实际问题与反比例函数的导学案

172 实际问题与反比例函数 教学目标 1知识与技能 学会把实际问题转化为数学问题，进一步理解反比例函数关系式的构造，掌握用反比例函数的方法解决实际问题 2过程与方法 感受实际问题的探索方法，培养化归的数学思想和分析问题的能力 3情感、态度与价值观 体验函数思想在解决实际问题中的应用，养成用数学的良好习惯 教学重点难点 重点：用反比例函数解决实际问题 难点：构建反比例函数的数学模型 课时安排 2课时 教与学互动设计第1课时 （一）创设情境，导入新课 一位司机驾驶汽车从甲地去乙地，他以80千米时的平均速度用6小时到达目的地 （1）当他按原路匀速反回时，汽车的速度v与时间t有怎样的函数关系？ （2）若该司机必须在4个小时内回到甲地，则返程的速度不能低于多少？ （二）合作交流，解读探究 探究 （1）原路返回，说明路程不变，则806=480千米，因而速度v和时间t满足：vt=480或v=的反比例函数关系式 （2）若要在4小时内回到甲地（原路），则速度显然不能低于=120（千米/时） 归纳 常见的与实际相关的反比例 （1）面积一定时，矩形的长与宽成反比例； （2）面积一定时，三角形的一边长与这边上的高成反比例； （3）体积一定时，柱（锥）体的底面积与高成反比例； （4）工作总量一定时，工作效率与工作时间成反比例； （5）总价一定时，单价与商品的件数成反比例； （6）溶质一定时，溶液的浓度与质量成反比例 （三）应用迁移，巩固提高 例1近视眼镜的度数y（度）与焦距x（m）成反比例，已知400度近视眼镜镜片的焦距为0.25m （1）试求眼镜度数y与镜片焦距x之间的函数关系式； （2）求1 000度近视眼镜镜片的焦距 【分析】 把实际问题转化为求反比例函数的解析式的问题 解：（1）设y=，把x=0.25，y=400代入，得400=， 所以，k=4000.25=100，即所求的函数关系式为y= （2）当y=1 000时，1000=，解得=0.1m 例2如图所示是某一蓄水池每小时的排水量V（m3/h）与排完水池中的水所用的时间t（h）之间的函数关系图象 （1）请你根据图象提供的信息求出此蓄水池的蓄水量； （2）写出此函数的解析式； （3）若要6h排完水池中的水，那么每小时的排水量应该是多少？（4）如果每小时排水量是5 000m3，那么水池中的水将要多少小时排完？ 【分析】 当蓄水总量一定时，每小时的排水量与排水所用时间成反比例 解：（1）因为当蓄水总量一定时，每小时的排水量与排水所用时间成反比例，所以根据图象提供的信息可知此蓄水池的蓄水量为：4 00012=48 000（m3） （2）因为此函数为反比例函数，所以解析式为：V=； （3）若要6h排完水池中的水，那么每小时的排水量为：V=8000（m3）； （4）如果每小时排水量是5 000m3，那么要排完水池中的水所需时间为：t= =8000（m3） 备选例题 （2005年中考四川）制作一种产品，需先将材料加热到达60后，再进行操作设该材料温度为y（），从加热开始计算的时间为x（分钟）据了解，设该材料加热时，温度y与时间x完成一次函数关系；停止加热进行操作时，温度y与时间x成反比例关系（如图所示）已知该材料在操作加工前的温度为15，加热5分钟后温度达到60 （1）分别求出将材料加热和停止加热进行操作时，y与x的函数关系式；（2）根据工艺要求，当材料的温度低于15时，须停止操作，那么从开始加热到停止操作，共经历了多少时间？ 【答案】 （1）将材料加热时的关系式为：y=9x+15（0x5），停止加热进行操作时的关系式为y=（x5）；（2）20分钟 （四）总结反思，拓展升华 1学会把实际问题转化为数学问题，充分体现数学知识来源于实际生活又服务于实际生活这一原理 2能用函数的观点分析、解决实际问题，让实际问题中的量的关系在数学模型中相互联系，并得到解决 （五）课堂跟踪反馈 夯实基础 1A、B两城市相距720千米，一列火车从A城去B城 （1）火车的速度v（千米/时）和行驶的时间t（时）之间的函数关系是 v= （2）若到达目的地后，按原路匀速原回，并要求在3小时内回到A城，则返回的速度不能低于 240千米/小时 2有一面积为60的梯形，其上底长是下底长的，若下底长为x，高为y，则y与x的函数关系是 y= 3（2005年中考长沙）已知矩形的面积为10，则它的长y与宽x之间的关系用图象大致可表示为 （A） 4下列各问题中，两个变量之间的关系不是反比例函数的是（C） A小明完成100m赛跑时，时间t（s）与他跑步的平均速度v（m/s）之间的关系 B菱形的面积为48cm2，它的两条对角线的长为y（cm）与x（cm）的关系 C一个玻璃容器的体积为30L时，所盛液体的质量m与所盛液体的体积V之间的关系 D压力为600N时，压强p与受力面积S之间的关系 提升能力5面积为2的ABC，一边长为x，这边上的高为y，则y与x的变化规律用图象表示大致是（C） 开放探究 6为了预防流行性感冒，某学校对教室采用药熏消毒法进行消毒已知，药物燃烧时，室内每立方米空气中的含药量y（毫克）与时间x（分钟）成正比例，药物燃烧后，y与x成反比例（如图所示）现测得药物8分钟燃毕，此室内空气中每立方米的含药量为6毫克，请你根据题中所提供的信息，解答下列问题： （1）药物燃烧时y关于x的函数关系式为： y=x ，自变量的取值范围是： 0x0，所以由12，可得R 例2某气球内充满了一定质量的气体，当温度不变时，气球内气体的气压P（千帕）是气球体积V（m3）的反比例函数，其图象如图所示（千帕是一种压强单位） （1）写出这个函数的解析式； （2）当气球体积为0.8m3时，气球内的气压是多少千帕？（3）当气球内的气压大于144千帕时，气球将爆炸，为了完全起见，气球的体积应不小于多少？ 【分析】 在此题中，求出函数解析式是关键 解：设函数的解析式为P=，把点A（1.5，64）的坐标代入，得k=96，所以所求的解析式为P=； （2）V=0.8m3时，P=120（千帕）； （3）由题意P144（千帕），所以144，所以V=（m3）即气体的体积应不小于m3 备选例题 1（2005年中考变式荆州）在某一电路中，电流I、电压U、电阻R三者之间满足关系I= （1）当哪个量一定时，另两个量成反比例函数关系？（2）若I和R之间的函数关系图象如图，试猜想这一电路的电压是_伏2（2005年中考扬州）已知力F对一个物体作的功是15焦，则力F与此物体在力在方向上移动的距离S之间的函数关系式的图象大致是（ ） 【答案】 1（1）当电压U一定时，电流I与电阻R成反比例函数关系，（2）10；2B （四）总结反思，拓展升华 1把实际问题中的数量关系，通过分析、转化为数学问题中的数量关系 2利用构建好的数学模型、函数的思想解决这类问题 3注意学科之间知识的渗透 （五）课堂跟踪反馈 夯实基础 1在一定的范围内，某种物品的需求量与供应量成反比例现已知当需求量为500吨时，市场供应量为10 000吨，试求当市场供应量为16 000吨时的需求量是 312.5吨 2某电厂有5 000吨电煤 （1）这些电煤能够使用的天数x（天）与该厂平均每天用煤吨数y（吨）之间的函数关系是 y= ； （2）若平均每天用煤200吨，这批电煤能用是 25 天； （3）若该电厂前10天每天用200吨，后因各地用电紧张，每天用煤300吨，这批电煤共可用是 20 天 提升能力 3一种电器的使用寿命n（月）与平均每天使用时间t（小时）成反比例，其关系如图所示 （1）求使用寿命n（月）与平均每天使用时间t（小时）之间的函数关系式是 n= ；（2）当t=5小时时，电器的使用寿命是 96（月） 4某人用50N的恒定压力用气筒给车胎打气 （1）打气所产生的压强P（帕）与受力面积S（米2）之间的函数关系是： P= （2）若受力面积是100cm2，则产生的压强是 5 000P ； （3）你能根据这一知识解释：为什么刀刃越锋利，刀具就越好用吗？为什么坦克的轮子上安装又宽又长的履带呢？ 【答案】 接触面积越小，压强越大，故刀具越好用，反之可解释坦克装履带现象 开放探究 5一封闭电路中，当电压是6V时，回答下列问题： （1）写出电路中的电流I（A）与电阻R（）之间的函数关系式是 I= （2）画出该函数的图象 【答案】 略 （3）如果一个用电器的电阻是5，其最大允许通过的电流为1A，那么只把这个用电器接在这个封闭电路中，会不会烧坏？试通过计算说明理由 【答案】 可能烧坏 6如图所示是某个函数图象的一部分，根据图象回答下列问题：（1）这个函数图象所反映的两个变量之间是怎样的函数关系？ 【答案】