2017-2018学年广东省汕头市高三(上)期末数学试卷(文科)

2017-2018学年广东省汕头市高三（上）期末数学试卷（文科）一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的1（5分）已知集合A=x|x22x，B=x|1x2，则（）AAB=BAB=RCBADAB2（5分）已知复数z=，则（）A|z|=2B=1iCz的实部为iDz+1为纯虚数3（5分）在ABC中，内角A，B，C所对的边分别是a，b，c，已知b=2a，A=2B，则cosB=（）ABCD4（5分）已知向量=（2，4），=（1，1），=t若，则实数t=（）A1B1CD25（5分）袋中装有大小相同且编号分别为1，2，3，4的四个小球，甲从袋中摸出一个小球，其号码记为a，放回后，乙从此袋中再摸出一个小球，其号码记为b，则由a、b组成的两位数中被6整除的概率为（）ABCD6（5分）如图，在三棱锥ABCD中，ACAB，BCBD，平面ABC平面BCDACCDADBC平面ABC平面ABD平面ACD平面ABD以上结论正确的个数有（）A1B2C4D57（5分）执行下面的程序框图，如果输入的a=6，b=8，则输出的n=（）A2B3C4D58（5分）如图所示是一个几何体的三视图，则这个几何体外接球的体积为（） ABC32D9（5分）若函数f（x）=sin（2x+）+cos（2x+）（0）的图象经过点（，0），则（）Af（x）在（0，）上单调递减Bf（x）在（，）上单调递减Cf（x）在（0，）上单调递增Df（x）在（，）上单调递增10（5分）某学校运动会的立定跳远和30秒跳绳两个单项比赛分成预赛和决赛两个阶段下表为10名学生的预赛成绩，其中有三个数据模糊学生序号12345678910立定跳远（单位：米）1.961.921.821.801.781.761.741.721.681.6030秒跳绳（单位：次）63a7560637270a1b65在这10名学生中，进入立定跳远决赛的有8人，同时进入立定跳远决赛和30秒跳绳决赛的有6人，则（）A2号学生进入30秒跳绳决赛B5号学生进入30秒跳绳决赛C8号学生进入30秒跳绳决赛D9号学生进入30秒跳绳决赛11（5分）设f（x）=ln（2+x）ln（2x），则f（x）是（）A奇函数，且在（2，0）上是减函数B奇函数，且在（2，0）上是增函数C有零点，且在（2，0）上是减函数D没有零点，且是奇函数12（5分）已知函数f（x）=mx（e为自然对数的底数），若f（x）0在（0，+）上恒成立，则实数m的取值范围是（）A（，2）B（，）C（，e）D（，+）二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分13（5分）已知实数x，y满足，则目标函数z=2yx的最小值为 14（5分）已知sin3cos=，则tan（）= 15（5分）已知f（x）为偶函数，当x0 时，f（x）=ex+1+x+1，则曲线y=f（x）在（1，1）处的切线方程为 16（5分）已知f（x）=（aR），则f（3）+f（2）+f（1）+f（1）+f（2）+f（3）= 三、解答题：共70分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤第1721题为必考题，每个试题考生都必须作答第22、23题为选考题，考生根据要求作答（一）必考题：共60分17（12分）已知数列an的前n项和为Sn，且满足Sn=2ann（1）求证an+1为等比数列；（2）求数列Sn的前n项和Tn18（12分）某大型企业为鼓励员工多利用网络进行营销，准备为员工办理手机流量套餐为了解员工手机流量使用情况，通过抽样，得到100位员工每人手机月平均使用流量L（单位：M）的数据，其频率分布直方图如图：将频率视为概率，回答以下问题：（1）求出a的值，并计算这100位员工每月手机使用流量的平均值；（2）据了解，某网络营运商推出两款流量套餐，详情如下：套餐名称月套餐费（单位：元）月套餐流量（单位：M）A20700B301000流量套餐的规则是：每月1日收取套餐费如果手机实际使用流量超出套餐流量，则需要购买流量叠加包，每一个叠加包（包含200M的流量）需要10元，可以多次购买；如果当月流量有剩余，将会被清零该企业准备订购其中一款流量套餐，每月为员工支付套餐费，以及购买流量叠加包所需费用若以平均费用为决策依据，该企业订购哪一款套餐最经济？19（12分）如图，三棱柱ABCA1B1C1中，侧面BB1C1C是菱形，其对角线的交点为O，且AB=AC1，ABB1C（1）求证：AO平面BB1C1C；（2）设B1BC=B1AC=60，若三棱锥ABCC1的体积为1，求点C1到平面ABB1的距离20（12分）已知圆C的圆心C在直线y=x1，且圆C经过曲线y=x2+6x8与x轴的交点（1）求圆C的方程；（2）已知过坐标原点O的直线l与圆C交M，N两点，若=2，求直线l的方程21（12分）已知函数f（x）=2ex+ax（1）求f（x）的单调区间；（2）讨论f（x）在（0，+）上的零点个数（二）选考题：共10分请考生在第22、23题中任选一题作答如果多做，则按所做的第一题记分选修4-4：坐标系与参数方程22（10分）在直角坐标系xOy中，以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C1的极坐标方程为=4cos，直线l的极坐标方程为cos（+）=2，两条曲线交于A，B两点（1）求A，B两点的极坐标；（2）P为曲线C2：（为参数）上的动点，求PAB的面积的最小值选修4-5：不等式选讲23已知函数f（x）=|2xa|+|x+|（1）当a=2时，解不等式f（x）1；（2）求函数g（x）=f（x）+f（x）的最小值2017-2018学年广东省汕头市高三（上）期末数学试卷（文科）参考答案与试题解析一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的1（5分）已知集合A=x|x22x，B=x|1x2，则（）AAB=BAB=RCBADAB【分析】求出集合A的等价条件，结合集合的基本运算进行判断即可【解答】解：A=x|x22x=x|x2或x0，B=x|1x2，AB=R，故选：B【点评】本题主要考查集合的基本运算，比较基础2（5分）已知复数z=，则（）A|z|=2B=1iCz的实部为iDz+1为纯虚数【分析】利用复数代数形式的乘除运算化简，然后逐一核对四个选项得答案【解答】解：z=，则|z|=，z的实部为1，z+1是纯虚数故选：D【点评】本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数的基本概念，是基础题3（5分）在ABC中，内角A，B，C所对的边分别是a，b，c，已知b=2a，A=2B，则cosB=（）ABCD【分析】直接利用三角形内角和定理和余弦定理求出结果【解答】解：已知：A=2B，A+B+C=则：B=C，所以：b=c=2a则：=故选：C【点评】本题考查的知识要点：三角形内角和定理的应用，余弦定理的应用4（5分）已知向量=（2，4），=（1，1），=t若，则实数t=（）A1B1CD2【分析】根据题意，由向量的坐标计算公式可得=t的坐标，由向量垂直与向量数量积的关系，分析可得=（2+t）+（4t）=22t=0，解可得t的值，即可得答案【解答】解：根据题意，向量=（2，4），=（1，1），则=t=（2+t，4t），若，则=（2+t）+（4t）=22t=0，解可得t=1；故选：B【点评】本题考查向量数量积的坐标计算，关键是掌握向量数量积的坐标计算公式5（5分）袋中装有大小相同且编号分别为1，2，3，4的四个小球，甲从袋中摸出一个小球，其号码记为a，放回后，乙从此袋中再摸出一个小球，其号码记为b，则由a、b组成的两位数中被6整除的概率为（）ABCD【分析】基本事件总数n=44=16，利用列举求出由a、b组成的两位数中被6整除包含的基本事件（a，b）有3个，由此能求出由a、b组成的两位数中被6整除的概率【解答】解：袋中装有大小相同且编号分别为1，2，3，4的四个小球，甲从袋中摸出一个小球，其号码记为a，放回后，乙从此袋中再摸出一个小球，其号码记为b，基本事件总数n=44=16，由a、b组成的两位数中被6整除包含的基本事件（a，b）有：（1，2），（2，4），（4，2），共3个，由a、b组成的两位数中被6整除的概率为p=故选：B【点评】本题考查概率的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意古典概型、列举法的合理运用6（5分）如图，在三棱锥ABCD中，ACAB，BCBD，平面ABC平面BCDACCDADBC平面ABC平面ABD平面ACD平面ABD以上结论正确的个数有（）A1B2C4D5【分析】利用线面垂直的判定与性质逐一分析四个命题得答案【解答】解：对于，BCBD，平面ABC平面BCD，且平面ABC平面BCD=BC，BD平面ABC，则BDAC，若ACCD，则AC平面BCD，ACBC，与ACAB矛盾，故AC与CD不垂直，故错误；对于，若ADBC，又BDBC，则BC平面ABD，ABAC，与ACAB矛盾，故AD与BC不垂直，故错误；对于，由知BD平面ABC，而BD平面ABD，平面ABC平面ABD，故正确；对于，由知，ACBD，又ACAB，ABBD=B，AC平面ABD，而AC平面ACD，平面ACD平面ABD，故正确正确结论的个数是2个，故选：B【点评】本题考查棱锥的结构特征，考查空间中直线与平面位置关系的应用，考查空间想象能力与思维能力，属中档题7（5分）执行下面的程序框图，如果输入的a=6，b=8，则输出的n=（）A2B3C4D5【分析】由已知中的程序框图可知：该程序的功能是利用循环结构计算并输出变量n的值，模拟程序的运行过程，可得答案【解答】解：第一次执行循环体后：a=2，b=6，a=8，S=8，n=1，不满足退出循环的条件；第二次执行循环体后：a=2，b=8，a=6，S=14，n=2，不满足退出循环的条件；第三次执行循环体后：a=2，b=6，a=8，S=22，n=3，满足退出循环的条件；故输出的n值为3，故选：B【点评】本题考查的知识点是程序框图，当循环的次数不多，或有规律时，常采用模拟循环的方法解答8（5分）如图所示是一个几何体的三视图，则这个几何体外接球的体积为（） ABC32D【分析】通过三视图，判断几何体的形状，该几何体为四棱锥PABCD，侧面PAB底面ABCD，底面ABCD是正方形，其对角线ACBD=O，取AB的中点E，OEAB，OE侧面PAB，PE=2，AB=4则点O为其外接球的球心，半径R=2即可得出【解答】解：如图所示，该几何体为四棱锥PABCD，侧面PAB底面ABCD，底面ABCD是正方形，其对角线ACBD=O，取AB的中点E，OEAB，OE侧面PAB，PE=2，AB=4则点O为其外接球的球心，半径R=2这个几何体外接球的体积V=（2）3=故选：D【点评】本题考查四棱锥的三视图、球的体积计算公式，了考查了推理能力与计算能力，属于中档题9（5分）若函数f（x）=sin（2x+）+cos（2x+）（0）的图象经过点（，0），则（）Af（x）在（0，）上单调递减Bf（x）在（，）上单调递减Cf（x）在（0，）上单调递增Df（x）在（，）上单调递增【分析】利用三角恒等变换化简函数的解析式，再利用正弦函数的单调性，得出结论【解答】解：函数f（x）=sin（2x+）+cos（2x+）=2sin（2x+） （0）的图象经过点（，0），2sin（+）=0，sin（+）=0，+=k，kZ，=，f（x）=2sin（2x+）=2sin2x在（0，）上，2x（0，），f（x）=2sin2x没有单调性，故排除A、C；在（，）上，2x（，），f（x）=2sin2x单调递增，故排除B，故选：D【点评】本题主要考查三角恒等变换，正弦函数的单调性，属于基础题10（5分）某学校运动会的立定跳远和30秒跳绳两个单项比赛分成预赛和决赛两个阶段下表为10名学生的预赛成绩，其中有三个数据模糊学生序号12345678910立定跳远（单位：米）1.961.921.821.801.781.761.741.721.681.6030秒跳绳（单位：次）63a7560637270a1b65在这10名学生中，进入立定跳远决赛的有8人，同时进入立定跳远决赛和30秒跳绳决赛的有6人，则（）A2号学生进入30秒跳绳决赛B5号学生进入30秒跳绳决赛C8号学生进入30秒跳绳决赛D9号学生进入30秒跳绳决赛【分析】根据题意这10名学生中，进入立定跳远决赛的有8人，同时进入立定跳远决赛和30秒跳绳决赛的有6人，逐一分析选项中的命题，利用排除法即可得出正确的结论【解答】解：这10名学生中，进入立定跳远决赛的有8人，取前8名的成绩，是编号为1，2，3，4，5，6，7，8的学生进入立定跳远决赛；又同时进入立定跳远决赛和30秒跳绳决赛的有6人，所以当a59时，1，3，4，5，6，7号同学进入30秒跳绳决赛，由此排除掉A、C；同理9号同学不一定能进入30秒跳绳决赛故选：B【点评】本题考查了推理与证明的应用问题，正确利用已知条件得到合理的结论，是解题的关键11（5分）设f（x）=ln（2+x）ln（2x），则f（x）是（）A奇函数，且在（2，0）上是减函数B奇函数，且在（2，0）上是增函数C有零点，且在（2，0）上是减函数D没有零点，且是奇函数【分析】求出函数的定义域，根据函数的奇偶性的定义判断函数的奇偶性，根据复合函数的单调性求出函数f（x）的单调性即可【解答】解：要使函数f（x）=ln（2+x）ln（2x）有意义，必须满足不等式组，解得2x2；所以函数定义域为（2，2），故函数定义域关于原点对称，f（x）=ln（2x）ln（2+x）=ln（2+x）ln（2x）=f（x），函数y=f（x）是奇函数，由y=ln（2+x）递增，y=ln（2x）递增，故f（x）在（2，0）递增，故选：B【点评】本题考查了函数的奇偶性和函数的单调性问题，是一道基础题12（5分）已知函数f（x）=mx（e为自然对数的底数），若f（x）0在（0，+）上恒成立，则实数m的取值范围是（）A（，2）B（，）C（，e）D（，+）【分析】问题转化为m在（0，+）恒成立，令h（x）=，（x0），根据函数的单调性求出m的范围即可【解答】解：若f（x）0在（0，+）上恒成立，则m在（0，+）恒成立，令h（x）=，（x0），h（x）=，令h（x）0，解得：x2，令h（x）0，解得：0x2，故h（x）在（0，2）递减，在（2，+）递增，故h（x）min=h（2）=，故m，故选：B【点评】本题考查了函数的单调性、最值问题，考查导数的应用以及函数恒成立问题，是一道中档题二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分13（5分）已知实数x，y满足，则目标函数z=2yx的最小值为1【分析】由约束条件作出可行域，化目标函数为直线方程的斜截式，数形结合得到最优解，联立方程组求得最优解的坐标，代入目标函数得答案【解答】解：由约束条件作出可行域如图，A（1，0），化z=2yx为y=，由图可知，当直线y=过A时，直线在y轴上的截距最小，z有最小值为1故答案为：1【点评】本题考查简单的线性规划，考查数形结合的解题思想方法，是中档题14（5分）已知sin3cos=，则tan（）=2【分析】把已知等式两边平方，结合平方关系可得tan的值，然后把要求解的式子展开两角差的正切得答案【解答】解：由sin3cos=，两边平方得：sin26sincos+9cos2=10，结合sin2+cos2=1可得：sin26sincos+9cos2=10（sin2+cos2）9sin2+6sincos+cos2=0（3sin+cos）2=03sin+cos=0可得tan=tan（）=故答案为：2【点评】本题考查同角三角函数基本关系式的应用，考查两角差的正切，是基础的计算题15（5分）已知f（x）为偶函数，当x0 时，f（x）=ex+1+x+1，则曲线y=f（x）在（1，1）处的切线方程为2x+y3=0【分析】由已知求出x0时的函数解析式，然后求其导函数，得到f（1），即曲线y=f（x）在（1，1）处的切线的斜率，代入直线方程点斜式得答案【解答】解：设x0，则x0，又f（x）为偶函数，且当x0 时，f（x）=ex+1+x+1，则f（x）=f（x）=ex+1x+1f（x）=ex+11，f（1）=2，曲线y=f（x）在（1，1）处的切线方程为y1=2（x1），即2x+y3=0故答案为：2x+y3=0【点评】本题考查函数解析式的求解及常用方法，训练了利用导数求过曲线上某点处的切线方程，是中档题16（5分）已知f（x）=（aR），则f（3）+f（2）+f（1）+f（1）+f（2）+f（3）=6【分析】由已知可得f（x）+f（x）=2，进而得到答案【解答】解：f（x）=+1，则f（x）+f（x）=2，故f（3）+f（2）+f（1）+f（1）+f（2）+f（3）=6，故答案为：6【点评】本题考查的知识点是函数求值，根据已知分析出f（x）+f（x）=2，是解答的关键三、解答题：共70分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤第1721题为必考题，每个试题考生都必须作答第22、23题为选考题，考生根据要求作答（一）必考题：共60分17（12分）已知数列an的前n项和为Sn，且满足Sn=2ann（1）求证an+1为等比数列；（2）求数列Sn的前n项和Tn【分析】（1）因为Sn=2ann所以当n=1时，a1=S1=2a11，解得a1当n2时，Sn=2ann，Sn1=2an1（n1），相减化简即可证明（2）由（1）知an+1=2n，可得an=2n1Sn=2（2n1）n=2n+1n2，利用求和公式即可得出【解答】（1）证明：因为Sn=2ann所以当n=1时，a1=S1=2a11，即a1=1当n2时，Sn=2ann，Sn1=2an1（n1），得：an=2an2an11，即an+1=2（an1+1），又a1+1=2，所以an+1为以2为首项以2为公比的等比数列（2）解：由（1）知an+1=2n所以an=2n1所以Sn=2（2n1）n=2n+1n2，所以Tn=2n+24【点评】本题考查了等差数列与等比数列的通项公式与求和公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题18（12分）某大型企业为鼓励员工多利用网络进行营销，准备为员工办理手机流量套餐为了解员工手机流量使用情况，通过抽样，得到100位员工每人手机月平均使用流量L（单位：M）的数据，其频率分布直方图如图：将频率视为概率，回答以下问题：（1）求出a的值，并计算这100位员工每月手机使用流量的平均值；（2）据了解，某网络营运商推出两款流量套餐，详情如下：套餐名称月套餐费（单位：元）月套餐流量（单位：M）A20700B301000流量套餐的规则是：每月1日收取套餐费如果手机实际使用流量超出套餐流量，则需要购买流量叠加包，每一个叠加包（包含200M的流量）需要10元，可以多次购买；如果当月流量有剩余，将会被清零该企业准备订购其中一款流量套餐，每月为员工支付套餐费，以及购买流量叠加包所需费用若以平均费用为决策依据，该企业订购哪一款套餐最经济？【分析】（1）根据频率分布直方图即可求出a的值，再根据平均数的定即可求出，（2）分别计算出订购A套餐和订购B套餐的平均费用，比较即可【解答】解：（1）依题意得：100（0.0008+a+0.0025+0.0035+0.0008+0.0002）=1，解得：a=0.0022，这100位员工每月手机使用流量的平均值为：=0.08550+0.22650+0.25750+0.35850+0.08950+0.021050=769（M）（2）若订购A套餐则这100位员工每月手机使用流量的平均费用为：20（0.08+0.22）+30（0.25+0.35）+40（0.08+0.02）=28（元），若订购B套餐则这100位员工每月手机使用流量的平均费用为：30（0.08+0.22+0.25+0.35+0.08）+0.0240=30.2（元），2830.2，该企业订购A套餐更经济【点评】本题考查频率分布直方图，考查抽象概括能力、数据处理能力、运算求解能力，考查应用意识、创新意识，考查统计与概率思想、分类与整合思想，是中档题19（12分）如图，三棱柱ABCA1B1C1中，侧面BB1C1C是菱形，其对角线的交点为O，且AB=AC1，ABB1C（1）求证：AO平面BB1C1C；（2）设B1BC=B1AC=60，若三棱锥ABCC1的体积为1，求点C1到平面ABB1的距离【分析】（1）推导出B1CBC1，ABB1C，从而B1C平面ABC1，进而B1CAO，再求出AOBC1，由此能证明AO平面BB1C1C（2）设菱形BB1C1C的边长为x，则B1C=x，AOB1C，AC=AB1=B1C=x，=1，从而x=2，设点C1到平面ABB1的距离为h，由=1，能求出点C1到平面ABB1的距离【解答】证明：（1）四边形BB1C1C是菱形，B1CBC1，（1分）ABB1C，ABBC1=B，（2分）B1C平面ABC1，B1CAO，（3分）AB=AC1，O是BC1的中点，AOBC1，（4分）B1CBC1=O，AO平面BB1C1C（5分）解：（2）设菱形BB1C1C的边长为x，由四边形BB1C1C是菱形，B1BC=60，得BB1C是等边三角形，则B1C=x，（6分）由（1）知AOB1C，又O是B1C的中点，AB1=AC，又B1AC=60，AB1C是等边三角形，则AC=AB1=B1C=x，在RtACO中，AO=，（7分）=1，解得x=2（9分）在RtABO中，BO=，在RtBCO中，AB=，=，（10分）设点C1到平面ABB1的距离为h，由=1，（11分）得=1，解得h=，点C1到平面ABB1的距离为（12分）【点评】本题考查线面垂直的证明，考查点到平面的距离的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查空间想象能力、运算求解能力，考查函数与方程思想、数形结合思想，是中档题20（12分）已知圆C的圆心C在直线y=x1，且圆C经过曲线y=x2+6x8与x轴的交点（1）求圆C的方程；（2）已知过坐标原点O的直线l与圆C交M，N两点，若=2，求直线l的方程【分析】（1）直接利用已知条件求出圆的方程（2）利用直线和曲线的位置关系，整理成一元二次方程，进一步利用向量的坐标运算建立等量，最后求出直线的方程【解答】解：（1）因为圆C经过曲线y=x2+6x8与x轴的交点则令y=0，解得：x=2或4故与x轴的交点坐标为：（2，0）、（4，0）设圆C的方程为：（xa）2+（yb）2=r2，则依题意得：，解得：a=3，b=2，r=所以：圆C的方程为：（x3）2+（y2）2=5（2）直线l的斜率显然存在，故设直线l的斜率为k，则直线l的方程为：y=kx，联立，整理得：（1+k2）x2（6+4k）x+8=0，设M（x1，y1），N（x2，y2），则：，已知，则：x2=2x1，所以：，整理得：，解得：k=0或，故直线的方程为：y=0或12x5y=0【点评】本题考查的知识要点：圆的方程的求法，向量的坐标运算，直线和曲线的位置关系的应用一元二次方程根与系数的关系的应用21（12分）已知函数f（x）=2ex+ax（1）求f（x）的单调区间；（2）讨论f（x）在（0，+）上的零点个数【分析】（1）求出导函数，对参数a进行分类讨论，根据导函数判断函数的单调区间即可；（2）令f（x）=0得2ex+ax=0，得出a=（x0），根据x的范围对a分类讨论，对a0时，构造函数g（x）=（x0），求出导函数g（x）=，根据导函数判断函数的单调性，得出函数的图象，根据图象判断函数零点的个数【解答】解：（1）f（x）=2ex+a，（1分）若a0，则f（x）0恒成立，（2分）所以f（x）的单调递增区间为j（，+），（3分）若a0，令f（x）0得xln（），（4分）令f（x）0得xln（），（5分）所以f（x）的单调递增区间为（ln（），+），单调递减区间为（，ln（），（2）令f（x）=0得2ex+ax=0，又x0所以a=（x0）（7分）因为x0所以0，故，若a0，则f（x）无零点，即f（x）有0个零点，（8分）若a0，令g（x）=（x0），g（x）=，（9分）当0x1时g（x）0，当x1时g（x）0，所以g（x）在（0，1）上单调递增，在（1，+）上单调