极限思想在数学中的地位与作用及求极限的方法

高等数学解题方法探究极限 极限思想在高等数学中的地位和应用引言： 数学研究的对象可以是特殊的或一般的，可以是具体的或抽象的，可以是静止的或运动的，可以是有限的或无限的，它们之间都是矛盾的对立统一正是由于对象之间的对立统一，为我们解决这些对立统一事物提供了研究的方法有限与无限相比，有限显得具体，无限显得抽象，对有限的研究往往先于对无限的研究，对有限个对象的研究往往有章法可循，并积累了一定的经验而对于无限个对象的研究，却往往不知如何下手。于是将对无限的研究就转化成对有限的研究？就成了解决无限问题的毕经之路反之当积累了解决无限问题的经验之后，可以将有限问题转化成无限问题来解决这种无限化有限，有限化无限的解决数学问题的方法就是有限与无限的思想? 极限的思想是近代数学的一种重要思想，数学分析就是以极限概念为基础、极限理论(包括级数)为主要工具来研究函数的一门学科。所谓极限的思想，是指用极限概念分析问题和解决问题的一种数学思想。用极限思想解决问题的一般步骤可概括为：对于被考察的未知量，先设法构思一个与它有关的变量，确认这变量通过无限过程的结果就是所求的未知量；最后用极限计算来得到这个结果。正文：一、极限理论在数学分析中的地位1. 建立概念的极限思想 极限的思想方法贯穿于数学分析课程的始终。可以说数学分析中的几乎所有的概念都离不开极限。在几乎所有的数学分析著作中，都是先介绍函数理论和极限的思 想方法,然后利用极限的思想方法给出连续函数、导数、定积分、级数的敛散性、多元函数的偏导数,广义积分的敛散性、重积分和曲线积分与曲面积分的概念。如：（1）函数在点连续的定义，是当自变量的增量时，函数值的增量趋于零的极限。（2）函数在点导数的定义，是函数值的增量与自变量的增量之比，当时的极限。（3）函数在上的定积分的定义，是当分割的细度趋于零时，积分和式的极限。（4）数项级数的敛散性是用部分和数列的极限来定义的。2. 解决问题的极限思想极限思想方法是数学分析乃至全部高等数学必不可少的一种重要方法，也是数学分析与初等数学的本质区别之处。数学分析之所以能解决许多初等数学无法解决的问题（例如求瞬时速度、曲线弧长、曲边形面积、曲面体体积等问题），正是由于它采用了极限的思想方法。有时我们要确定某一个量，首先确定的不是这个量的本身而是它的近似值，而且所确定的近似值也不仅仅是一个而是一连串越来越准确的近似值；然后通过考察这一连串近似值的趋向，把那个量的准确值确定下来。这就是运用了极限的思想方法。二、极限理论在数学分析中的作用1. 导数是特殊的极限物体运动的瞬时速度、曲线在某点处的切线斜率、非恒稳电流强度以及化学反应速度等等，都可以归结为是函数 的改变量与自变量的改变量的比值当时的极限，而导数就是在这个基础上下定义的。下面是刘玉琏编著的数学分析第四版上册所给的定义：设函数y = 在有定义，在自变数的改变量是，相应函数的改变量是。若极限 存在，称函数在处可导，此极限称为函数在的导数，若此极限不存在则称函数在不可导。从定义看出，有了极限才有导数，没有极限就没有导数。2. 定积分是和的极限为了计算平面上任意形状封闭曲线围成区域的面积，我们可以将封闭区域分割成个相等的小矩形，用小矩形的面积之和近似代替封闭区域的面积。每个小矩形的面积是已知的，当不断增大时，小矩形就会不断变小，小矩形的面积之和就越来越接近封闭区域的面积，当时，每个小矩形的面积趋于零，所有小矩形的面积之和达到一个极限，这个极限就是封闭区域的面积。同样，要计算物体非等速直线运动从时刻到时刻所经过的路程时，可以将这段时间分割成个时间段，物体在各个时间段里的运动看成是匀速运动，那么物体在段时间里所走的路程之和就可以近似地代替物体从时刻到的路程。越大，这个路程之和就越精确。当时，路程之和也达到一个极限，这个极限就是物体从时刻到时刻所经过的路程。这两个例子虽然实际意义不同，但从抽象的数量关系来看，它们都是函数在区间上具有特定结构的和的极限。定积分的概念就是在“和的极限”这个基础上作出定义的。 数学分析的主要任务是研究函数的各种性态以及函数值的计算或近似计算，主要内容是微积分。在微积分中几乎所有的基本概念都是用极限来定义的。可以说，没有极限理论就没有微积分 三、极限的定义和判别准则1、极限的定义在数学分析中极限有两个定义，一个是数列极限的定义另一个是函数极限的定义。数列极限的定义是：设有数列，是常数。若对任意0，总存在正数N，对任意正数N，有，则称数列的极限是。用逻辑符号可表示如下： 0，N，有。 而函数极限的定义又要分两种情况：（1）当自变量时，函数极限的定义为：设函数在区间（）有定义，是常数。若0，A()，有，则称函数（当时）的极限为。（2）当自变量时，函数极限的定义为：设函数在邻域（）有定义，是常数若0，0，：0（x（），有 ，则称函数当时的极限是。2、极限存在的判别法1 极限存在 左右极限存在且相等;2 夹逼定理;3 连续性定理: 单调有界数列必有极限;4 柯西准则；四、有关极限的定理这里给出函数极限 的情形，至于数列的极限和其它形式的函数极限也都有类似的结果。 （1） 唯一性 如果在点有极限，则极限是唯一的。（2） 有界性 如果在点有极限，则存在正数和M。使当0时，有M。（3）保号性 如果存在，并且A0（或A0)，则存在0，使得对一切满足0的，都有0（0 ）。（4）两边夹定理 如果存在0，使当0时，并且，则。（5）运算法则 设，则；。在B0时，又有 。若，在的某个邻域内有界，则 。五、应用极限思想的各种方法1约去零因子求极限例1：求极限【说明】表明无限接近，但，所以这一零因子可以约去。【解】=42分子分母同除求极限例2：求极限【说明】型且分子分母都以多项式给出的极限,可通过分子分母同除来求。【解】【注】(1) 一般分子分母同除的最高次方；(2) 3分子(母)有理化求极限例3：求极限【说明】分子或分母有理化求极限，是通过有理化化去无理式。【解】例4：求极限【解】【注】本题除了使用分子有理化方法外，及时分离极限式中的非零因子是解题的关键4应用两个重要极限求极限两个重要极限是和，第一个重要极限过于简单且可通过等价无穷小来实现。主要考第二个重要极限。例5：求极限【说明】第二个重要极限主要搞清楚凑的步骤：先凑出，再凑，最后凑指数部分。【解】例6：(1)；(2)已知，求。5用等价无穷小量代换求极限【说明】(1)常见等价无穷小有：当 时,；(2) 等价无穷小量代换,只能代换极限式中的因式；(3)此方法在各种求极限的方法中应作为首选。例7：求极限【解】 .例8：求极限【解】6用罗必塔法则求极限例9：求极限【说明】或型的极限,可通过罗必塔法则来求。【解】【注】许多变动上显的积分表示的极限，常用罗必塔法则求解例10：设函数f(x)连续，且，求极限【解】 由于,于是 =7用对数恒等式求极限 例11：极限 【解】 =【注】对于型未定式的极限，也可用公式=因为例12：求极限.【解1】 原式 【解2】 原式 8利用Taylor公式求极限 例13 求极限 .【解】 , ; .例14 求极限.【解】 .9数列极限转化成函数极限求解例15：极限【说明】这是形式的的数列极限，由于数列极限不能使用罗必塔法则，若直接求有一定难度，若转化成函数极限，可通过7提供的方法结合罗必塔法则求解。【解】考虑辅助极限所以，10n项和数列极限问题n项和数列极限问题极限问题有两种处理方法(1)用定积分的定义把极限转化为定积分来计算;(2)利用两边夹法则求极限.例16：极限【说明】用定积分的定义把极限转化为定积分计算,是把看成0,1定积分。【解】原式例17：极限【说明】(1)该题遇上一题类似，但是不能凑成的形式，因而用两边夹法则求解； (2) 两边夹法则需要放大不等式，常用的方法是都换成最大的或最小的。【解】因为又所以12单调有界数列的极限问题例18：设数列满足（）证明存在，并求该极限；（）计算. 【分析】 一般利用单调增加有上界或单调减少有下界数列必有极限的准则来证明数列极限的存在. 【详解】 （）因为，则.可推得，则数列有界.于是，（因当）， 则有，可见数列单调减少，故由单调减少有下界数列必有极限知极限存在.设，在两边令，得，解得，即.（）因，由（）知该极限为型， (使用了罗必塔法则)故.13利用极限的四则运算例19 求 。解：当0时，由极限的四则运算可得；当= 0时，；当0时， ， 。从而。综上所述，可得14.利用初等函数的连续性设是初等函数。如果有意义，则在处连续，从而。于是，求函数在处的极限就归结为求函数值。例20 求 。解：因为与都在点连续，因此这两个函数的和也在连续。则有注意，如果是初等函数，并且，则幂指数也是初等函数。15.利用初等数学的恒等式将函数或数列化为易于求极限的形式后再计算 常用的恒等式有：三角恒等式，等差数列与等比数列的求和公式，某些自然数集的和的公式，以及根式有理化等。例 21 求 .解：因为 所以：所以 .例22 . 设1，求 .解：因为当，时，而1，故.因此.例23 . 求 解：因 2 ，故 注意：在时，与均没有极限，因此原极限不能写成极限的差的形式。16.利用级数收敛的必要条件求极限例24.求 解：考虑级数，由比值法，1. 故级数收敛，从而有.17.将数列的极限化为定积分设函数在连续 .将分为份：，对于每一个，任取，令，并令，则. 如果将等分：，则，再取，便有即 .特别地，若，便有如果取为小区间的左端点，则有. 例25.计算 解：例26.计算