考研数学公式定理背诵手册(数学一)：高等数学

1 考研数学公式定理背诵手册（数学一）考研数学公式定理背诵手册（数学一） 第一部分第一部分 高等数学高等数学 一、函数、极限与连续一、函数、极限与连续 1基本初等函数基本初等函数 基本初等函数共有以下六个，其性质和图形必须牢记，在此就一一复述了 （1）常数函数：( )y xc= （2）幂函数：( a yxa=为常数) （3）指数函数：( x yaa=是常数且0,1)aa （4）对数函数：log( a yx a=是常数且0,1)aa，定义域(0,)+，它是指数函数 x ya=的反函数 （5）三角函数： 正弦函数sin ()yxx= + 余弦函数cos ()yxx= = （3）取整函数： yx=，y是x的最大整数部分 （4）狄利克雷函数： 1, ( ) 0, . x yf x x = 当 为有理数时, 当 为无理数时 3. 函数的基本特性函数的基本特性 奇函数或偶函数运算具有以下结论： 奇函数奇函数奇函数；偶函数偶函数偶函数；奇函数（）奇函数偶函 数；偶函数（）偶函数偶函数；奇函数（）偶函数奇函数 4两个重要极限两个重要极限 重要极限： 0 sin lim1 x x x = 重要极限： 1 lim 1 x x e x += 5间断点间断点 （1）( )f x在点 0 x处无定义； （2） 0 lim( ) xx f x 不存在； （3） 0 0 lim( )() xx f xf x ， 则称点 0 x为( )f x的间断点 6连续函数的和、积及商的连续连续函数的和、积及商的连续 定理定理 1 有限个在某点连续的函数的和是一个在该点连续的函数 定理定理 2 有限个在某点连续的函数的乘积是一个在该点连续的函数 定理定理 3 两个在某点连续的函数的商是一个在该点连续的函数， 只要分母在该点不为零 3 7反函数与复合函数的连续性反函数与复合函数的连续性 定理定理 4 如果函数( )yf x=在区间 x I上单调增加（或单调减少）且连续，那么它的 反函数( )xy=也在对应的区间 |( ), yx Iy yf x xI=上单调增加（或单调减少）且 连续 定理定理 5 设函数( )ux=当 0 xx时的极限存在且等于a，即 0 lim( ) xx xa =，而函 数( )yf u=在点ua=连续，则复合函数 ( )yfx=当 0 xx时的极限也存在且等于 ( )f a，即 0 lim ( )( ) xx fxf a = 定理定理 6 设函数( )ux=在点 0 xx=处连续，且 00 ()xu=，而函数( )yf u=在点 0 uu=连续，那么复合函数 ( )yfx=在点 0 xx=也是连续的 8初等函数的连续性初等函数的连续性 一切初等函数在其定义区间内都是连续的 9闭区间上连续函数的性质闭区间上连续函数的性质 定理定理 1（最大值和最小值定理）（最大值和最小值定理） 在闭区间上连续的函数在该区间上一定有最大值和 最小值 定理定理 2（有界性定理）（有界性定理） 在闭区间上连续的函数一定在该区间上有界 定理定理 3（零点定理）（零点定理） 设函数( )f x在闭区间 , a b上连续，且( )f a与( )f b异号（即 ( )( )0f af b，则在开区间( , )a b内至少有函数( )f x的一个零点，即至少有一个 ()ab使( )0f= 定理定理 4（介值定理）（介值定理） 设函数( )f x在闭区间 , a b上连续，且在这区间的端点取不同 的函数值( )f aA=及( )f bB=，则对于A与B之间的任意一个数c，在开区间( , )a b内 至少有一点，使得( )()fc ab=（或 ( ) 0fx（或 ( ) 0fx， 0 lim( )0 xb f x （或 0 lim( )0 xa f x + ， 0 lim( )0 xb f x （或0M ）时，在 , a b上( )f x与x轴没有交点，故( )f x没有零点， 即( )0f x =没有实根； （2）当0m =（或0M =）时，在 , a b上( )f x与x轴只有一个交点，故( )f x只有 一个零点，即( )0f x =只有一个实根； （3）当0m ）时，在 , a b上( )f x与x轴有且只有两个交点，故( )f x有 且仅有两个零点，即( )0f x =有且只有两个实根 命题 4 设函数( )f x在 , a b（, a b为有限或无穷）上连续， 0 lim( ) xa Af x + =， 0 lim( ) xb Bf x =( ,A B为有限或无穷） ，且( )f x在 , a b上的最小值为m（或最大值为M） 仅在( , )ca b处达到，( )f x在( , )a c内单调减少（或增加） ，在( , )c b内单调增加（或减 少） 如AB（,A B为有限数） ，( )f x的取值范围为( , )m B( ,)A M或，则 （1）当km）时，在 , a b上曲线( )f x与直线yk=没有交点，故方程 ( )f xk=没有实根 9 （2）当km=时（或kM=）时，在 , a b上曲线( )f x与直线yk=仅有一个交点， 故方程( )f xk=仅有一实根 （3）当mkA（或BkM）时，在 , a b上曲线( )f x与直线yk=有两个交 点，故方程( )f xk=有且仅有两个实根 （4） 当AkB，如果 11 极限 lim( ) b ab f x dx + 存在，则称此极限值为函数( )f x在 ,)a +上的无穷限反常积分无穷限反常积分，记做 ( )lim( ) b aab f x dxf x dx + + = 若lim( ) b ab f x dx + 存在，则称反常积分( ) a f x dx + 收敛收敛，否则称( ) a f x dx + 发散发散 若( ) a f x dx 与( ) a f x dx + 均收敛，则称反常积分( )f x dx + 收敛，且 ( )( )( ) a a f x dxf x dxf x dx + =+ 若上式右端有一个反常积分发散，则称反常积分( )f x dx + 发散 定义（无界函数的反常积分）定义（无界函数的反常积分） 设函数( )f x在( , )a b内连续， 0 lim( ) xb f x = 对任 意0，如果极限 0 lim( ) b a f x dx 存在，则称此极限值为函数( )f x在 , )a b上的反常积分反常积分，记做 0 ( )lim( ) bb aa f x dxf x dx = 若 0 lim( ) b a f x dx 存在，则称( ) b a f x dx 收敛收敛，否则称( ) b a f x dx 发散发散 设( )f x在 , )a c，( , c b内连续，lim( ) xc f x = ，若( ) c a f x dx ，( ) b c f x dx 均收敛时， 则称反常积分( ) b a f x dx 收敛，且 ( )( )( ) bcb aac f x dxf x dxf x dx=+ ， 否则，称反常积分发散（右端有一个不存在，即称发散） 2. 重要定理与性质重要定理与性质 1）定积分性质）定积分性质 设( )f x，( )g x在 , a b上可积，则定积分有下列性质： （1）( )( ) bb aa kf x dxkf x dx= （k为常数） ； （2） ( )( )( )( ) bbb aaa f xg x dxf x dxg x dx= ； （3）( )( )( ) bcb aac f x dxf x dxf x dx=+ ，c为区间 , a b中一点； 12 （4）若( )0f x ， , xa b，则( )0 b a f x dx ； （5）若( )( )f xg x， , xa b，则( )( ) bb aa f x dxg x dx ； （6）若( )mf xM， , xa b，则()( )() b a m baf x dxM ba ； （7） b a dxba= ； （8）( )|( )|() bb aa f x dxf x dxab，若( )f x在 ,aa上连续，则有 0 0 0, ( ) ( ) ( )() 2( ), ( ) aa a a f x f x dxf xfx dx f x dxf x =+= 为奇函数, 为偶函数. 若( )f x在(,) +上连续且以T为周期，则有 0 ( )( ) a TT a f x dxf x dx + = （2）常用的定积分计算公式 设( )f x为连续函数，则有 22 00 (sin )(cos )fx dxfx dx = ； 00 (sin )(sin ) 2 xfx dxfx dx = ； 2 00 (sin )2(sin )fx dxfx dx = ； 22 00 133 1 , 24 2 2 sincos 134 2 1, . 25 3 mn nn n nn xdxxdx nn n nn = ? ? 为偶数, 为奇数 （3 ）反常积分 反常积分 1 1 pdx x + ：当1p 时收敛于 1 1p ，当1p 时发散 反常积分 1 0 1 q dx x ：当1q ，使lim( ) p x x f xA + =，则( ) a f x + 收敛； 如果存在01p或lim( ) p x x f x + = +， 则( ) a f x dx + 发 14 散 3平面图形的面积平面图形的面积 （1）由曲线( )yf x=( ( )0)f x ，直线,xa xb=与x轴围成的图形，面积微元与 面积分别为 ( )dSf x dx=，( ) b a Sf x dx= （2）由曲线( )yf x=，( )yg x=和直线,xa xb=围成的图形，面积微元与面积分 别为 |( )( )|dSf xg xdx=，|( )( )| b a Sf xg xdx= （3）由曲线( )rr=( ( )0)r和, =围成的图形，面积微元与面积分别为 2 1 ( ) 2 dSrd=， 2 1 ( ) 2 Srd = （4）由参数方程 ( ), ( ) xt yt = = 给出的曲线， 1 t对应起点， 2 t对应终点，( )xt=在 12 , t t （或 21 , t t）上连续可微，( )yt=在此区间上连续，则曲边梯形面积 2 1 ( )( ) t t Stt dt= 特别地，参数方程所确定的是封闭无重点曲线，则曲线围成图形的面积为 2 1 1 ( )( )( )( ) 2 t t Stttt dt= ， 此时要求( ),( )tt都连续可微 4平面曲线的长度平面曲线的长度 （1）曲线方程( )yf x=()axb，则 2 1( )dlfx dx=+， 2 1( ) b a lfx dx=+ （2）曲线方程为( )xt=，( )yt=()t ，则 22 ( )( )dltt dt=+， 22 ( )( )ltt dt =+ （3）曲线方程为( )rr=，则 22 ( )( )dlrrd=+， 22 ( )( )lrrd =+ （4）空间曲线( )xt=，( )yt=，( )zt=，t ，则 15 222 ( )( )( )dlttt dt=+， 222 ( )( )( )lttt dt =+ 5立体体积立体体积V （1）立体是由曲面和平面,xa xb=围成的，垂直于x轴的截面面积( )S x为已知， 则 ( )dVS x dx=，( ) b a VS x dx=（( )S x连续于 , a b） （2）由平面连续曲线( )yf x=，直线,xa xb=及x轴围成的曲边梯形绕x轴旋转 一周所得旋转体之体积为V，则 2( ) dVyx dx=， 2( ) b a Vyx dx= 6变力沿直线运动所做的功变力沿直线运动所做的功 物体在变力( )F x的作用下，沿直线由xa=运动到xb=所做的功W： ( )dWF x dx=，( ) b a WF x dx= 7液体对平板的侧压力液体对平板的侧压力 平板垂直地浸入液体中，设液体的每单位体积的重力为g，其中为液体的密度，g 为重力加速度，则平板一侧所受液体压力P： ( )dPgxf x dx=，( ) b a Pgxf x dx= 8函数的平均值函数的平均值 函数( )yf x=在 , a b上的平均值 1 ( ) b a yf x dx ba = 五、向量代数和空间解析几何五、向量代数和空间解析几何 1. 向量代数的基本概念向量代数的基本概念 向量、向量的模和方向余弦，与给定向量同方向的单位向量等的坐标表示见表 5.1 表表 5.1 名 称 坐标表示 基本单位向量 向量a的分解式 向量a的坐标表示式 向 量AB ? ? 的 坐 标 表 示 式 ， 其 中 (,) xyz Aa aa=，(,) xyz Bb b b= 1,0,0i =，0,1,0j =，0,0,1k = xyz aa ia ja k=+ , xyz aa a a= , xxyyzz ABab ab ab= ? ? 16 向量a的模的坐标表示式 向量a的方向余弦的坐标表示式 与向量a同方向的单位向量的坐标表示 式 222 | xyz aaaa=+ cos | x a a =，cos | y a a =， cos | z a a =，满足： 222 coscoscos1+= 222 | xyz a xyz a ia ja k a e a aaa + = + 2. 向量的运算及其坐标表示式向量的运算及其坐标表示式 1)向量的线性运算及其坐标表示向量的线性运算及其坐标表示 设向量(,) xyz aa a a=，(,) xyz bb b b=，为常数，则向量的线性运算及其坐标表示 见表 5.2 表表 5.2 名 称 运算规律 坐标表示 加法 ab+ 交换律：abba+=+ 结合律： ()()abcabc+=+ , xxyyzz abab ab ab+=+ 减法 ()abab=+ , xxyyzz abab ab ab= 数乘 a ()()aa = ()aaa+=+ ()abab+=+ , xyz aaaa= 2)向量的数量积及其坐标表示向量的数量积及其坐标表示 两个向量的数量积是一个数，其物理意义表示物体在力F的作用下沿直线s方向移动 所做的功WF s=，其几何意义是向量F在向量s(0)s 方向上的投影与向量| | s的乘 积数量积的定义和有关运算规律见表 5.3 17 表表 5.3 定 义 运算规律 坐标表示 |cos( , )a ba ba b = 0( , )a b a bb a= ()abca ba c+= + ()()()a babab= xxyyzz a ba ba ba b=+ 2222 | xyz a aaaaa=+ 1i ij jk k = 0i jj kk i= = a与b的夹角余弦cos( , ) | a b a b a b = a与b垂直的充要条件：0 xxyyzz a ba ba ba b=+= a在b上的投影 222 ( )|cos( , ) | xxyyzz b xyz a ba ba b a b aaa b b bbb + = + 3)向量的向量积及其坐标表示向量的向量积及其坐标表示 设, xyz aa a a=， , xyz bb b b=， , xyz cc c c=，则向量的向量积的定义及其坐标 表示见表 5.4 表表 5.4 定 义 运算规律 坐标表示 0 |sin( , )a ba ba b e = ，0( , )a b 0 e为同时垂直于, a b的 单位向量，且 0 , ,a b e符合右 手规则 a bba= ()abca ba c+= + ()(a ba bab= xyz xyz ijk a baaa bbb = 0i ijjkk = ,ijk jki ki= = a与b平行的充要条件：0a b=，即 y xz xyz a aa bbb = 4)向量的混合积及其坐标表示向量的混合积及其坐标表示 设, xyz aa a a=， , xyz bb b b=， , xyz cc c c=，则向量混合积的定义、运算规律 及其坐标表示见表 5.5 18 表表 5.5 定 义 运算规律 坐标表示 ()()abcab c= ()()ab cbc a= ()()ca bcb a= = ()()ba cac b= = () xyz xyz xyz aaa abcbbb ccc = |()|abc的几何意义；等于以, ,a b c为棱的平行六面体的体积 三向量, ,a b c共面的充要条件：()0abc = 注注 向量的基本知识是进行向量运算的基础，应熟记 3. 空间解析几何的基本概念基本概念 两点间距离与定比分点坐标公式： 点 111 ( ,)A x y z与 222 (,)B xyz之间的距离距离为 222 212121 ()()()dxxyyzz=+ 点 1111 ( ,)P x y z与 2222 (,)P xyz的连线的分点 1 2 PP P PP = 的坐标为 12 1 xx x + = + ， 12 1 yy y + = + ， 12 1 zz z + = + 点P称为由定比决定的分点，其坐标由上式表示，称为定比分点坐标公式定比分点坐标公式 4. 平面、直线与曲面平面、直线与曲面 1)平面平面 (1) 平面的方程 平面的方程见表 5.6 表表 5.6 平面方程的名称 平 面 方 程 点法式方程 000 ()()()0A xxB yyC zz+=，其中 000 (,)xyz为平面上一定点， , , nA B C=为平面的法向 量 一般式方程 0AxByCzD+= 截距式方程 1 xyc abz +=，其中, ,a b c依次为平面在, ,x y z上的 19 截距 三点式方程 111 212121 313131 0 xxyyzz xxyyzz xxyyzz = ， 其中( ,) iiii P x y z(1,2,3)i =为平面三个已知点 (2)平面之间的关系 两平面 11111 :0AxB yC zD+=和 22222 :0A xB yC zD+=的夹角的余弦 为 121212 222222 111222 | cos A AB BC C ABCABC + = + 0 2 12 的充要条件： 121212 0A AB BC C+= 12 /的充要条件： 111 222 ABC ABC = 点 000 (,)P xyz到平面0AxByCzD+=的距离为 000 222 |AxByCzD d ABC + = + 2)空间直线空间直线 (1 )空间直线的方程 空间直线的方程见表 5.7 表表 5.7 空间直线的名 称 直 线 方 程 点向式方程 000 xxyyzz lmn =， 其 中 000 (,)xyz为 直 线 上 一 定 点( , )l m n为直线的方向向量 参数方程 0 xxlt=+， 0 yymt=+， 0 zznt=+ 一般式方程 1111 2222 0 0 AxB yC zD A xB yC zD += += （2 ） 直线之间的关系 两直线 111 1 111 : xxyyzz L lmn =和 222 2 222 : xxyyzz L lmn =的夹角的余弦为 20 1 21212 222222 111222 | cos l lm mn n lmnlmn + = + 0 2 12 LL的充要条件： 1 21212 0l lm mn n+= 12 /LL的充要条件： 111 222 lmn lmn = 1 L与 2 L共面的充要条件： 212121 111 222 0 xxyyzz lmn lmn = 3）平面与空间直线的夹角及平行垂直的条件）平面与空间直线的夹角及平行垂直的条件 设平面和直线L的方程分别为 :0AxByCzD+=， 000 : xxyyzz L lmn =， 则与L的夹角的正弦为 222222 | sin AlBmCn ABClmn + = + 0 2 ； L的充要条件： ABC lmn =； / L的充要条件：0AlBmCn+= 4）常见的空间曲面和空间曲线）常见的空间曲面和空间曲线 （1 ）空间曲面及其方程 空间曲面的方程见表 5.8 表表 5.8 曲面的名称 曲面的方程 球面 222 000 ()()()xxyyzzR+=，其中点 000 (,)xyz 为球心，R为半径 椭球面 222 222 1 xyz abc +=，当ab=或bc=或ca=时方为旋转 椭球面 单叶双曲面 222 222 1 xyz abc += 双 曲面 双叶双曲面 222 222 1 xyz abc += 21 锥面 222 222 0 xyz abc += 椭圆抛物面 22 22 2 xy z pq += 抛 物面 双面抛物面 22 22 2 xy z pq += 柱面 ( , )0F y z =（母线平行于x轴） ( , )0F x z =（母线平行于y轴） ( , )0F x y =（母线平行于z轴） 旋转面（母线 ( , )0f y z=） 22 (, )0fxyz+=，z轴为旋转轴 22 ( ,)0f yxz+=，y轴为旋转轴 （2 ） 空间曲线的方程及其投影曲线的方程 空间曲线的方程见表 5.9 表表 5.9 曲线方程的名称 曲线方程 一般式方程 1 2 ( , , )0 ( , , )0 F x y z F x y z = = 参数式方程 ( )xx t=，( )yy t=，( )zz t= 空间曲线在坐标平面上的投影： 设空间曲线的方程为 1 2 ( , , )0, ( , , )0. F x y z F x y z = = 它在Oxy平面，Oyz平，Ozx平面的投影曲线方 程依次为 ( , )0, 0, F x y z = = ( , )0, 0, G y z x = = ( , )0, 0. H x z y = = 六、多元函数的微分与应用六、多元函数的微分与应用 1可微与可偏导的关系可微与可偏导的关系 函数( , )zf x y=在点 000 (,)P xy处可微，则必可偏导，即 00 (,) x fxy， 00 (,) y fxy存在； 反之不真特别，即使 00 (,) x fxy， 00 (,) y fxy存在，函数( , )zf x y=在点 000 (,)P xy处也 不一定连续，当然也不一定可微 22 2多元复合函数求导法则多元复合函数求导法则 定理（复合函数求偏导数）定理（复合函数求偏导数） 如果( , )uu x y=，( , )vv x y=在点( , )x y处有偏导数， ( , )zf u v=在点( , )u v处有连续偏导数，则 ( , ), ( , )zf u x y v x y=在点( , )P x y处也有关于 x与y的偏导数，且 zfufv xuxvx =+ ， zfufv yuyvy =+ 在相应的条件下，还有下列求导公式： 若函数( , , )zf u v w=，( , )uu x y=，( , )vv x y=，( , )ww x y=，则 zfufvfw xuxvxwx =+ ； zfufvfw yuxvywy =+ 若( , , )zf u x y=，( , )uu x y=，则 zfuf xuxx =+ ， zfuf yuyy =+ 若( , , )zf u v w=，( )uu t=，( )vv t=，( )ww t=，则有全导数公式 dzfdufdvfdw dtu dtv dtw dt =+ 3隐函数的求导公式隐函数的求导公式 定理定理 设( )yf x=是由方程( , )0F x y=所确定的隐函数， 且二元函数( , )F x y有连续 的偏导数，( , )0 y F x y，则 ( , ) ( , ) x y F x ydy dxF x y = 定理定理 设( , )zz x y=是由方程( , , )0F x y z=所确定的隐函数，三元函数( , , )F x y z有 连续的偏导数，且( , , )0 z F x y z，则 ( , , ) ( , , ) x z F x y zz xF x y z = ， ( , , ) ( , , ) y z F x y z z yF x y z = 4方向导数的计算公式方向导数的计算公式 定理定理 设函数( , )zf x y=（或( , , )uf x y z=）在其可微点处沿任何方向l的方向导数 23 都存在，则有下列计算公式 coscos fff lxy =+ coscoscos ffff lxyz =+ 空间为， 其中, 为l与x轴和y轴正向的夹角（, 为方向l的方向角） 5其他其他 定理定理 设二元函数( , )zf x y=的偏导数 z x ， z y 在 000 (,)P xy点连续， 则( , )zf x y= 在 000 (,)P xy处全微分存在 定理定理 设函数( , )zf x y=在点 000 (,)P xy处有 2z x y 与 2z y x 连续，则二者相等，即在 0 P点处，有 22 zz x yy x = 6. 偏导数的应用偏导数的应用 定理定理 设函数( , )zf x y=在 000 (,)P xy某邻域内连续，且有一阶及二阶连续偏导数， 又 0000 (,)(,)0 xy fxyfxy=设 2 ( , ) xxyyxy u x yfff=，则 （1）当 0 ()0u P， 0 ()0 xx fP， 0 ()0 xx fP时，( , )f x y在 0 P取极小值； （3）当 0 ()0u P时，( , )f x y在 0 P不取极值； （4）当 0 ()0u P=时，不能断定( , )f x y是否在 0 P取极值 定理定理 可微函数( , )zf x y=在可微函数( , )0 x y=条件下取极值的必要条件是：令 ( , )( , )( , )F x yf x yx y=+，满足方程组 ( , )( , )0, ( , )( , )0, ( , )0. xx yy fx yx y fx yx y x y += += = 24 曲线 ( ), ( ), ( ) xt yt zt = = = 在 0000 (,)P xyz处的切线方程和法平面方程分别为 000 000 ( )( )( ) xxyyzz ttt =， 000000 ( )()( )()( )()0txxtyytzz+= 曲面( , , )0F x y z=在 0000 (,)P xyz处的切平面方程和法线方程分别为 000000 ()()()()()()0 xyz F PxxF PyyF Pzz+=， 000 000 ()()() xyz xxyyzz F PF PF P = 定理（泰勒公式）定理（泰勒公式） 设( , )zf x y=在点 00 (,)xy的某一邻域内连续且有直到(1)n+阶 的连续偏导数， 00 (,)xh yk+为此邻域内任一点，则有 2 00000000 1 (,)(,)(,)(,) 2! f xh ykf xyhkf xyhkf xy xyxy +=+ ? 00 1 (,) ! n n hkf xyR nxy + ， 其中 1 00 1 (,) ()! n n Rhkf xh yk nxy + =+ + (01)，称为拉格朗日型余项拉格朗日型余项 七、多元函数积分学七、多元函数积分学 1二重积分的性质二重积分的性质 设函数( , )f x y，( , )g x y在有界闭区域D上可积，则有 性质性质 1 D dA= ，其中A为区域D的面积 性质性质 2 12 ( , )( , )( , ) DDD f x y df x y df x y d=+ ，其中 12 DDD= 性质性质 3 ( , )( , ) DD kf x y dkf x y d= ，其中k为常数 性质性质 4 ( , )( , )( , )( , ) DDD f x yg x y df x