九年级数学相似三角形的判定(学生版)知识点+例题

让更多的孩子得到更好的教育 相似三角形的判定【学习目标】1、了解相似三角形的概念， 掌握相似三角形的表示方法及判定方法；2、进一步探索相似三角形的判定及其应用，提高运用“类比”思想的自觉性，提高推理能力.【要点梳理】要点一、相似三角形在和中，如果我们就说与相似，记作.k就是它们的相似比，“”读作“相似于”.要点诠释：(1)书写两个三角形相似时，要注意对应点的位置要一致，即，则说明点A的对应点是A，点B的对应点是B，点C的对应点是C；(2)对于相似比，要注意顺序和对应的问题，如果两个三角形相似，那么第一个三角形的一边和第二个三角形的对应边的比叫做第一个三角形和第二个三角形的相似比.当相似比为1时，两个三角形全等.要点二、相似三角形的判定定理1判定方法（一）：平行于三角形一边的直线和其他两边相交，所构成的三角形和原三角形相似.2判定方法（二）：如果两个三角形的三组对应边的比相等，那么这两个三角形相似.3判定方法（三）：如果两个三角形的两组对应边的比相等，并且相应的夹角相等，那么这两个三角形相似.要点诠释：此方法要求用三角形的两边及其夹角来判定两个三角形相似，应用时必须注意这个角必需是两边的夹角，否则，判断的结果可能是错误的. 4判定方法（四）：如果一个三角形的两个角与另一个三角形的两个角对应相等，那么这两个三角形相似.要点诠释：要判定两个三角形是否相似，只需找到这两个三角形的两个对应角相等即可，对于直角三角形而言，若有一个锐角对应相等，那么这两个三角形相似.要点三、相似三角形的常见图形及其变换：【典型例题】类型一、相似三角形1. 下列能够相似的一组三角形为( ).A.所有的直角三角形 B.所有的等腰三角形C.所有的等腰直角三角形 D.所有的一边和这边上的高相等的三角形举一反三：下列图形中，必是相似形的是（ ）A都有一个角是40的两个等腰三角形 B都有一个角为50的两个等腰梯形C都有一个角是30的两个菱形 D邻边之比为2：3的两个平行四边形类型二、相似三角形的判定2. 如图所示，已知中，E为AB延长线上的一点，AB=3BE，DE与BC相交于F，请找出图中各对相似三角形，并求出相应的相似比. 3. 梯形ABCD中，ABCD，AB=2CD，E、F分别为AB、BC的中点，EF与BD交于M（1）求证：EDMFBM；（2）若DB=9，求MB的长4. 已知：如图，ABC中，ABAC，AD是中线，P是AD上一点，过C作CFAB，延长BP交AC于E，交CF于F求证：BP2PEPF 举一反三：1、如图，AD、CE是ABC的高，AD和CE相交于点F，求证：AFFD=CFFE2、如图，F是ABC的AC边上一点，D为CB延长线一点，且AF=BD,连接DF,交AB于E. 求证：.3、已知：如图正方形ABCD中，P是BC上的点，且BP=3PC，Q是CD的中点求证：ADQQCP4、如图，弦和弦相交于内一点，求证：.4、如图，小正方形边长均为1，则图中的三角形（阴影部分）与相似的是哪一个？ 图（1） 图（2） 图（3） 图（4）5、 如图，正方形ABCD和等腰Rt，其中，G是CD与EF的交点（1）求证：（2）若，求的值【巩固练习一】一、选择题1. 下列判断中正确的是( ).A.全等三角形不一定是相似三角形 B.不全等的三角形一定不是相似三角形C.不相似的三角形一定不全等 D.相似三角形一定不是全等三角形2已知ABC的三边长分别为、 2, ABC的两边长分别是1和, 如果ABC与ABC 相似, 那么ABC 的第三边长应该是 ( ).A. B. C.D.3如图，在大小为44的正方形网格中，是相似三角形的是（ ） A和B和 C和D和4.在ABC和DEF中，A=35，B=100，D=35，F=45；AB=3cm，BC=5cm，B=50，DE=6cm，DF=10cm，D=50；其中能使ABC与以D、E、F为顶点的三角形相似的条件( ).A.只有 B.只有 C.和分别都是 D.和都不是5在矩形ABCD中，E、F分别是CD、BC上的点，若AEF90，则一定有（ ）. AADEAEFBECFAEFCADEECFDAEFABF6. 如图所示在平行四边形ABCD中，EFAB，DE：EA=2：3，EF=4，则CD的长为( ). A.B.8 C.10 D.16二、填空题7.如图所示，D、E两点分别在AB、AC上，且DE和BC不平行，请你填上一个你认为合适的条件_使ADEACB.8如图所示，C=E=90，AD=10，DE=8，AB=5，则AC=_.9.如图所示，在直角坐标系中有两点A(4，0)，B(0，2)，如果点C在x轴上(C与A不重合)，当点C的坐标为_或_时，使得由点B、O、C组成的三角形与AOB相似(至少找出两个满足条件的点的坐标).10.如图，已知ABBD，EDBD，C是线段BD的中点，且ACCE，ED=1，BD=4，那么AB=_.11.如图，CDAB，AC、BD相交于点O,点E、F分别在AC、BD上，且EFAB,则图中与OEF相似的三角形为_.12如图，点E是平行四边形ABCD的边BC延长线上一点，连接AE交CD于点F,则图中相似三角形共有_对.三解答题13. 如图，在ABC中，DEBC，AD3，AE2，BD4，求的值及AC、EC的长度14. 如图在梯形ABCD中，ADBC，A90，且，求证：BDCD15. 已知在RtABC中，C=90，AB=10，BC=6.在RtEDF中，F=90，DF=3，EF=4，则ABC和EDF相似吗？为什么？【巩固练习二】一、选择题1. 已知A1B1C1与A2B2C2的相似比为4：3，A2B2C2与A3B3C3的相似比为4：5，则A1B1C1与A3B3C3的相似比为( ).A.16：15 B.15：16 C.3：5 D.16：15或15：162如图，P是RtABC的斜边BC上异于B、C的一点，过点P做直线截ABC，使截得的三角形与ABC相似，满足这样条件的直线共有（ ）.A1条 B2条C3条 D4条 3.如图，在ABC中，M是AC边中点，E是AB上一点，且AE=AB，连结EM并延长，交BC的延长线于D，此时BC：CD为( ) .A. 2：1 B. 3：2 C. 3：1 D. 5：24. 如图，在平行四边形ABCD中，E是AD上的一点，连接CE并延长交BA的延长线于点F，则下列结论中错误的是（ ）. AAEFDEC BFACDAEBC CFAABFEEC DABDC5如图，在RtABC中，C90，CDAB，垂足为D，则图中相似三角形有（ ）A4对 B3对 C2对 D1对6. 如图，ABCD是正方形，E是CD的中点，P是BC边上的一点，下列条件中，不能推出ABP与ECP相似的是( ) .A.APB=EPCB.APE=90 C.P是BC的中点 D.BP：BC=2：3二、填空题7.如图, 1=2=3, 则图中与CDE相似三角形是_和_.8. 如图，P为线段AB上一点，AD与BC交于E，CPDAB，BC交PD于F，AD交PC于G，则图中相似三角形有_对.9.如图，是正方形ABCD的外接圆，点F是AB的中点，CF的延长线交于点E,则CF:EF的值是_.10.如图，点M在BC上，点N在AM上，CM=CN,则ABMACB,ANCAMB,ANCACM,CMNBCA中正确的有_.11.如图，在平行四边形ABCD中，M,N为AB的三等分点，DM,DN分别交AC于P,Q两点，则AP：PQ:QC=_.12.如图，正方形ABCD的边长为2，AE=EB,MN=1.线段MN的两端在CB,CD边上滑动，当CM=_时，AED与以M、N、C为顶点的三角形相似.三、解答题13. 如图，和都是等边三角形，且B、C、D共线，BE分别和AC、AD相交于点M、G，CE和AD相交于点N求证：（1）CG平分 （2）14. 如图，ABC是等边三角形，点D、E分别在BC、AC上，且BDCE，AD与BE相交于点F（1）试说明ABDBCE；（2）EAF与EBA相似吗？说说你的理由15.已知点P在线段AB上，点O在线段AB的延