高等数学教案-第三章-微分中值定理与导数应用

教学案例课程名称：高等数学写作时间：20年讲座部分第三章微分中值定理和导数应用第一节微分中值定理目的要求方程根的存在性及不等式的证明重点和难点罗尔和拉格朗日中值定理方程根的存在性及不等式的证明回顾.3分钟第三章微分中值定理及其应用第一节微分中值定理一、罗尔定理例子1费马定理：可在内部推导，如果有，就有注：特使被称为停滞点。例子2罗尔定理：如果一个函数满足(1)闭区间a，b上的连续性；(2)可在开区间(a，b)上导出；(3)。那么(a，b)中至少有一点要说明。几何解释：第二，拉格朗日中值定理1.拉格朗日中值定理：如果函数满足(1)闭区间a，b上的连续性；(2)它可在开区间(a，b)上导出。那么在(a，b)中至少有一个点可以建立方程成立。几何解释：注：1)当时，上述公式也是有效的。(2)符号：表示“，”(这里，它在a和b之间)3)2.定理：如果函数在开区间(a，b)上满足，那么在闭区间a，b)(c是常数)。42分钟3.例子例1证明了不等式是在那个时候建立的。(用拉格朗日中值法证明不等式的步骤：1确定了函数的形式；确定时间间隔的终点。)例2证明了当时不等式成立。例3证明了不等式。(分别讨论等号和非等号成立时的情况)例4证明不等式是在那时建立的。例5证明不等式是在那个时候建立的。例6证明该方程只有正根。(讨论根的存在和唯一性)第三，柯西中值定理柯西中值定理：如果函数满足(1)闭区间a，b上的连续性；(2)开区间(a，b)上的导数()。那么在(a，b)中至少有一个点可以建立方程。42分钟内容摘要：方程根的存在性及不等式的证明几个中值定理的关系？家庭作业：P132 3，5，6，10，11，12备注：三分钟讲座部分第三章微分中值定理及其导数应用第二节洛皮达法则目的要求掌握待定极限的求解方法重点和难点待定极限的求解回顾.3分钟第二节罗必达定律一、待定公式它被称为不确定形式。二、罗必达定律1.关于未定式定理1:满足以下条件(1)；(2)它存在于某个(或无穷远点的邻域)中；(3)存在，或，有例1。寻求注：1)“”可由“”替换；2)类似地，一阶导数的极限(待定公式)可以通过使用二阶导数的极限来获得，即(未确定)=(未确定)=例2。寻求2.关于未定式与待定形式相似，可以得到一个求待定形式极限的定理。定理2:满足以下条件(1)；(2)存在于一定范围内(或无穷远点的邻域内)；(3)存在，或，有例3。搜索(n0)注：上述洛皮达规则必须首先确定为不确定的，否则将导致错误。例如.42分钟.3.类型待定公式也可以按类型或类型待定公式计算。示例4示例5注：对于待定形式，它是幂指数函数的待定形式，有其特殊的计算方法。所谓幂指数函数，就是函数的形式，叫做幂指数函数。幂指数函数的待定形式采用对数法。以下面的例子为例，给出了对数方法。示例6当然，罗比达定律可以和其他方法结合，这对于某些问题来说会更简单。例7。(无穷小等价替换优先)有一些待定公式和洛皮达定律是无效的，但这并不意味着极限不存在。它可以通过其他方法找到。例8。42分钟内容摘要：洛比塔定律；掌握待定极限的求解方法问：我可以用洛比塔定律吗？作业：P137 1(1)(3)(5)(7)(9)(11)(13)，3备注：三分钟讲座部分第三章微分中值定理及导数应用第三节泰勒公式目的要求理解泰勒展开公式重点和难点1.几种特殊函数的泰勒展开2.函数的泰勒展开回顾.3分钟第三节泰勒公式泰勒公式是用多项式逼近代替函数的一种方法。泰勒中值定理分析：对于函数，找到一个n次多项式(*)点处的函数值以及一阶、二阶甚至n阶的导数等于相应的函数，因此曲线与点(图)更好地拟合，即；(*)可以用以上两个公式求解如果是这样，就得到泰勒中值定理。泰勒中值定理：如果一个函数在包含x0的开区间(a，b)中有一个高达n 1的导数，那么是的，有这叫做泰勒公式，其中的数字在x和x0之间。(称为拉格朗日余数)第二，麦克劳林公式泰勒公式叫做麦克劳林公式，也就是x和x0之间的数字。注意：的选择可以类似于前面提到的中值定理的选择方法，即42分钟三、麦克劳林公式的几个重要函数示例1示例2(已给出)示例3(已给出)四.例子例4幂展开多项式例5应用麦克劳林公式根据x的幂展开函数例6得到了拉格朗日余项展开为函数的幂的三阶泰勒公式。42分钟内容摘要：泰勒推出；麦克劳克林发射；麦克劳林对几个特殊函数的扩展。思考：麦克劳克林膨胀公式与麦克劳克林膨胀级数的关系作业：P143 1，4，6备注：三分钟讲座部分第三章微分中值定理和导数应用第四节函数和凹凸曲线的单调性目的要求掌握函数的导数与函数本身性质之间的关系重点和难点1.函数和拐点的单调性、凹凸性的判定方法；不平等的证明。回顾.3分钟第四节函数的单调性和曲线的凹凸性一、函数单调性的判断图纸分析：定理1:如果一个函数在闭区间a，b上是连续的，并且在开区间(a，b)上是可导的，那么(1)如果是，它在a，b上单调增加；(2)如果是，它在a，b上单调递减。注：闭区间a，b可以被无限区间代替，并且上述定理仍然有效。例1。判断0，2上的单调性。例2。判断的单调性。例3。判断的单调性。注：单调区间的分界点：1点零导数；导数不存在的点。例4。判断的单调区间。其次，用函数的单调性证明不等式分析：证明步骤：1。设计形式；2；当xa为单调递增函数时；4=0证明在那个时候，它是成立的。证明在那个时候，它是成立的。证明在那个时候，它是成立的。提示：设置证明在那个时候，它是成立的。证明在那个时候，这是真的。提示：取两边的对数，也就是说。设定，然后注意：注意什么时候用拉格朗日定理或单调性来证明不等式。.42分钟.第三，凹凸曲线和拐点1.凹凸函数的定义：(图纸说明)凸函数：凹函数：2.判断规则定理2:如果一个函数在闭区间a，b上是连续的，并且在开区间(a，b)上具有一阶和二阶可微性，那么(1)如果，那么a，b上的图是凸的；(2)如果是这样，a，b上的数字是凹的。注：闭区间a，b可以被无限区间代替，并且上述定理仍然有效。例10。判断的凹凸性。例11。判断的凹凸性。3.弯曲拐点的定义(注意，在图纸描述中拐点是连续点):凹凸区间的分界点称为拐点。拐点的判断：1二阶导数为零的点；二阶导数不存在的点。例12。找到曲线的拐点。例13。找出曲线的凹凸区间和拐点。例14。指出是否有拐点。例15。指出了拐点。42分钟内容概述：函数和拐点的单调性、凹凸性的判定方法；不平等的证明。思考问题：如果我证明了不平等会怎么样？作业：P151 1，3(1)(3)，4(1)(3)(5)，6备注：三分钟讲座部分第3章微分中值定理和导数应用第5节函数的极值、最大值和最小值目的要求1极值判断；寻找最大值的方法。重点和难点极值的判断法则回顾.3分钟第五节函数的极值、最大值和最小值首先，函数的极值及其解法1.极值定义：让一个函数在一个点的某个邻域内有一个定义。如果取心邻域中的任何点X有()，则该点称为函数的最大点(最小点)，并且是最大值(最小值)。(图纸说明)根据费马定理(如果有，和()，那么。2.定理定理1(极值存在的必要条件):如果它存在并且极值是在该点获得的，那么(图纸说明)定理2(第一个必要和充分条件):如果一个函数在某个取心邻域内是可导的，并且取心邻域内的任何一点X都满足(1)当、和时，该点是最大点；(2)当、和时，该点是最小点；(3)如果符号不变，则该点不是极值点。(图纸说明)注：根据上述定理，极值点必须是驻点或一阶导数不存在的点。例1。寻找函数的极值。例2。寻找函数的极值例3。-3，4上球面函数的最大值和最小值.42分钟.定理3(第二个必要和充分条件):如果一个函数在某一点有二阶导数，那么(1)如果是，该点是最大点；(2)如果是，该点是最小点。(通过凹凸分析。)要找到极值：(1)求一阶导数；(2)找到一阶导数为零或不存在的点；(3)判断可疑点的二阶导数或左右邻域的符号；(4)判断极值点，找到极值。例3。寻找函数的极值。例4。寻找函数的极值。二、最大值问题最大值和最小值的定义：注意：极值是函数的局部属性，最大值是函数的全局属性。(图纸说明)最大点的可疑点：极值点(一阶导数为零或不存在的点)，终点。例3。AB段在铁路线上的距离是100公里。c和a之间的距离是20公里，AC垂直于AB。为了满足运输的需要，应该在AB线的D点修建一条公路。据了解，每公里铁路货运量与每公里公路货运量之比是3:5。为了节省从供应站b到工厂c的运费，d点应该选在哪里？例4。甲乙D 100km公里20公里C(其中铁路每公里运费为3K，公路每公里运费为5K)例5。一个车间需要靠墙建一个长方形的小屋。现有的砖只能建20米长的墙。什么样的矩形应该被包围，使机舱面积最大？42分钟内容概述：极值判断；寻找最大值的方法。思维问题：最大值点和极值点的区别和联系作业：P160 1(1)(3)，4(1)(3)(5)，9，10备注：三分钟讲座部分第三章微分中值定理和导数应用第六节函数图的描述第七节曲率目的要求1.会用函数的极值点、拐点、单调性、凸凹性来画图；2.函数的曲率和曲率半径重点和难点曲率和曲率半径的计算公式回顾.3分钟第6节功能图的描述绘制函数图的列表法：找出函数的特殊点以及特殊点之间的函数性质。(1)特殊点：极值点、拐点、函数和导数不存在的点。(2)特点：点调性、凹凸性。(找到一阶和二