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常用均值不等式及证明证明概念：1、调和平均数调和平均数： 2、几何平均数： 3、算术平均数： 4、平方平均数：这四种平均数满足 ，当且仅当时取“=”号均值不等式的一般形式：设函数函数(当 时);(当时）（即则有：当r=-1、1、0、2注意到HnGnAnQn仅是上述不等式的特殊情形，即D(-1)D(0)D(1)D(2)由以上简化，有一个简单结论，中学常用 均值不等式的变形：(1) 对实数a,b，有 (当且仅当a=b时取“=”号)， (2)对非负实数a,b，有，即 (3)对负实数a,b，有 (4)对实数a,b，有 (5)对非负实数a,b，有 (6)对实数a,b，有 (7)对实数a,b,c，有 (8)对实数a,b,c，有 (9)对非负数a,b，有 (10)对实数a,b,c，有 均值不等式的证明：方法很多，数学归纳法数学归纳法（第一或反向归纳）、拉格朗日乘数、拉格朗日乘数法法、琴生不等式、琴生不等式法、排序不等式排序不等式法、柯西不等式柯西不等式法等等用数学归纳法证明，需要一个辅助结论。引理：设A0，B0，则注：引理的正确性较明显，条件A0，B0可以弱化为A0，A+B0,有兴趣的同学可以想想如何证明(用数学归纳法)。原题等价于：。 当n=2时易证；假设当n=k时命题成立，即 。那么当n=k+1时，不妨设是中最大者，则设 用引理。用归纳假设下面介绍个好理解的方法琴生不等式法琴生不等式：上凸函数是函数在区间(a,b)内的任意n个点，则有
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