏好程度将它们排列为第一、第二、第三等顺序，而不能用基数1、2、3来表示它们量的大小。因而用于测度消费者偏好关系的效用函数也不是唯一的，效用函数的绝对值是没有意义的，效用函数值的相对大小决定了消费者的排序关系。在用效用函数表示消费者的偏好时，效用函数的单调变化与原效用函数所代表偏好关系是相同的。所谓单调变换是指：当时，有，则称为原效用函数的单调变换。单调变换体现了效用测度的不唯一性，效用函数只是一种排序的工具，能够准确排序即可，其取值的绝对大小没有价值。（3）效用的图形表示无差异曲线无差异曲线的含义无差异曲线是用来表示消费者偏好相同的两种商品的不同数量的各种组合的一簇曲线。或者说，它是表示能给消费者带来同等效用水平或满足程度的两种商品的不同数量的各种组合。与无差异曲线相对应的效用函数为。其中，、分别为商品1和商品2的消费数量；是常数，表示某个效用水平。由于无差异曲线表示的是序数效用，所以，这里的只须表示某一个效用水平，而不在乎其具体数值的大小，有的经济学者称这种效用水平为效用指数。无差异曲线可以表示为图3-1。图3-1 无差异曲线无差异曲线的一般特点第一，由于通常假定效用函数的连续性，于是，在同一坐标平面上的任何两条无差异曲线之间，存在着无数条无差异曲线。或者说，可以有无数条无差异曲线覆盖整个坐标平面图。离原点越近的无差异曲线所代表的效用水平越低，离原点越远的无差异曲线所代表的效用水平越高。第二，在同一坐标平面上的任意两条无差异曲线不会相交。此结论证明如下：如图3-2所示，点和点在同一条无差异曲线上，说明，又点和点又在同一无差异曲线上，说明，根据偏好的传递性，应有。然而，由于点代表的两种物品消费量都大于点代表的两种物品消费量，根据偏好的非饱和性，有，这与相矛盾，从而说明在同一坐标平面上的任意两条无差异曲线不会相交。图3-2 相交的无差异曲线意味着偏好不一致第三，在正常情况下，无差异曲线总是凸向原点的。这一特点是由商品的边际替代率递减规律所决定的。无差异曲线的斜率与边际替代率边际替代率（）指在维持效用水平不变的前提下，消费者增加一单位某种商品的消费数量时所需放弃的另一种商品的消费数量。以代表商品的边际替代率，和分别是商品1和商品2的消费变化量，则商品1对商品2的边际替代率的公式为：当商品数量的变化趋于无穷小时，则商品的边际替代率公式为：显然，无差异曲线上某一点的边际替代率就是无差异曲线在该点的斜率的绝对值。在保持效用水平不变的前提下，消费者增加一种商品的数量所带来的效用增加量和相应减少的另一种商品数量所带来的效用减少量必定是相等的，即有：上式可以写为：这表明两种商品的边际替代率等于两种商品的边际效用之比。这一结论也可用如下方法证明：令效用函数为，两边全微分，得：由于是一个常数，所以，代入上式，有，所以：无差异曲线的凸性无差异曲线的凸性有很强的经济和几何含义。严格凸向原点的无差异曲线意味着边际替代率递减，也意味着人们需要消费的多元化，在大多数情况下，人们的消费行为都满足这一假设。它同时意味着无差异曲线的斜率的绝对值递减。（4）特定偏好的效用函数柯布-道格拉斯效用函数柯布-道格拉斯效用函数为，具有良好的性状，是经济分析中常用的一种效用函数，参数、反映了商品和对于个体的相对重要性。其边际替代率为：。特别地，当时，参数，分别反映了用于商品和的支出份额，即，。柯布-道格拉斯效用函数的无差异曲线如图3-3所示。图3-3 柯布-道格拉斯效用函数完全替代线性效用函数公式为，表示完全替代型偏好关系，即表示消费者愿意用单位的替代单位的。如果两种商品和之间可以按照固定的比例替代，就说商品是的完全替代品，如图3-4所示。特别地，当这个固定的替代比例是11时，消费者只关心消费的总数。图3-4 线性效用函数完全互补里昂惕夫效用函数公式为，表示完全互补型偏好关系。如果消费者始终以固定的比例一起消费两种商品，就说这两种商品是完全互补品，如图3-5所示。此时消费者关于这两种商品的无差异曲线呈L形，所有无差异曲线的拐点的连线是一条直线，而直线的斜率就表示两种商品的搭配比率，比如鞋和袜子这两种商品。对于里昂惕夫效用函数而言，有：，即：。图3-5 里昂惕夫效用函数CES效用函数CES效用函数：，又称不变替代弹性效用函数。当时，它是表示完全替代的线性效用函数；当时，它是柯布-道格拉斯效用函数；当时，它是表示完全互补的里昂惕夫效用函数。CES效用函数的无差异曲线如图3-6所示。图3-6 CES效用函数3.2课后习题详解1画出下列效用函数的无差异曲线，并判断它们是否是凸状的（即边际替代率是否随着的增加而递减）。（1）（2）（3）（4）（5）答：（1）无差异曲线如图3-7所示，为一组直线。边际替代率为：，为一常数，因而无差异曲线不是凸状的。图3-7 完全替代型的无差异曲线（2）无差异曲线如图3-8所示，为性状良好的无差异曲线。边际替代率为：，随着的递增，将递减，因而有凸的无差异曲线。图3-8 凸状的无差异曲线（3）无差异曲线如图3-9所示。边际替代率为：，因而边际替代率递减，无差异曲线是凸状的，此为拟线性偏好的效用函数。图3-9 拟线性型的无差异曲线（4）无差异曲线如图3-10所示。边际替代率为：，因而边际替代率递增，无差异曲线不是凸状的。图3-10 凹状的无差异曲线（5）无差异曲线如图3-11所示。边际替代率为：，因而边际替代率递减，无差异曲线是凸状的。图3-11 凸状的无差异曲线2在第3章的脚注7中，我们已经证明：为例使得一个关于两个商品的效用函数有严格递减的（即该函数严格拟凹），则如下的条件必须成立：利用该条件检验第1题中的每个效用函数相应的无差异曲线的凸性。描述此过程中你发现的任何捷径。答：在第1题中，由于所有的一阶偏导数都是正的，所以仅需要检验二阶偏导数。（1）因为，所以该效用函数不是严格拟凹的。（2）因为，所以该效用函数是严格拟凹的。（3）因为，所以该效用函数是严格拟凹的。（4）尽管仅考察时的情形，但是二阶偏导数的符号是不确定的，所以效用函数不一定是严格拟凹的。（5）因为，所以效用函数是严格拟凹的。3对于如下效用函数：（1）（2）（3）证明：尽管这些效用函数具有递减的，但是它们分别显示出边际效用不变、递增、递减。你能从中得出什么结论？证明：（1），；（2），；（3），。从以上分析可知，单调变化会影响递减的边际效用，但是不会影响边际替代率。4如图3-12所示，一种证明无差异曲线的凸性的方法是，对于特定无差异曲线上的任何两点（，）和（，），两点的中点相应的效用至少与一样大。利用此方法来讨论如下效用函数的无差异曲线的凸性。务必图示你的结论。图3-12 利用图形判断凸性答：（1）如果两个商品组合的数量相等，则有：如果两个商品组合的数量不同，不失一般性，可设：，因而有：从而可知无差异曲线如图3-13所示，是凸状的。图3-13 利用图形来判断无差异曲线的性状（2）由（1）可知，两个商品组合的数量相等，则有：如果两个商品组合的数量不同，不失一般性，可设：，因而有：，从而可知无差异曲线如图3-13所示，不是凸状的，而是凹状的。（3）在完全替代型的效用函数下，有：因而无差异曲线既不是凹状的，也不是凸状的，而是线性的。5Phillie Phanatic总是喜欢以一种特定的方式来吃Ballpark Franks牌的热狗：他将1英尺长的热狗，恰好配以半块小圆面包，1盎司芥末以及2盎司的咸菜调味品同时食用。他的效用是以上四种物品的函数，并且额外一种物品的数量增加而其他成分不变是不会增加他的效用的。（1）Phillie Phanatic对于这四种物品的效用函数的形式是什么？（2）我们可以如何将Phillie Phanatic的效用视为一种商品的函数来简化问题？这种商品是什么？（3）假设每英尺热狗的价格为1美元，小圆面包价格为0.5美元，每盎司芥末的价格为0.05美元，每盎司咸菜调味品的价格为0.15美元，则（2）问中定义的商品的价格是多少？（4）如果每英尺热狗的价格增加50%（即增至1.5美元），则该商品的价格增加的百分比是多少？（5）小圆面包的价格上涨50%将如何影响该商品的价格？你的答案与（4）问中有何不同？（6）如果政府对Phillie Phanatic购买的每单位商品征税1美元，则税收将如何在这四种商品中分担，从而使Phillie Phanatic的效用成本最小化？解：（1）如果代表热狗，代表小圆面包，代表芥末，代表调味品，则Phillie Phanatic的效用函数可以表示为：这是完全互补效用函数。（2）可以将Phillie Phanatic的效用视为一种商品的函数来简化问题，即将上述四种物品的组合视为是一种完全调配好的热狗。（3）该种商品的价格是：（美元）。（4）如果热狗的价格增至1.5美元，则该商品的价格为：（美元）因此，该种商品的价格上涨幅度为：。（5）如果小圆面包的价格增至（美元），则该种商品的价格为：（美元）因此，该种商品的价格上涨幅度为：。（6）提高价格以使完全调配好的热狗的价格增至2.6美元，从而在征税1美元的情况下，这将等价于购买力的总额减少。为使Phillie Phanatic的效用成本最小化，增收的1美元税收应该在各种商品之间按固定比例分担，即按进行分担。即对每英尺热狗征税0.22美元，每单位小圆面包征收0.44美元，每盎司芥末征收0.22美元，每盎司咸菜征收0.11美元，此时Phillie Phanatic的效用成本最小。6许多广告语似乎表明了人们的某些偏好。你将如何利用效用函数来描述下列广告语？（1）人造黄油与真黄油一样好。（2）饮可口可乐，万事如意。（3）你不能仅吃Pringle牌的薯条。（4）Krispy Kreme牌的油炸饼圈就是比Dunkin牌的好。（5）Miller Brewing建议我们“负责任地”喝（啤酒）。（什么是“不负责任地”喝酒呢？）答：（1）如果用代表人造黄油消费量，代表真黄油消费量，则效用函数可以表示为：这表示人造黄油和真黄油是完全替代品，它们之间的替代比率是11。（2）如果用代表其他商品的消费量，代表可口可乐的消费量，则效用函数可以表示为：，且满足：。例如效用函数就可以表示这种偏好。（3）如果用代表Pringle牌的薯条的消费量，代表其他商品的消费量，则效用函数可以表示为：，对于所有的以及成立。（4）如果用代表Krispy Kreme牌的油炸饼圈的消费量，代表Dunkin牌的油炸饼圈的消费量，代表其他商品的消费量，则效用函数可以表示为：，对于所有的成立。（5）如果用代表其他人的效用水平，代表其他商品的消费量，代表啤酒的消费量，则效用函数可以表示为：，且满足（这表示有利他偏好，说明他喝酒是负责任的），一个人喝酒会影响别人的效用水平。7假设某人起初拥有一定数量的两种商品，这两种商品都会给他（她）带来效用。两种商品的初始数量分别为：和。（1）在此人的无差异曲线图中画出初始的商品组合。（2）如果此人可以用与其他人交换（或用交换），则他（她）将自愿进行何种类型的交换？他（她）将不愿进行何种类型的交换？这些交换如何与此人在点（，）处的有关？（3）假设此人对其拥有的初始商品数量较为满意，并且仅考虑那些能使其效用增加的交换。你将在无差异曲线图中如何反映这一点？答：（1）此人无差异曲线如图3-14所示，它的初始商品拥有量为图中的点。图3-14 无差异曲线及交换活动对效用的影响（2）任何不同于在（，）处的的交易机会都有可能提高效用水平。如图3-14所示，代表了提高效用的交换。（3）对初始商品组合的偏好要求交换活动能够大幅度提高效用才能促使交换发生。因而交换活动只有在交换后的显著不同于在（，）处的时才更有可能发生，如图3-14所示。8柯布-道格拉斯效用函数的边际替代率为：（1）这个结果是否取决于？它与选择理论有无关系？（2）对于一组商品，其边际替代率如何取决于和？为什么时，？请图示你的直观解释。（3）与为给定的最低生活水平，假设某人的效用仅仅是由超过这一最低水平的与的数量来决定，在这种情况下，这是一个位似函数吗？答：（1）边际替代率为：这个结果与生产理论不同，不取决于的值。在消费理论中无关紧要，因为效用唯一取决于单调变换。（2）对于一组商品，边际替代率为：，如果，则消费者对的评价相对更高，从而。（3）该函数关于（）和（）是位似的，而关于和不是位似的。9如果效用函数满足：则称它的两种商品具有独立的边际效用。试证明当我们假定每一种商品的边际效用为递减时，具有独立边际效用的效用函数都会有递减的边际替代率。举例证明其逆命题是错的。证明：意味着只要，则递减。原命题得证。原命题的反命题是：如果具有独立边际效用的任一效用函数都会有递减的边际替代率，则每一种商品的边际效用是递减的。下面来证明此命题不一定成立。在两种消费商品的效用函数下，递减的边际替代率意味着下式成立：当时，上式变为。显然，这无法推出，的结论。10（1）证明：CES函数是位似函数。如何取决于？（2）证明：从（1）问中所得的结论与我们对（完全替代）和（柯布-道格拉斯）情形下的讨论相符。（3）证明：对于所有的，是严格递减的。（4）证明：如果，则这个函数的仅取决于和相对值的大小。（5）计算或情况下，当，时，这一函数的？当在附近变动时，它的变动程度如何？你如何从几何图形上给予解释？证明：（1）边际替代率为：因而该函数是位似的。又因为：，所以当时，即随着的递增，递减；当时，即随着的递增，递增；当时，即随着的递增，不变。（2）如果，为一常数；如果，这与第8题的结论相符。（3）对于所有的，有：，所以递减。（4）当时，所以仅取决于、相对值的大小。（5）当时，；当时，。因此，在时比在时变化得更快。越小，无差异曲线更为陡峭。特别地，当时，无差异曲线为表示固定比例偏好的L型。第4章效用最大化与选择4.1复习笔记1两种商品的情形：图形分析（1）预算约束假定某人有美元可用来购买商品与商品，设的价格为，的价格为，则消费者的预算约束为：。预算约束如图4-1所示，消费者只能购买三角形区域内（包括边界）的商品组合，如果美元全部用来购买，那么能够购买到单位的；同理，如果美元都用来购买，那么能够购买单位的。图4-1 两种商品条件下消费者的预算约束（2）最大化的一阶条件两种商品条件下，消费者效用最大化选择为：预算约束线与无差异曲线的切点，即预算约束线的斜率等于无差异曲线的斜率的点：为了获得最大效用，应当花费掉所有的收入，并且要等于商品的价格之比。如图4-2所示，在点，消费者并没有花费掉剩余的货币，所以不能达到最高点效用水平；在点，通过重新分配在两种商品上的货币支出，消费者可以达到比点更高的效用水平；在点，消费者在现有收入水平下并不能达到；只有在点可以取得最大的效用，此时既满足预算约束，又满足预算约束线的斜率等于无差异曲线的斜率。图4-2 效用最大化的几何解释（3）最大化的二阶条件无差异曲线与预算约束线相切的原则只是获得最大效用的必要条件，并不是充分条件。如果无差异曲线不满足边际替代率递减的假设，那么并非所有的切点都是能达到效用最大化的点。如图4-3所示，切点的商品组合的效用低于其他许多能用现有货币购买的商品组合的效用。为了保证效用最大化的必要条件（也即相切条件）同时也是充分条件，通常要假定边际替代率是递减的，也就是说，效用函数是严格拟凹的。图4-3 相切条件并不能保证最大效用的无差异曲线2种商品的情形（1）种商品最优选择的数学表述（2）拉格朗日方法求解及一阶条件设拉格朗日函数为：一阶条件为：从而可以化简为：上式表明：两种商品的边际效用之比与两种商品的价格之比相等。为了获得最大的效用，消费者必须使自己心理上的交易比例与市场上的交易比例相等，即市场上与的交换比例需等于消费者愿意用交换的比例。（3）角点解角点解的一个例子在某些情况下，消费者的偏好使其在不消费其中的某一种商品时才能达到最大效用。如图4-4所示，效用最大化的点是点，此时的消费量为0，并且预算线与无差异曲线并不是正好相切。在点，预算线比无差异曲线更平缓，这表明：市场上商品与的交换比率要比消费者心理上的替代率（）低。在现行的市场价格条件下，消费者更愿意不断地用来换取更多的。图4-4 效用最大化问题的角点解角点解的数学方法出现角点解时，如果拉格朗日函数一阶条件改为：如果则有：因此，当商品价格（）超过它为消费者带来的边际价值（）时，消费者对它的购买量将为零（）。3需求函数与间接效用函数（1）需求函数在消费者偏好既定且已知的条件下，消费者对商品的需求取决于商品的价格和收入。需求函数是指消费者对商品的需求量与价格和收入的数量关系，用公式表示即：（2）间接效用函数间接效用函数描述的是消费者的最大化效用与价格和收入的函数关系。因此控制消费者的消费行为实质上可以由控制价格与控制收入来实现：控制价格，实质就是价格政策或价格改革；控制收入，实质便是收入政策的内容。可见，间接效用函数有着明显的政策上的应用价值。间接效用函数可以表示为：（3）一次总付原则一次总付原则指的是对消费者的一般购买力征税，要比对特定的物品征税要好。一个与之类似的观点是，对低收入人群的收入补贴，要比花同样数目的钱去补贴某些特定商品更能增加效用。4支出最小化与支出函数（1）支出最小化问题的数学表达式一般地说，消费者对偶的支出最小化问题就是选择、，以取得下式的最小值：总支出约束条件为：在这个问题中，选择、的最优值取决于各种商品的价格（，）与所要求的效用水平，如果改变其中任意一种商品的价格，或者消费者的效用“目标”发生变化，最优的商品组合就会改变。（2）支出函数消费者的支出函数表明了在一组特定的商品价格条件下，要达到某一既定的效用水平所必需的最小支出，即：最小支出定义说明，支出函数与间接效用函数是互为反函数关系的。它们都取决于市场价格，但所受到的约束却不同（前者为收入，后者为效用）。（3）支出函数的性质齐次性：如果所有商品的价格都加倍，则所需的支出也加倍。支出函数关于价格单调不降：用数学表达式简明地表示如下：支出函数关于价格为凹函数。4.2课后习题详解1三年级学生保罗每天在校用餐，它只喜欢Twinkie（）和苏打水（），他从中得到的效用为：。（1）如果每份Twinkie为0.1美元，苏打水每瓶为0.25美元，为了使效用最大化，保罗应该如何将妈妈给他的1美元伙食费分配在这两种食物上？（2）学校为了减少Twinkie的消费，将其价格提高到每份0.4美元，那么为了让保罗得到与（1）中相同的效用，妈妈现在要给他多少伙食费？解：（1）对效用函数进行单调变换，令，这并不改变偏好次序。保罗效用最大化问题为：设拉格朗日函数为：一阶条件为：解得：，。因此，他所获得的效用：。（2）消费品Twinkie价格提高了，但效用水平却保持不变，则保罗面临如下的支出最小化问题：设拉格朗日函数为：一阶条件为： （1） （2） （3）由上述三式解得，则最小支出为：，所以妈妈现在要给他2美元伙食费使他的效用水平保持不变。2（1）一位年轻的品酒师欲支出300美元建一小酒窖，他特别喜欢两种酒：一种是1997年生产的昂贵的法国波尔多白葡萄酒（），每瓶价格为20美元；另一种是稍微便宜的2002年产的加利福利亚葡萄酒（），每瓶4美元。如果他的效用函数如下式所示，则他将在每种酒上花多少钱？（2）当他来到酒店时，我们年轻的品酒师发现由于法郎贬值，1997年产的法国波多尔白葡萄酒（）已经降到每瓶10美元。如果加利福尼亚葡萄酒依然是每瓶4美元，此时，在价格已变的情况下，为了实现最大效用，他每种酒的购买量应该是多少？（3）请解释为什么该品酒师在（2）中比（1）中的状况要好。你如何用货币值来衡量效用的增加？解：（1）该品酒师的效用最大化问题为：设拉格朗日函数为：一阶条件为：从而可以解得：，。因此为使效用最大化，该品酒师应该在法国白葡萄酒上花200美元，在加利福利亚葡萄酒上花100美元。（2）当法国波多尔白葡萄酒价格下降时，品酒师的效用最大化问题变为：设拉格朗日函数为：一阶条件为：解得：，。故价格变化后，为实现最大效用，品酒师应购买法国白葡萄酒20瓶，购买加利福尼亚葡萄酒25瓶。（3）在（1）中，品酒师的效用为：；在（2）中，品酒师的效用为：。因而为了实现（2）中的效用水平，此人需要更多的收入。根据柯布-道格拉斯效用函数的性质可知，品酒师对两种葡萄酒的需求函数分别为：代入效用函数可得他的间接效用函数为：。现在有，从而可以解得收入为：。在此收入下，该品酒师者将购买的商品数量为：，获得的效用为。3（1）在某一个晚上，J.P.以下列函数的形式享用雪茄（）和白兰地（）：那么他这天晚上要抽多少支雪茄，喝多少瓶白兰地酒才能得到最大效用？（假定他不受预算约束）（2）后来，J.P.的医生告诫他：每天喝的白兰地与抽的雪茄加起来不能超出5单位。在这一条件下，他会喝多少白兰地，抽多少雪茄？解：（1）在无约束下，J.P.的效用最大化问题为：效用最大化的一阶条件为：解得，。从而可知J.P.所获得的最大效用为：。（2）J.P.所受的约束为：，此时他的效用最大化问题为：设拉格朗日函数为：一阶条件为：从而可以解得：，。4（1）奥德鲍尔先生享用商品和所得的效用函数为：如果美元，美元，而他的总收入为50美元，求他所能得的最大效用？提示：求的最大值要比求的最大值方便得多，但这种方法为什么不影响计算结果呢？（2）画出奥德鲍尔的无差异曲线，并做出无差异曲线与预算线的切点，曲线图是如何描述奥德鲍尔的行为的？你能找到真正的最大值吗？解：（1）因为可由经过单调变换得到，所以，最大化同时也就使最大化。因此，奥德鲍尔的效用最大化问题可以表述为：最优化问题的拉格朗日函数为：一阶条件为：从而可以解得：，。（2）奥德鲍尔的无差异曲线如图4-5所示，显然该无差异曲线没有递减的。无差异曲线与预算线的切点如图4-5中的点所示。在点处，仅满足效用最大化的必要条件，但是不满足充分条件，因而点不是一个局部最优点，效用最大化的点应该是点，奥德鲍尔将其所有的收入用于购买，而商品的购买量为零。在这里，他的效用函数不是凸的，而是凹的。在偏好为凹的情况下，效用最大化点一定在边界上取得。图4-5 奥德鲍尔的无差异曲线图5A先生从马丁尼酒（）中所得的效用与马丁尼酒的消耗量成正比：。A先生特别喜欢他的马丁尼，但他只喜欢喝将杜松子酒（）与苦艾酒（）按21的固定比例混合而成的马丁尼酒，因此，我们可以将A先生的效用函数改写为：（1）画出A先生以与为变量的各种效用水平的无差异曲线，请说明无论这两种配料酒的价格如何，A先生永远不会改变他配制马丁尼酒的方法。（2）求出对与的需求函数。（3）利用（2）的结论，求出A先生的间接效用函数。（4）试计算A先生的支出函数；对于每一种效用水平，将支出表示成和的函数。解：（1）A先生的无差异曲线如图4-6所示。无论商品与的相对价格（即预算线的斜率）如何，效用最大化的点始终是无差异曲线的折点，即满足也即的点。图4-6 A先生的无差异曲线（2）将代入预算约束可得：从而可以解得：，。（3）因为，将或代入效用函数中，得间接效用函数为。（4）利用对偶性可得，支出函数为：6假设一位快餐食品爱好者从以下三种商品中获得效用：软饮料（），汉堡包（）和圣代冰淇淋（），他的效用函数为柯布道格拉斯型的，即：同时假设三种商品的价格分别为：，该消费者的收入为