教师版高考与阿基米德三角形答案

高考与阿基米德三角形试题答案1（2008年江西卷理科第21题）21（本小题满分12分）1证明：（1）设，由已知得到，且，设切线的方程为：由得从而,解得因此的方程为：同理的方程为：又在上，所以，即点都在直线上又也在直线上,所以三点共线（2）垂线的方程为：，由得垂足，设重心所以 解得由 可得即为重心所在曲线方程2（2008年山东卷理科第22题）解：（）证明：由题意设由得，得，所以，因此直线的方程为，直线的方程为所以， 由、得， 因此，即所以三点的横坐标成等差数列（）解：由（）知，当时，将其代入、并整理得：， ，所以是方程的两根，因此，又，所以由弦长公式得又，所以或，因此所求抛物线方程为或（）解：设，由题意得，则的中点坐标为，设直线的方程为，由点在直线上，并注意到点也在直线上，代入得若在抛物线上，则，因此或即或（1）当时，则，此时，点适合题意（2）当，对于，此时，又，所以，即，矛盾对于，因为，此时直线平行于轴， 又，所以直线与直线不垂直，与题设矛盾，所以时，不存在符合题意的点综上所述，仅存在一点适合题意3（2007年江苏卷理科19题）解：（1）设过C点的直线为，所以，即，设A，=，因为，所以，即，所以，即所以（2）设过Q的切线为，所以，即，它与的交点为M，又，所以Q，因为,所以，所以M,所以点M和点Q重合，也就是QA为此抛物线的切线。（3）（2）的逆命题是成立，由（2）可知Q，因为PQ轴，所以因为，所以P为AB的中点。4（2005年江西卷理科22题）解：（1）设切点A、B坐标分别为，切线AP的方程为： 切线BP的方程为：解得P点的坐标为：所以APB的重心G的坐标为 ，所以，由点P在直线l上运动，从而得到重心G的轨迹方程为： （2）方法1：因为由于P点在抛物线外，则同理有AFP=PFB.方法2：当所以P点坐标为，则P点到直线AF的距离为：即所以P点到直线BF的距离为：所以d1=d2，即得AFP=PFB.当时，直线AF的方程：直线BF的方程：所以P点到直线AF的距离为：，同理可得到P点到直线BF的距离，因此由d1=d2，可得到AFP=PFB5（2006年全国卷2 理科第21题）解：()由已知条件，得F(0，1)，0设A(x1，y1)，B(x2，y2)由，即得(x1，1y)(x2，y21)， 将式两边平方并把y1x12，y2x22代入得y12y2 解、式得y1，y2，且有x1x2x224y24，抛物线方程为yx2，求导得yx所以过抛物线上A、B两点的切线方程分别是yx1(xx1)y1，yx2(xx2)y2，即yx1xx12，yx2xx22解出两条切线的交点M的坐标为(，)(，1) 4分所以(，2)(x2x1，y2y1)(x22x12)2(x22x12)0所以为定值，其值为07分()由()知在ABM中，FMAB，因而S|AB|FM|FM|因为|AF|、|BF|分别等于A、B到抛物线准线y1的距离，所以|AB|AF|BF|y1y222()2于是S|AB|FM|()3，由2知S4，且当1时，S取得最小值4广东模考试题19. （本小题满分14分）2010届广州二模(1) 解:设点、的坐标分别为、， 、分别是抛物线在点、处的切线， 直线的斜率，直线的斜率. ,（资料来源：数学驿站 ） , 得. 2分、是抛物线上的点, 直线的方程为,直线的方程为.由 解得点的纵坐标为. 4分(2) 证法1： 为抛物线的焦点， . 直线的斜率为， 直线的斜率为. 6分 .、三点共线. 8分证法2： 为抛物线的焦点， . ， . , 6分 .、三点共线. 8分证法3：设线段的中点为, 则的坐标为.抛物线的准线为.作, 垂足分别为. 由(1)知点的坐标为,.是直角梯形的中位线. 6分根据抛物线的定义得:,.,为线段的中点,.,即.、三点共线. 8分(3)解: 不存在. 证明如下： 假设存在符合题意的圆，设该圆的圆心为， 依题意得，且， 由，得. 四边形是正方形. . 10分点的坐标为， ,得. 把点的坐标代入直线, 得 解得或,点的坐标为或.同理可求得点的坐标为或.由于、是抛物线上的不同两点，不妨令,., . 13分, 这与矛盾.经过、两点且与、都相切的圆不存在. 14分18. (本题满分13分)2009韶关一模解：（I）依题意，圆心的轨迹是以为焦点，为准线的抛物线上2分 因为抛物线焦点到准线距离等于4 所以圆心的轨迹是（II）解法一：由已知，故 将（1）式两边平方并把 （3）解（2）、（3）式得，且有8分抛物线方程为所以过抛物线上A、B两点的切线方程分别是 11分所以为定值，其值为0.13分解法二：由已知N（0，2）， 8分后面解法和解法一相同20（本小题满分14分）2010年深圳市高三年级第二次调研考试数学解：（1）设椭圆的方程为 ，半焦距为.由已知条件，得， 解得 .所以椭圆的方程为：. 分（2）显然直线的斜率存在，否则直线与抛物线只有一个交点，不合题意， 故可设直线的方程为 ， 由 消去并整理得 ， . 分抛物线的方程为，求导得，过抛物线上、两点的切线方程分别是 ， ，即 ， ，解得两条切线、的交点的坐标为，即，分. 分（3）假设存在点满足题意，由（2）知点必在直线上，又直线与椭圆有唯一交点，故的坐标为，设过点且与抛物线相切的切线方