子空间的交与和.ppt

1,6子空间的交与和,主要内容,子空间的交,子空间的和,目录下页返回结束,子空间的交与和的性质,维数公式,2,一、子空间的交,首页上页下页返回结束,3,子空间的交的运算规律:,1)交换律V1V2=V2V1；,2)结合律(V1V2)V3=V1(V2V3).,由结合律，我们可以定义多个子空间的交：,它也是子空间.,首页上页下页返回结束,4,二、子空间的和,定义8设V1,V2是线性空间V的两个子空间,所谓V1与V2的和，是指由所有能表示成1+2，而1V1，2V2的向量组成的子集合，记作V1+V2，即V1+V2=|=1+2,1V1,2V2,首页上页下页返回结束,5,首页上页下页返回结束,6,注：,首页上页下页返回结束,7,子空间的和的运算规律,1)交换律V1+V2=V2+V1；,2)结合律(V1+V2)+V3=V1+(V2+V3).,由结合律，我们可以定义多个子空间的和：,的向量组的子空间.,它是由所有表示成,1+2+s,iVi(i=1,2,s),首页上页下页返回结束,8,三、子空间的交与和的性质,1.设V1,V2,W都是子空间，那么由WV1与WV2可推出WV1V2;而由WV1与WV2可推出WV1+V2.,2.对于子空间V1,V2,以下三个论断是等价的:,1)V1V2；2)V1V2=V1；3)V1+V2=V2.,首页上页下页返回结束,9,首页上页下页返回结束,10,例2设V1=L(1,2),V2=L(1,3)是R3两个不同的2维子空间，求V1V2和V1+V2，并指它们的几何意义.,解,因为V1和V2是两个不同的子空间，所以,1,2,3线性无关，,从而V1=V2与题设矛盾.,于是由子空间的交与和,的定义可得,V1V2=L(1),V1+V2=L(1,2,3)=R3.,否则3可由1,2线性表示,其几何意义是：V1=L(1,2)是向量1,2所,确定的平面，,V2=L(1,3)是向量1,3所确定,首页上页下页返回结束,11,的平面，,个3维空间.,V1V2是这两个平面的交线，,V1+V2是整,x,o,y,z,1,2,3,V1,V2,首页上页下页返回结束,12,例3设V1,V2分别是P3中齐次方程组,与,首页上页下页返回结束,13,的解空间.,首页上页下页返回结束,的解空间，那么V1V2就是齐次方程组,14,首页上页下页返回结束,15,四、维数公式,首页上页下页返回结束,16,首页上页下页返回结束,17,首页上页下页返回结束,18,首页上页下页返回结束,19,首页上页下页返回结束,20,从维数公式可以看到,和的维数往往要比维数,的和来得小.,例如，在三维几何空间中，两张通,过原点的不同的平面之和是整个三维空间，而其,维数之和却等于4.,由此说明这两张平面的交是,一维的直线.,首页上页下页返回结束,21,推论如果n维线性空间V中两个子空间V1,V2的维数之和大于n,那么V1,V2必含有非零的公共向量.,证,由假设,维(V1+V2)+维(V1V2)=维(V1)+维(V2)n.,但因V1+V2是V的子空间而有,维(V1+V2)n,所以,维(V1V2)0.,这就是说，V1V2中含有非零向量.,首页上页下页返回结束,22,解,因为,V1+V2=L(1,2,3)+L(1,2),=L(1,2,3,1,2),所以向量组1,2,3,1,2的一个极大无关组就,首页上页下页返回结束,23,是V1+V2的一组基.,把向量组1,2,3,1,2,中的每个向量作为矩阵的一列，构造矩阵A，对A,进行初等行变换，化成行最简形：,行变换,首页上页下页返回结束,24,由A的行最简形矩阵,1,2,1线性无关，且2=1-32+41.,于是,1,2,1是V1+V2的一组基，维(V1+V2)=3；,又由A的行最简形知1,2是V1的一组基,维(V1)=2,维(V1V2)=维(V1)+维(V2)-维(V1+V2),=2+2-3=1.,1,2是V2的一组基，维(V2)=2.所以,首