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第二章平面向量,2.5从力做的功到向量的数量积,复习引入:向量的加法向量的减法实数与向量的乘法两个向量的数量积,运算结果,向量,向量,向量,？,如果一个物体在力F作用下产生位移S，那么F所做的功为:,力做功的计算,功为两个向量之间的某种运算，称为数量积,表示力F的方向与位移S的方向的夹角。,1、两向量的夹角,（1）求两向量的夹角，应保证两个向量有公共起点，若没有，须平移使它们有公共起点；,（4）规定：零向量与任意向量垂直.,几点说明：,即,练习,B1,2、射影的定义,如图,过点B作BB1OA于B1,则,|cos叫作向量在方向上的射影,当夹角为钝角、直角时射影应如何呢？,O,O,O,注意：射影是一个数量，不是向量。当为锐角时射影为正值；当为钝角时射影为负值；当为直角时射影为0；当=0时射影为|b|；当=180时射影为|b|.,3、数量积,表示数量而不表示向量,与、不同,它们表示向量；,在运用数量积公式解题时,一定要注意向量夹角的取值范围是,（1）,（2）,（3）,注意：,4、数量积的几何意义,当两个向量相等时,两个向量的数量积等于向量长度的平方,当两个向量都是单位向量时,它们的数量积等于它们夹角的余弦值,两个特殊向量之间怎样进行数量及运算呢？,（2.11）,（2.12）,5、向量数量积的性质,判定两向量垂直的条件,用于计算向量的模,用于计算向量的夹角,以及判断三角形的形状,1.,5、数量积的运算律,分析：可利用定义讨论,解,例2在三角形ABC,设边BC,CA,AB的长度分别为a,b,c,证明:,a2=b2+c2-2bccosAb2=c2+a2-2cacosBc2=a2+b2-2abcosC,A,B,C,a,b,c,同理可证其他二式.我们把这个结果称为余弦定理.,证明如图,设,则,例3证明菱形的两条对角线互相垂直.,A,B,C,D,O,证明菱形ABCD中,AB=AD,即菱形的两条对角线互相垂直.,例4已知单位向量e1,e2的夹角为60,求向量a=e1+e2,b=e2-2e1夹角.,解由单位向量e1,e2的夹角为60,得,e1e2=,由可得,又|a|2=|e1+e2|2=|e1|2+2e1e2+|e2|2=3,|b|2=|e2-2e1|2=4|e1|2-4e1e2+|e2|2=3,所以|a|=|b|=,又0,所以=120,（1）,（5）若，则对于任一非零有,（2）,（3）,（7）对于任意向量都有,（6）若，则至少有一个为,判断下列命题是否正确：,公式变形,对功W=|F|s|cos结构分析,抽象,平面向量数量积的定义ab=|a|b|cos,特殊化,五条重要性质,数形,结合,几何意义,小结,（1）向量的数量积的定义,（2）平面向量数量积的物理意义和几何意义,小结,（3）
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