湖北省黄冈市初中数学竞赛试题

2000 年湖北省黄冈市初中数学竞赛试题 . 1 2001 年湖北省黄冈市初中数学竞赛试题 . 5 2002 年湖北省黄冈市初中数学竞赛试题 . 8 2003 年湖北省黄冈市初中数学竞赛试题 . 13 2004 年黄冈市语数外三科联赛预选赛数学试题. 18 2004 年第十九届黄冈市初中语、数、外三科综合能力测评数学试题. 22 2000 年湖北省黄冈市初中数学竞赛试题年湖北省黄冈市初中数学竞赛试题 一、填空题(每小题 5 分，共 30 分) 1对于非负实数 a、b 有(ba ) 2O，应用两数差的平方公式展开后并整理可得不等 式：ab ba 2 在不等式中，等号成立的条件是 2已知 x 2-5x-1997=O，则代数式的值为 3已知 030，且 sin=km+ 3 1 (k 为常数且 kO)，则 m 的取值范围是 4在直角坐标系 XOY 中，O 为坐标原点，已知点 M(-2，0)、N(O，4)、P(O，3)，过点 C 作直线交 x 轴于点 D，使得以 D，O，C 为顶点的三角形与AOB 相似，这样的直线最多可 以作 条 5我市某学校有两名教师带一名学生准备参加旅行团外出旅游，东坡旅行社告知“两名 教师买全票，学生按半价优惠；赤壁旅行社告知： “三人旅游可按团体票计价，即每人均 按全价的 5 4 收费若这两家旅行社每人的原票价相同，那么优惠条件较好的旅行社是 旅行社 6已知O 的半径为 R，C、D 是直径 AB 同侧圆周上的两点， AB的度数为 96， BD的度 数为 36，动点 P 在 AB 上，则 CP+PD 的最小值为 二、解答题(710 题每题 10 分，1112 题每题 1 5 分，共 70 分) 7(10 分)若 x+y=m+n，且 x 2+y2=m2+n2求证：x2001+y2001=m2001+n2001 8.(10 分)已知关于 x 的方程 x 2+2x+=O，其中 k 为实数当 k 为何值时，方程没有实数根 9(10 分)如图，AB 是半圆的直径，ACAB,AC=AB，在半圆上任取一 点 D，过点 D 作 DECD，交直径 AB 于点 E，BFAB，交线段 AD 的延 长线于点 F，问图中除了 AB=AC 外，是否还有其他两条线段相等，如 果有，指出这两条相等的线段，并给出证明；如果没有，也要说明理由 10(10 分)已知：在直角坐标系 XOY 中点 A(-4，O)、点 B(O，-3)若有一个直角三角形 与 RtABO 全等，且它们有一条公共边，请写出这个直角三角形第三个顶点的坐标(不必 写出计算过程)，并画出相对应的图形 11(15 分)有四个工厂 A、B、C、D，且 AB=a(千米)、BC=a(千米)、CD=a(千米)、ACB=90 、BCD=120，现在要找一个供应站 H 的位置，使它到四个工厂的距离和 HA+HB+HC+HD 为最小，说明道理，并求出最小值 12(15 分)家具厂的沙发框架装配流水线可以把锯、刨好的木料装配成沙发框架，主要有 四道工序：打磨抛光、喷涂保护层、装配、贴厂名标签按照工艺流程的要求，喷涂保护 层不能安排在打磨抛光之前，而贴厂名标签必须在喷涂保护层之后进行已知：贴标签需 要 1 分钟；抛光需要 5 分钟，但装配之后再抛光则只需 3 分钟；喷涂保护层需要 8 分钟， 但装配之后再喷涂只需 6 分钟；如果喷涂保护层前装配需要 6 分钟；否则只需 4 分钟试 为这条流水线安排一个加工顺序，使总加工时间最短 2000 年湖北省黄冈市初中数学竞赛 1a=b 且 a0，b022002 3 k6 1 m0，证明：在方程 中，至少有两个方程有两个不相等的实数根 12(15 分)有麦田 5 块，如图中的 A、B、C、D、E，它们的产量(单位：吨)、交通状况和 每相邻两块麦田的距离如图所示，要建一座永久性打麦场，这 5 块麦田生产的麦子都在此 打场问建在哪块麦田上(不允许建在除麦田以外的其他地方)才能使总运输量最小?图中 圆圈内的数字为产量，直线段上的字母 a、b、d 表示距离，b0,=2,=,= CD 2 = 5 2 .= (13) 2-(5)2 =12.从而得=+=12+52=292.由 29=292,得=2.则=5=10.故 =1 2 = 1 2 2910=145 ( 2). 二、7.(1)对于自然数,有(+1)(+2)(+3)+1=(2+3)(2+3+2)+1=(2+3 )2+2(2+3)+1=(2+3+1)2. (2)由(1)得 2000200120022003+1=40060012. 8.要使为的中点,可添加下列条件之一: 角的关系:(1)=; (2)=;(3)=;(4) =;(5)=30;(6)=60;(7)=120;(8)=60. 边的关系:(1)=2;(2)= 3 ;(3)2= 3 ;(4)=.三角形的 关系:. 9.设每台计算器元,每本数学竞赛讲座书元,这笔钱为元.则有 100(+3)= =80(+5).化简得=5.解得=800.则这笔款可买数学竞赛讲座800 本.又 = 5 x ,=160.则这笔款可买计算器 160 台. 10.(1)提示:连结、,证;(2)( 3 4 , 3 4 ),( 3 3 4 , 3 4 ,( 3 2 ,0),( 3 2 , 2 ),= 3 3 16 2. 11.写出这四个方程的判别式1、2、3、4.注意到1+30,2+40,故1、 2、3、4中至少有两个大于零,即所得四个方程中至少有两个方程有不相等的实数根. 12.设在处的最少运输量为().据三角形三边长度关系,有+.于是,()=3 +5(+)+4(+)+6=18+5+4;()=10+3+4;()=18+13; ()=14+13;()=26+6; 经比较知 minS(A)，S(B)，S(C)，S(D)，S(E)= S(B)，B 处为最佳选择方法 2：首先考 虑将麦场设在_A 点，则由各点按最近路线运至 A 点的原则，如右图所示，图中所有线段的 箭头表示运输方向， 边上的数字表示经过该段的麦量 用同样的方法， 分别作出其他方案， 下面的四图分别是麦场设在 B、C、D,E 四点的情况 考查 A 点方案，BA 的麦量为 15，超过了总麦量 M=3+7+6+5+4=25 的一半，那么设在 A 点显 然没有设在 B 点好，因为从 B 点运到 A 点的运输量是 15a，而如果设在 B 点，并且假设除 去 AB 线段以外，其他线段上的运输方向和运输量都不变的话，那么从 A 点运向 B 点的运 输量就是(3+7) a=(M-15)a，因 15 超过了 M 的一半，所以 15 M-15，可见当其他运输路线 不变时，只改变 A、B 两点的运向，就已经优于设在 A 点的方案了，何况若将其他点的麦 量改到 B 点，还可能有更短的运输路线，因此，设在 B 点的方案就更优于设在 A 点的方案 了 同理考查 C 点、D 点、E 点方案，从各条线路运向 C、D、E 的最大运输麦量分别 为 13，13，15，都超过了 M 的一半，因此都不是最佳点，只有 B 点有可能是最佳选择，而 最佳点总是存在的，故可断定设在 B 点为最佳选择 2002 年湖北省黄冈市初中数学竞赛试题年湖北省黄冈市初中数学竞赛试题 一、选择题(本题共 5 小题，在每小题给出的四个选项中，有且只有一个是正确的，请把 正确的选项选出来，每小题选对得 4 分，选错、不选或选出的答案超过一个，均得零分) 1若 4x-3y-6z=O，x+2y-7z=O，则代数式的值等于 ( ) A.- 2 1 B. 2 19 c.-15 D.-13 2如右图，已知等边ABC 外有一点 P，P 落在ABC 内，设点 P 到 BC、 CA、AB 三边的距离分别为 h1、h2、h3，且满足 h2+h3-h1=6，那么等边 ABC 的面积为 ( ) A 123 B 93 C 83 D. 43 3在本埠投寄平信，每封信不超过 20g 时付邮费 O80 元，超过 20g 而不超过 40g 付邮 费 160 元，依次类推，每增加 20g 须增加邮费 080 元(信的质量在 100g 以内)如果 某人所寄一封信的质量为 725g，那么他应付邮费 ( ) A2.4 元 B28 元 C3 元 D32 元 4四条线段的长分别为 9，5，x，1(其中 x 为正实数)，用它们拼成两个 相似的直角三角形，且 AB 与 CD 是其中的两条线段(如图)，则 x 可取值的 个数为 ( ) A 1 个 B3 个 C 6 个 D9 个 5若 x、y、z 是正实数，且满足 xyz=1，则代数式(x+1)(y+1)(z+1)的最小值是 ( ) A.64 B. 8 C 82 D. 2 二、填空题(本题共 5 小题，每小题填对得 4 分，共 20 分) 6当 x=3 -2 时，代数式 x 4-9x2+ 2 x+1 的值是 7如图，正方形 ABCD 的面积为 256，点 F 在 AD 上，点 E 在 AB 的延长线上， 直角CFF 的面积为 200则 BE 8已知整数 a、b、c 满足不等式 a 2+b2+c2+42ab+9b+8c，则 a、b、c 分别等 于 9如图，在ABC 中，ACB=90，AC=BC,AD 是 BC 边上的中线，CE 上 AD 于 ECE 的延长线交 AB 于 F，则 tanBAD 的值等于 10若三个方程 x 2-4x+2a-3=O，x2-6x+3a+12 =0，x2+3x-a+ 4 25 =0 中至少有一个方程有实 数根，则实数 a 的取值范围是 三、解答题 11(8 分)当 a 取何值时，方程 2 2 1 2 2 1 2 xx ax x x x x 有负数解 12(12 分)已知正方形 ABCD 的边长为 10cm,一动点 P 从点 A 出发，以 2cm秒 的速度沿正方形的边逆时针作匀速运动，如图所示，回到 A 点停止求动点 P 运动 t 秒时，P、D 两点间的距离 13(12 分)已知：如右图，AB 是 O 的直径，BC 是O 的切线，B 是切点，OC 平行于弦 AD，连结 CD，过 D 点作 DEAB 于 E，交 A 与 C 的连线于点 P问 DP 与 PE 是否 相等，如果相等给出证明；如果不相等，说明理由 14(14 分)如图所示，在平面直角坐标系中，以 y 轴上的点 P 为圆 心的 OP 与 x 轴交于 A、B 两点，与 y 轴交于 CD 两点，连结 AC (1)若点 E 在 AB 上，EA=EC,求证：AC 2=AEAB； (2)若BPO=60，AC=3 3 8 ，过点 A 的直线交 y 轴正半轴于点 M(O，8)，点 R(x1，y1)，Q(x2，y2)在直线 y=kx(k0)上，且 x1、x2 是方程 x 2-(k+2)x+4=O 的两根；直线 AM 与直线 y=kx 交于点 N， 分别 过 P、 Q,N 作 x 轴的垂线， 垂足分别为 R 、 Q、 N 请找出 OR， OQ， ON之间的关系式，并加以证明 15(14 分)如图是几个人出差从 A 城出发到 B 城去沿途可能经过的城市的示意图， 通过两 城市所需时间标在两城市之间的连线上(单位：小时)，若这几个人租用一辆小汽车出行， 且汽车行驶的平均速度为80千米小时， 而汽车平均每行驶1千米需要的费用为1 2元 试 指，出这几个人从 A 城出发到达 B 城的最短路线的走法(要有推理过程)，并求出所需最少 费用为多少? 2002 年湖北省黄冈市初中数学竞赛 15最短线路的走法为 AC2O2E1B应采取“倒过来求 的方法由终点 B 选取 前一点的最短路线，可从 E1B 或 E2B，在 12 和 18 之间，应选 12，即 E1B；又可 D1 E1 或 O2E1，应选 10，即 O2El，此时，可从 C1O2 或 C2O2，但应考虑 AC1 O2 与 AC2O2 的时间和，在 14+13=27 和 15+11=26 之间，应选 AC2O2故最短路线 为 AC2O2E1B 最少时间为(15+11+10+12)=48(小时)，所需最少费用为 4812 80=4608(元) 2003 年湖北省黄冈市初中数学竞赛试题年湖北省黄冈市初中数学竞赛试题 一、选择题(每小题 5 分，共 25 分) 1已知 a 是正数，且 a- a 2 =l，则 a 2- 2 4 a 等于( ) A. 3 B. 5 C.-3 D1 2已知周长小于 15 的三角形的三边长都是质数，且其中一边的长为 3，这样的三角形有 ( ) A. 4 个 B. 5 个 C. 6 个 D. 7 个 3若 ab1，且有 5a 2+2003a+9=0 及 9b2+2003b+5=0，则 b a 的值是 ( ) A. 5 9 B. 9 5 C. 5 2003 D 9 2003 4 如图， 分别延长ABC 的三边 AB， BC， CA 至 A， B， C ， 使得 AA=3AB， BB=3BC，CC=3AC若 SABC=1，则 SABC等于 ( ) A. 18 B. 19 C. 24 D27 5某家电公司销售某种型号的彩电，一月份销售每部彩电的利润是售 价的 25， 二月份每部彩电的售价调低 10而进价不变， 销售件数比一月份增加 80 那 么该公司二月份销售彩电的利润总额比一月份利润总额增长 ( ) A. 2 B. 8 C. 405 D62 二、填空题(每小题 5 分，共 25 分) 6已知 a 2+b2+c2-2a+4b6c+14=O，则(a+b+c)2= 7如图，ABC 中，AB=AC，D 在 AB 上，E 在 AC 的延长线上，BD=3CE， DE 交 BC 于 F，则 DF：FF= 8 已知 AB为O 的圆周的 6 1 ， 弦 AB=2， 则从 AB的中点到弦 AB 的中点的距离为 9已知 a，b 为整数，且 x 2-ax+3b=O 有两个不相等的实数根，x2+(6-a)x+7-b=O有两 个相等的实数根；x 2+(4-a)x+5b=0 没有实数根，则 a+b= 10 如图， AB， AC 分别是O 的切线和割线， 且C=45， BDA=60,CD=6 ， 则切线 AB 的长是 三、解答题(50 分) 11(8 分)当 a 为何值时，关于 x 的方程 212 1 2 xx a x x x x 的根为正数? 12(8 分)如图，在ABC 中，AD 是BAC 的外角平分线，P 是 AD 上异于点 A 的任意一点， 试比较 PB+PC 与 AB+AC 的大小，并说明理由 13(10 分)已知：如图，PA，PB 分别切O 于点 A，B，PO 交 AB 于点 M，C 是 MB 上的一点， OC 的延长线交O 于点 E，PDOE，垂足为 D，且 OC=3，OD=8，求O 的半径 14(11 分)如图，四边形 OBCD 为平行四边形，OD=2，DOB=60，以 OD 为直径的P 经 过点 B，N 为 BC 边上任意一点(与点 B，点 C 不重合)，过 N 点作直线 MNx 轴，垂足为 A， 交 DC 边于点 M，设 OA=t，OMN 的面积为 S (1)求 S 与 t 的函数关系式，并写出自变量 t 的取值范围； (2)求点 D 的坐标与直线 BC 的解析式；(3)当 S= 8 33 时， 试判定直线 MN 与P 的位置 关系，并说明理由 15(13 分)为进一步丰富市民的文化生活，某市文化局计划把该市“长虹影剧院进行改 造把原来的 1000 个座位改为现在的 2004 个座位以此向 2004 年元旦献礼改建后的 影剧院从第二排起后排都比前一排多一个座位，要求排数大于 20问有几种设计方案，如 何设计? 2003 年湖北省黄冈市初中数学竞赛 一、1A 2B 3A 4B 5B 2004 年黄冈市语数外三科联赛预选赛数学试题年黄冈市语数外三科联赛预选赛数学试题 一、选择题(每题 6 分，共 3 O 分) 1如图，一个立方体的六面上标着连续的整数，若相对两个面上所标 之数的和相等?则这六个数的和为 ( ) A75 B76 C78 D81 2小李在一个水果店买了 3 千克苹果单价为 a 元千克又另一家 水果店购买了 2 千克苹果，单价为 b 元千克后来他义以 2 ba 元的价格将苹果全部卖 给了小张，结果发现赔了钱。原因是 ( ) Aab Bab Ca=b D与 a 和 b 大小无关 3已知 sincos=2/9 且 459 0，则 cos-sin 的值为 ( ) A- 9 5 B. 3 5 C. 3 5 D- 3 5 4如图弦 AC、BD 交 E，AB=BC=CD，且AED=140ACD 的度数 等于 ( ) A100 B110 C120 D130 5某公司计划用不超过 500 万元的资金购买单价为 60 万元、70 万 元的甲、乙两种设备根据需要，甲种设备至少买 3 套乙种设备至少买两套则不同的 购买方式有 ( ) A5 种 B6 种 C7 种 D8 种 二、填空题(每小题 6 分共 3 O 分) 6设方程 20042x2-20032005x-1=0 的较大根为 a,方程 x2-2004+2005=O 的较小根为 b。 则 a-b= 7在平面直角坐标系中。直线 A B 与 x 轴的夹角为 6 0。且 A 点坐标为(-2，0)点 B 在 x 轴上方设 AB=4，则点 B 的坐标为 8在梯形BCD 中,ADBC，B=30，C=60,E、F、N 分别是 AB、BC、CD、DA 的中 点，已知 BC=10MN=3，则 EF= 9如图。在ABC 中。AB=9,BC=8CA=7延长 BC 至 P使PABPCA， 则 PC= 10若一个正整数等于它所有因数之和(包括 1 但不包括这个数本身)则称 这个数为“完美数例如 28 是一个完美数因为 1+2+4+7+l4=2 8； 若一个数正整数的所有因数之和比这个数小 1(包括 1，但不包括数本身)，则称这个数为 “近乎完美数”，例如 8 是一个“近乎完美数”，因为 1+2+4=7从小到大的第五个“近 乎完美数是 三、解答题(共 60 分) 11已知关于 x 的方程 ax2+(a+1)x+a-1=0 的根均为整数，试求出所有符合条件的 a 值 12 如图。 四边形 ABCD 内接于O， BC 为O 的直径， E 为 DC 边上一点， 若 AEBC， AE=EC=7， AD=6 (1)求 AB 的长；(2)求 EG 的长 13 下表显示了去年夏天钓鱼比赛的部分结果。 这个表记录了钓至 n 条鱼的选手有多少名， n 取不同的数值 n O 1 2 3 13 14 15 钓到 n 条鱼的选手数 9 0 7 23 5 2 l 在赛事新闻中报道了：(1)钓鱼冠军钓到 l 5 条鱼；(2)钓至 3 条或更多条鱼的那些选手每 人平均钓到 6 条鱼；(3)钓至 12 条或更少条鱼的那些选手每人平均钓到了 5 条鱼求：在 整个比赛中共钓到多少条鱼? 14 如图 在直角ABC 的直角顶点 C 作斜边 AB 的三等分点的连线 CE、 CF， 已知 CE=sin ， CF=cos(为锐角)，则边 AB 的长是多少? 15我们设想用电脑模拟台球游戏，为简单起见约定：每个球袋视为一个点，如果不 遇到障碍，各球均沿直线前进；A 球击 B 球，意味着 B 球在 A 球前进的路线上，且 B 球 被撞击后沿 A 球原来的方向前进；球撞击桌边后的反弹角度等于入射角度(如图中 =)，如图所示，设桌边只剩下白球 A。6 号球 B (1)希望 A 球撞击桌边上 C 点后反弹，再击中 B 球，请给出一个算法，告知电脑怎样找到 C 点，并求出 C 点的坐标；(2)设桌边 RQ 上有一球袋 S(100，12 0)，判定 6 号球 B 被从 C 点 反弹出的白球撞击后能否直接落入球袋 S 中(假定 6 号球被撞后速度足够大)；(3)若用白 球 A 直接击打 6 号球 B，使 6 号球 B 撞击桌边 OP 上的 D 点后反弹，问 6 号球 B 从 D 点反弹 后能否直接进入球袋 Q 中(假定 6 号球被撞后速度足够大)? 2004 年黄冈市语数外三科联赛预选赛数学答案 一、选择题 1 D 2 A 3 D 4 C 5 C 5C 提示：设甲为(x+3)套乙买(y+2)套 x0y0 60(x+3)+70(y+2)500 可得解 二、填空题 6 2006 提示： (2004 2x+1)(x-1)=0,a=1；(x+2005)(x-1)=0，b=-2005； 7(0，23 )或(-4，23 ) 87 提示：延长 BA、CD 交于 Q，连 QM，则 QM 过 N， 949/4 1032 提示：24,8，是近乎完美数，猜测 2n，n 为正整数是近乎完美数，2 n的 约数有 1，22 2， 2n-1(不含 2n)，1+2+22+2n-1=2n故成立 三、11当 a=0 时,x=1；当 x0 时设方程两根为 x1x2， 则有两根之和之积并把它们相减得 x1x2-x1-x2=2即(x1-1)(x2-1)=3(-1)(-3)=l3，则 x1+x2=6 或-2可求得 a=-1/7 或 1故符合条件的 a 值有 0，-1/71 12(1)延长 BA、CD 交于 P 点AB=AP，PDAPBC，PA=6AB=6 (2)AEBCAC=410AG=410/3 BG=22/3，故 EG=11/3 13设钓到 n 条鱼的选手为 an，n=4，5，12令 x=4a1+5a2+12a12,y=a1+a2+a12, 由题设可知： x=747 y=123 则总共钓到鱼的条数为：(123+9+5+7+23)5+135+142+15=943 14设 AC=b,BC=a分别过 E、F 作 EMAC，FNAC，垂足为 M，N 在 RlCEM 中 在 RtCFN 中 a 2+b2= 9/5 故 AB=35 /5 15(1)作 A 点关于 x 轴的对称点 A ，连结 BA交 x 轴于一点，这一点就是 C 点 直线 BA的解析式为 y=3x-180 故 C(60，O) (2)当 x=100 时y=120，所以点 S(100，120)在直线 y=3x-180 上即 6 号球能落入 S 球袋 中 (3)直线 AB 的解析式为 y=-x+100令 y=O,x=100则 D(100，0)作 AMx 轴于 M，则 AM=DM=60 a=45， 由约定可知， =45 则反弹后直线DP平行于y=x 且过(100 0)， 则直线 DP 方程为 y=x-100当 x=200 时y=100，故 Q(200，120)不在该直线上,6 号球从 D 处反弹后不能直接落入 Q 球袋中 2004 年第十九届黄冈市初中语、数、外三科综合能力测评 数学试题 年第十九届黄冈市初中语、数、外三科综合能力测评 数学试题 一、选择题(每小题 5 分共 2 5 分) 1已知 a 是正数且 a- a 2 =1则 2 2 4 a a 等于 ( ) A3 B5 C-3 D1 2已知周长小于 l5 的三角形的三边长都是质数，且其中一边的长为 3。这样的三角形有 ( ) A4 个 B5 个 C6 个 D7 个 3若 ab1，且有 5a2+2003a+9=0 及 9b2+2003b+5=0.则 a/b 的是值是 ( ) A9/5 B5/9 C.-2003/5 D-2003/9 4 如图 分别延长ABC的三边AB、 BC、 CA至A， B， C使得AA=3AB， BB=3BC，CC=3AC若 S ABC =l。则 S ABC 等于 ( ) A18 B19 C2 4 D2 7 5某家电公司销售某种型号的彩电，一月份销售每部彩电的利润是售 价的 2 5%，二月份每部彩电的售价调低 l O而进价不变销售件数比一月份增加 80 ，那么该公司二月份销售彩电的利润总额比一月份利润总额增长 ( ) A2 B8 C4 O5 D6 2 二、填空题(每小题 5 分。共 2 5 分) 6已知 a2+b2+c2-2a+4b-6c+l4=0，则(a+b+c)2= 7如图，ABC 中，AB=ACD 在 A B 上E 在 AC 的延长线上BD=3CEDE 交 BC 于 F则 DF：FE= 8已知 AB为O 的圆周的 1/6， 弦 AB=2,则从 AB的中点到弦 AB 的中点的距 离为 9已知 a,b 为整数且 x2-ax+3-b=0 有两个不相等的实数根 x2+(6-a)x+7-b=0 有两个相等 的实数根x2+(4-a)x+5