大学物理复习提纲(赵近芳-数学学院)

第一章“运动学”题型一、分类：1.一般的运动方程、速度、加速度之间的关系2.圆周运动二、计算内容1. 一般的运动方程、速度、加速度之间的关系知识地图如下：2.圆周运动知识地图如右：三、解题步骤声明：解题其实就是清清楚楚地把题目做出来。只要满足这个条件就行，并非只能按照一种方式来做。下面给出的只是比较有条理和清晰的一种路子，如果你严格照着做了，结果应该不会错得离谱（老师们还是见过步骤正确，但是简单如四则运算依然要算错的神人，扼腕之余只能表示叹服），而且阅卷老师要给你们分也有比较充足的理由（至少卷子上的文字表明你很清楚正确的步骤）。当然，如果你觉得自己很清楚，而且也能够在卷子上很清楚地表明“你自己很清楚”这件事情，那么只管走自己的路就是。但是切记：如果你心里很清楚，但是卷子上只写寥寥几个字，阅卷老师是断然不能从这几个字中看出来“你很清楚”这件事情的（那个需要超能力，貌似老师都木有）。特别是如果你写的那几个字还出了点错，那就是你自己要跟自己过不去了。阅卷是“以卷面为依据”，和“以卷面为准绳”的。所以：能多写些就多写些，尽量写清楚。1. 一般的运动方程、速度、加速度之间的关系理解已知条件，知道自己在地图上起点在哪儿；理解求解目标，知道地图上哪里是终点；然后在地图中找路，从起点走到终点即可。如果按照地图上从左至右的方向解题，那是灰常滴简单你再犯错，那就只能是“自作孽”了。如果方向是从右至左，则会涉及几个问题：（1）利用积分链式法则的技巧（参见例题1）；（2）分离变量积分的技巧（这是你们这个学期常微里面最简单的内容，必须会的）；（3）定积分和不定积分的选择问题（参见例题1）。2.圆周运动理解已知条件，知道自己在地图上起点在哪儿；理解求解目标，知道地图上哪里是终点；然后在地图中找路，从起点走到终点即可。四、典型例题和习题1. 一般的运动方程、速度、加速度之间的关系【例题1】（教材习题1-5）解：从地图上看，从位置到速度显然行不通（因为不知道位置的函数表达式），那么就要考虑从加速度返回速度的路子。但是由于也不能直接对时间积分（速度表达式也未知），所以只有再寻他途。现在起点是和，终点是。所以我们的路径必须能够从这两点出发，连接到。从图上看，很明显，既要用到微分，又要用到积分。这个技巧就是第一步用链式法则（引入中间变量）引入微分：，第二步再使用“分离变量积分”来引入积分（这一招请参见本学期你们的常微教材相关部分）。先分离变量得然后积分。教材上使用不定积分的招数，最后通过初始条件来确定积分常数，是可行方法之一。另一种方法是根据定积分的定义，上面的积分可以做成定积分，积分一下得到一个隐函数的形式，这就是结果。另外，如果有人想直接求解这个方程，那也很好这应该是认真学了常微课程之后看到问题的本能反应，我表示很赞赏。【典型习题】地图左右例题1-4、习题1-3【典型习题】地图右左例题1-7、习题1-5、习题1-6。2.圆周运动【例题2】（教材习题1-8）解：这里不给出详细求解过程。你只要顺着地图，从弧长出发，一路走下去，走到加速度的两个分量就可以完成第（1）题。至于第（2）题，画个图就能算出来，我就不细说了。【典型习题】起点有可能是从弧长开始，也有可能是从角度开始，本质上没差别，照图走就是。例题1-5、例题1-6、习题1-7、习题1-8第二章“动力学”题型一、分类：运用受力分析和各种守恒定理的综合题。二、计算内容综合。三、解题步骤声明：请参见第一章“声明”部分。1.受力分析2.系统特性分析适用哪些守恒定理列出方程3.有可能要用到运动学分析（运动学和动力学通过牛二连接在一起）4.解上面得到的联立方程。另外注意：（1）涉及能量的问题，使用“动能定理”或者“功能原理”之中的任何一种都可以把问题求解出来，用哪种看你的心情而定。而能不能用“机械能守恒定理”则要看是否满足守恒的条件。一旦题目中设计摩擦力的，那么显然机械能就不会守恒了。（1.1）动能定理解题菜单：1.明确研究对象，建立坐标系；2.根据最基本概念和定义，得到所有力的功并求和；3.动能增量；4.使用动能定理。*由于不考虑势能，所以不用设定各种零势能点。（1.2）功能原理解题菜单：1.明确系统组成（有重力势能的，要包含地球、物体；有弹力势能的，要包含弹簧、物体）；2.分清内力和外力，分清保守力和非保守力；3.所有外力的功；4.所有非保守内力（我们目前只可能是摩擦力）的功；5.使用功能原理。（2）使用势能解题时注意：1.设定坐标系（包含坐标原点、轴向）2.设定势能零点（注意：坐标原点和势能零点是不同的，要分别设定。而且：有几种势能，就要设几个势能零点）。3.计算，使用我们的公式：四、典型例题和习题【例题1】质量m = 100 g的小球被系在长度l = 50.0 cm绳子的一端，绳子的另一端固定在点o，如图所示。若将小球拉到p处，绳子正好呈水平状，然后将小球释放。求小球运动到绳子与水平方向成q = 60的点q时，小球的速率v、绳子的张力t和小球从p到q的过程中重力所作的功W。解：（1）求小球的速率（2）求绳子的张力（3）太简单，我就不讲了。【习题】动量和冲量：例题2-4、例题2-5、例题2-7、习题2-6功和能：例题2-7、例题2-8、例题2-9、习题2-8、习题2-9角动量：例题2-11第五章“静电场”题型一、按照带电体分类：二、计算内容三、解题步骤声明：请参见第一章“声明”部分。（一）求带电体电场分布的解题步骤1.基本带电体电场分布解题步骤（1）场强方向分析（微元法or记忆）和等E面分析（微元法or记忆），记得要表达清楚（要设坐标系的话，也讲一下怎么设定）；（2）充分使用等E面构造一个闭合的高斯面（根据电荷分布情况，决定是否需要分区）（a）“点系”直接使用球面形高斯面；（b）“线系”、“面系”等E面不封闭的，用等E面加上和场强平行的简单平面来“封口”；（3）计算高斯定理公式的右边（根据电荷分布情况，如果需要分区就分区计算）；（4）计算高斯定理公式的左边（即高斯面上的电场通量），切记计算会非常简单（作为数学专业的学生，你有义务理解结果是怎么来的）；（5）从高斯定理得到场强大小（根据电荷分布情况，如果需要分区就要分区给出结果）。2.复合带电体电场分布解题步骤方法一（推荐）：（1）先得到每个基本带电体（总共7种）单独存在时候的空间电场强度分布。这个可以直接给出来，或者想从头求一遍都行，看你的心情而定。（2）指出：根据电场的叠加原理，总电场等于“每个带电体单独存在时候的电场强度”的矢量和（这是必需的）。（3）最后实际计算出矢量和来（建议画图，看着分一分区域，然后认真算一下。虽然极为简单，但是每次都有一批人做错，让广大阅卷教师对这批神人敬佩不已）。方法二（这种路子算起来，容易失误的地方相对多一点）：使用和1中所述一样的方法来做即可。（二）求带电体电势分布的解题步骤（1）如果电场强度未知，则使用（一）中所述合适的方法算出任意P点的电场强度；如果已知，则直接使用；（2）选取合适的电势零点：（a）如果带电体只占据有限的空间，则选择无穷远点为电势零点；（b）如果带电体占据无限的空间，则选择一有限远点为电势零点；（3）选取合适的路径，计算下列积分得到P点的电势： 注意：（a）“捷径”就是最容易计算积分的路径，你可自行选择； （b）如果电场强度有分区，那么电势也要分段计算。（4）如果要求的是两点之间的电势差，可选两种方法之一：（a）用（3）的方法先求分别出两点的电势，再求两电势之差；（b）使用两点电势差的计算公式：直接计算。从成本上说，如果仅仅是计算电势差的话，用方法（b）更划算一些。四、典型例题和习题（一）基本带电体1.求基本带电体的电场分布（具体参见表1）。2.在1的基础上，求空间任意点的电势（或者求空间任意两点的电势差）。【例题1】求均匀带电球体（半径R，带电）的空间电场分布，电势分布。解：下面是严格按照前面解题步骤来计算的过程。（1）空间电场分布：建立球坐标系（原点在带电球体球心处），则我们要求的是空间任意一点P处的电场强度，设P点距离原点为。场强方向沿球坐标系的径向向外。根据电荷分布，空间分为和。构造一个过P点（半径为）的同心球面作为高斯面（关于高斯面的构造是关键点之一）。高斯面上处处电场强度大小相等，且处处场强方向和球面面元垂直。先讨论高斯面内所围的电荷为高斯面上电场通量为根据高斯定理易得：。如果要写成矢量式也可以，为：下面讨论，此地略去过程（诸位考场上可不能偷懒），仅写出结果：。矢量式为：。（2）空间电势分布：即我们要求空间任意一点P处的电势。电场分布已经由（1）求得。电势零点：设为无穷远点（最基本要点，不能少）。选择球坐标系的径向为路径，计算积分的值，即可得P点电势。电场分布存在分区问题，所以电势也要分区计算。类似过程，略去细节（你们自己补上）【习题】其它基本带电体的电场分布（参见表1）（二）复合带电体1.求复合带电体的电场分布。2.在1的基础上，求空间任意点的电势（或者求空间任意两点的电势差，一般复合带电体大多求电势差）。【例题2】求由一无限长均匀带电薄圆筒（半径，单位长度带电）和一同轴无限长均匀带电薄圆筒（半径，单位长度带电）形成的复合带电体形成的空间电场分布和两筒之间的电势差。解：（1）求电场分布。使用方法一。建立柱坐标系，z轴就是沿着筒的轴线。查表得下列结果：小筒的空间电场分布为：大筒的空间电场分布为：根据电场的叠加原理，总电场等于“每个带电体单独存在时候的电场强度”的矢量和（这话一定要说）。那么复合带电体的空间电场分布为（虽然很简单，依然请各位画个图，看清楚再写出来）：（2）求电势差目标是求小筒和大筒之间的电势差。这个时候我们直接使用电势差的公式来计算是最划算的（因为不用再去设电势零点，也不用再去求线和筒子的电势分别是多少，省很多力）。当然，你要明白的是：整个小筒上各处电势是相同的，而整个大筒上的电势也是相同的（不知道原因的人，回去面壁）。因此，要求电势差的时候，可以在一个垂直于z轴的平面内，沿径向进行如下的计算：这就是电势差。【习题】参见本章之“一、按带电体分类”中复合带电体部分所列情形。表1：基本带电体的电场分析目标：求出任意给定点P处的电场强度E（矢量）。带电体形状 1任意点场强方向2等E面形状3P点场强方向和该处等E面几何关系高斯面4高斯面上电场通量5高斯面内电荷代数和6（仅是大小）（矢量表达式，表示所选的单位矢量，请自行搞清楚其方向）点电荷（电量Q）（球坐标系中的）径向同心球面垂直同心球面，半径均匀带电薄球壳（电量Q）（球坐标系中的）径向同心球面垂直同心球面，半径均匀带电球体（电量Q）7（球坐标系中的）径向同心球面垂直同心球面，半径无限长均匀带电细线（线电荷密度）（柱坐标系中的）径向同轴柱面垂直同轴柱面（半径，长度）+顶+底=“罐头筒”无限长均匀带电薄圆筒（单位长度带电）7（柱坐标系中的）径向同轴柱面垂直同轴柱面（半径，长度）+顶+底=“罐头筒”无限长均匀带电圆柱（单位长度带电）7（柱坐标系中的）径向同轴柱面垂直同轴柱面（半径，长度）+顶+底=“罐头筒”无限大均匀带电薄平面（面电荷密度）垂直于带电平面平行平面垂直“任意顶面形状（顶/底面积）的盒子（顶+底+侧面）”注：1对于“点系”，建立球坐标系，原点就在那个“点”上；对于“线系”，建立柱坐标系，Z轴就沿着那条“线”；“面系”，建立平面直角坐标系，XY平面就在“面”上。2任意点处电场E的方向，在表中第二列描述之外，还要根据电荷的电性来决定最终的方向：如果是正电荷，则带电体发出电场线，反之带电体接收电场线。比如，带正电的“点系”，则电场方向沿球坐标系的径向向外（反之，带负电的则电场方向沿径向向内）。而最后两列的公式中电量或者电荷密度是代数值，已经包含了正负电性的信息。3这一栏的“同心”或者“同轴”指的是和设定的坐标系同心或者同轴（Z轴）。4（1）充分利用等E面建立高斯面：如果等E面是封闭的，则直接用过P点的等E面作为高斯面即可；如果等E面不封闭，则使用过P点的等E面加上垂直于电场的平面形成封闭的高斯面。（2）切记：我们的目标是求一个任意P点的电场强度矢量，方向可以用叠加原理搞清楚，大小就用高斯定理来对付了。设P点的坐标是（请勿将这个和带电体半径参数混起来这是作业和考试中常见的错误动作），我们设定的高斯面就是一个通过P点的封闭曲面。5由于所设定高斯面的特殊几何性质，在高斯面上的通量非常容易计算。表中仅给出最后结果，但请自行弄清楚来龙去脉。6这一步需要考虑是否该分区关键是根据电荷分布来决定。7这些情况，如果已知条件换成电荷密度（比如体密度或者面密度），也要会做。第六章“稳恒磁场”题型一、按照载流导体分类：二、计算内容三、解题步骤声明：请参见第一章“声明”部分。1.磁感应强度方向分析（微元法or记忆）和等B线分析（微元法or记忆）。2.充分使用等B线构造一个闭合的安培环路（必须指明绕行方向）：（1）“线系”-直接使用圆形安培环路；（2）长直螺线管，螺绕环：参见教材（P166）；（3）无限大载流平面：参见后面例题2。3.计算安培环路定理公式的右边（注意环路绕行方向和电流方向满足“右手关系”的电流值是正的，反之的则是负的）。4.计算安培环路定理的左边，切记计算会非常简单。5.从安培环路定理得到最后结果。四、典型例题和习题求导体中电流在空间激发的磁场的磁感应强度分布（具体参见表2）。【例题1】求无限长载流直导体圆筒在空间产生的磁感应强度的空间分布（电流为I，半径为R）。解：下面是严格按照求解步骤来计算的过程。磁感线在垂直于圆筒的平面上是与圆筒的截面同心的圆周，方向与电流成右手螺旋的关系，这些圆周也是等B线。空间任意一点P处的磁感应强度方向，就是过这一点的磁感线的切线方向（与电流成右手螺旋关系的那一边）。直接以过P点的等B线（封闭圆周）为安培环路，绕行方向和电流I的方向成右手螺旋关系。根据电流分布可知，需要分区讨论安培环路定理的两边：先讨论安培环路内所围电流为零，所以安培环路定理公式右边。沿着环路的积分为：根据安培环路定理易得。再讨论安培环路内所围电流为I，所以安培环路定理公式右边。沿着环路的积分为：根据安培环路定理易得。【例题2】求无限大均匀导体平面在空间产生的磁感应强度的分布（平面上垂直于电流方向单位宽度中流过电流为）。解：类上。无限大平面磁感线平行于导电平面，方向和电流成右手螺旋关系，如右图所示（注意在左半边和右半边空间中的磁感应强度方向是相反的）。空间任意一点处的磁感强度的方向就是磁感线的方向。在和电流垂直的平面内作如图通过点的矩形，其中水平边长为，铅直边长为。设定环路绕行方向为逆时针向（此方向和电流方向成右手螺旋关系）。空间无需分区。P安培环路圈入的总电流为，安培环路定理右边，安