2011年北京大学数学分析试题解答

本试题解答由 SCIbird 提供 2011 年北京大学研究生入学考试年北京大学研究生入学考试 数学分析试题解答数学分析试题解答 SCIbird 说明：印象中根据当初论坛上的讨论，北大 2011 年试题的回忆版与原题多少有 些出入，这里根据自己的理解来确定试题。因为对试卷回忆版第 说明：印象中根据当初论坛上的讨论，北大 2011 年试题的回忆版与原题多少有 些出入，这里根据自己的理解来确定试题。因为对试卷回忆版第 5 题搞不清楚， 所以略去此题。其它试题解答，比较基础的试题就写得相对简略一些，难一些 的试题就写得详细一些。试题后的评注是个人对试题的看法。 题搞不清楚， 所以略去此题。其它试题解答，比较基础的试题就写得相对简略一些，难一些 的试题就写得详细一些。试题后的评注是个人对试题的看法。 1. 用确界存在定理证明，如果函数用确界存在定理证明，如果函数( )f x是区间是区间I上的连续函数，则上的连续函数，则( )f I是一个 区间。 是一个 区间。 证明：为证明证明：为证明( )f I是一个区间，实际上只需要证明连续函数具有价值性质即可。是一个区间，实际上只需要证明连续函数具有价值性质即可。 不妨只考虑不妨只考虑( )( )f af b情形，其它情况同理。情形，其它情况同理。 任取实数任取实数c，满足，满足( )( )f acf b下面利用确定存在定理证明下面利用确定存在定理证明( , )a b ， 使得 ， 使得( )fc =. 所用方法非常经典，读者最好熟记此方法。所用方法非常经典，读者最好熟记此方法。 记集合记集合 , :( )Stfa btc=，因为，因为( )f ac，所以，所以aS，因此如此定 义的集合非空。由确界存在定理知，上确界 ，因此如此定 义的集合非空。由确界存在定理知，上确界supS =存在且。由存在且。由( )f x连续函数， 所以 连续函数， 所以( )fc 且且ab. 下证下证( )fc =： 采用反证法。假设采用反证法。假设( )fc ，因为，因为是内点，所以由连续函数的局部保号性 可知存在 是内点，所以由连续函数的局部保号性 可知存在的一个邻域的一个邻域(,) , Ua b =+， 使得在， 使得在U上满足上满足( )f xc+. 此时此时 | ()| ( )|()( )f xhf xf xhf x+=+ 当当( )0f x时，讨论类似，此时时，讨论类似，此时 | ()| ( )| ()( )f xhf xf xhf x+=+ 当当( )0f x =时，时，| ()| ( )|()f xhf xf xh+=+. 本试题解答由 SCIbird 提供 以上三种情况不论哪一种，均有以上三种情况不论哪一种，均有 0 ()( ) lim h f xhf x h + 存在。存在。 评注：本题不难，也没有什么巧法，直接分类讨论就行了。众所周知，上述命 题的逆命题不成立，经典反例 评注：本题不难，也没有什么巧法，直接分类讨论就行了。众所周知，上述命 题的逆命题不成立，经典反例( )f xx=，其绝对值函数，其绝对值函数| ( )|f xx=在在0 x =点不 可导。这个反例也用于构造一个可导函数序列，使得其极限函数在 点不 可导。这个反例也用于构造一个可导函数序列，使得其极限函数在0 x =处不可 导，如 处不可 导，如 12 ( ) n n fxx=+. 4. 构造两个以构造两个以2为周期的连续函数，使得其为周期的连续函数，使得其 Fourier 级数在级数在0,上一致收敛 于 上一致收敛 于 0. 证明：首先容易想到常函数证明：首先容易想到常函数( )0f x 满足题意，这是平凡情形。对非平凡情形， 因为涉及一致收敛性，所以考虑光滑函数是比较自然的想法。 满足题意，这是平凡情形。对非平凡情形， 因为涉及一致收敛性，所以考虑光滑函数是比较自然的想法。 这方面有一个重要定理（一致收敛的充分条件） ：这方面有一个重要定理（一致收敛的充分条件） ： 设设( )f x是以是以2为周期的连续函数，其导函数为周期的连续函数，其导函数( )f x是是 Riemann 可积的，则可积的，则 ( )f x对应的对应的 Fourier 级数在级数在, 上一致收敛。上一致收敛。 根据上面的定理可知， 为构造满足题意的连续函数根据上面的定理可知， 为构造满足题意的连续函数( )f x， 只需要在， 只需要在0,上 恒为 上 恒为 0，在，在, 0上是光滑函数且上是光滑函数且(0)()0ff=即可即可. 类似的例子非常多，如类似的例子非常多，如( )()f xx x=+， 2 ( )()g xxx=+等等。等等。 评注：如果不知道上面那个一致收敛定理也无妨，不过要麻烦一些。根据经验， 构造一致收敛的 评注：如果不知道上面那个一致收敛定理也无妨，不过要麻烦一些。根据经验， 构造一致收敛的 Fourier 级数例子，最简单自然的想法是在光滑函数范畴里寻 找，干脆就是多项式。多项式是可以直接计算出 级数例子，最简单自然的想法是在光滑函数范畴里寻 找，干脆就是多项式。多项式是可以直接计算出 Fourier 级数的系数级数的系数 n a和和 n b， 再证明它们是优级数。 ， 再证明它们是优级数。 本试题解答由 SCIbird 提供 另外，根据费耶定理，连续函数另外，根据费耶定理，连续函数( )f x的的 Fourier 级数如果收敛，则必收敛 于 级数如果收敛，则必收敛 于( )f x自身。这也提示我们构造的函数自身。这也提示我们构造的函数( )f x在在0, 上必须等于上必须等于 0. 当然，根据 连续性条件，切莫漏掉条件 当然，根据 连续性条件，切莫漏掉条件(0)()0ff=. 5. 本题回忆版试题似乎缺条件，这里略去。本题回忆版试题似乎缺条件，这里略去。 6. 设函数设函数(, )f x y在定义域的某个点上存在非零方向导数，且在三个方向的方向 导数均相等（不为零） ，证明： 在定义域的某个点上存在非零方向导数，且在三个方向的方向 导数均相等（不为零） ，证明：(, )f x y在该点不可微。在该点不可微。 证明：根据题意可排除证明：根据题意可排除(, )f x y恒为常数的情况，我们用反证法证明本题。恒为常数的情况，我们用反证法证明本题。 假设假设(, )f x y在该点可微分，则存在惟一的常数在该点可微分，则存在惟一的常数,A B满足满足 (, )df x yAdxBdy=+. 记单位方向向量为记单位方向向量为(cos,sin)=e，则对应方向导数为，则对应方向导数为cossinAB+. 记满足题意的三个方向单位向量为记满足题意的三个方向单位向量为 1 (, ) ,( , ) ,(, )u vs tp q= 23 eee 因为这三个方向单位向量两两不共线，所以存在不为因为这三个方向单位向量两两不共线，所以存在不为 0 的实数的实数, ，使得，使得 231 =+eee 以上向量与自身做内积得到模的平方以上向量与自身做内积得到模的平方 2 23 2 12=+ee 由上式可知由上式可知1+ . 若不然，由上面等式关系若不然，由上面等式关系 2 22 323 2 1()21=+=+=eeee 这说明这说明 2 e与与 3 e共线，与题意矛盾！共线，与题意矛盾！ 由由 2 e与与 3 e不共线条件还得到不共线条件还得到0sqtp这一关系。这一关系。 视视,A B为未知量，考虑下面二元一次线性方程组为未知量，考虑下面二元一次线性方程组(这里这里0m ) 本试题解答由 SCIbird 提供 uAvBm sAtBm pAqBm += += += 这个线性方程组对应的系数矩阵秩为这个线性方程组对应的系数矩阵秩为2 但是其增广矩阵对应的行列式但是其增广矩阵对应的行列式(1)()0msqtp=， 这说明增广矩阵 的秩为 ， 这说明增广矩阵 的秩为3，方程组无解，即满足题意的，方程组无解，即满足题意的,A B不存在。不存在。 所以所以(, )f x y在该点不可微。 在该点不可微。 评注：数学中很多解答的写法和证明方法都是倒过来的，比如笔者是先求出增 广矩阵的行列式 评注：数学中很多解答的写法和证明方法都是倒过来的，比如笔者是先求出增 广矩阵的行列式(1)()0msqtp=， 然后发现还需要证明， 然后发现还需要证明1+以及以及 0sqtp这两个关系式。这两个关系式。 求增广矩阵的行列式可利用下面的初等变换计算技巧求增广矩阵的行列式可利用下面的初等变换计算技巧 00(1)uvmsptqm stmstmstm pqmpqmpqm + 本题不是难题，但却是一道综合性很强的好题，将数学分析与线性代数结 合到一起。证明思路还是很自然的，需要细致的分析论证，分数全拿到也不是 那么容易的。笔者这里的方法虽然直接，但略显笨拙，不知道有没有更巧妙的 方法。 本题不是难题，但却是一道综合性很强的好题，将数学分析与线性代数结 合到一起。证明思路还是很自然的，需要细致的分析论证，分数全拿到也不是 那么容易的。笔者这里的方法虽然直接，但略显笨拙，不知道有没有更巧妙的 方法。 7. 设设D为为 2 R上的无界闭集，试构造一个函数上的无界闭集，试构造一个函数(, )f x y，使它在一个由光滑曲线 所围成的无界闭区域 ，使它在一个由光滑曲线 所围成的无界闭区域D上的二重广义积分 上的二重广义积分 (, ) D f x y dxdy 发散。 发散。 证明：题目中没有要求函数证明：题目中没有要求函数(, )f x y连续，于是构造起来就相对容易了。容易看 出，如果无界闭区域 连续，于是构造起来就相对容易了。容易看 出，如果无界闭区域D对应的面积对应的面积()S D是无穷大，此时取是无穷大，此时取(, )1f x y=即可。因 此不妨设 即可。因 此不妨设0()S D+. 本试题解答由 SCIbird 提供 定义点集定义点集 22 (, )| n x yxyn =+ 因为闭区域因为闭区域D是无界的，所以至多除有限个是无界的，所以至多除有限个n，点集，点集n n D=I非空。非空。 又又0()S D+，所以对应点集，所以对应点集n n D=I的面积也是有限的。的面积也是有限的。 记记 11111 ,() nnnnn DDD + =I，则，则 n DD=U以及以及 n D是互不相交的。是互不相交的。 不妨设每个不妨设每个 n D均非空集，记面积均非空集，记面积 () n n D S Ddxdy= 这里利用了雅可比矩阵这里利用了雅可比矩阵( ( )JTt的正定性。的正定性。 这就产生了矛盾！因此这就产生了矛盾！因此R: n T D是单射。是单射。 评注：上述证明关键地方利用了区域的凸性和雅可比矩阵评注：上述证明关键地方利用了区域的凸性和雅可比矩阵( )JT x的正定性。函 数 的正定性。函 数( ),(1)f txy Tt xty=的构造主要是为了生成雅可比矩阵的构造主要是为了生成雅可比矩阵( )JT x， 这 种构造方法是比较常见的方法。 原来的证明是利用“逆映射定理” ，但后来发现问题。之后给出了上面的证 明，以附图形式贴到论坛上。不过网上广为流传的 ， 这 种构造方法是比较常见的方法。 原来的证明是利用“逆映射定理” ，但后来发现问题。之后给出了上面的证 明，以附图形式贴到论坛上。不过网上广为流传的PDF文档里还是“逆映射定 理”那个错误证明（没法改了） ，时间一长一忙就把这事忘了。这次重新整理解 答时想起了这个问题，借此机会进行订正。本题以上面的解答为准。 文档里还是“逆映射定 理”那个错误证明（没法改了） ，时间一长一忙就把这事忘了。这次重新整理解 答时想起了这个问题，借此机会进行订正。本题以上面的解答为准。 本试题解答由 SCIbird 提供 9. 设正项级数设正项级数 1 n n a = 收敛，证明极限收敛，证明极限 2 12 lim 111 n n n aaa + 存在。存在。 证明 1：下面的证明出自论坛上证明 1：下面的证明出自论坛上xjsh网友之手，核心想法是利用网友之手，核心想法是利用Carlemann不 等式技巧，详细内容见谢惠民等编著的数学分析习题课讲义 （这是本值得推 荐的好书）下册。 由均值不等式，得 不 等式技巧，详细内容见谢惠民等编著的数学分析习题课讲义 （这是本值得推 荐的好书）下册。 由均值不等式，得 12 12 111 1 n n n aaa naaa + 于是得到不等式估计 于是得到不等式估计 2 12 12 111 n n n n n aaa aaa + 下面利用 下面利用Carlemann不等式技巧对不等式技巧对 12n naa a进行放缩。 因为 进行放缩。 因为 1212 12 (1 )(2)()(1 )(2)()1 ! n nn n n n aanaaana aaa nnn + = 所以 所以 2 12 12 12 (1 )(2)() 111 ! n n n n n aanann n aaa nn aaa + + 由正项级数 由正项级数 1 n n a = 收敛，由收敛，由Abel变换可知（不错的小题）变换可知（不错的小题） 12 (1 )(2)() 0 n aana n + 接下来需要对 接下来需要对!n进行估计，可利用斯特林公式（也可用其它方法） ，知 进行估计，可利用斯特林公式（也可用其它方法） ，知 lim ! n n n e n = 由夹逼定理，得 由夹逼定理，得 2 12 lim0 111 n n n aaa = + 本试题解答由 SCIbird 提供 证明 证明2：记：记 2 12 111 n n n b aaa = + 以及以及 12nn Saaa=+，则，则0,0 nn Sb. 因为正项级数因为正项级数 1 n n a = 收敛，所以收敛，所以0 ，0N，使得当，使得当mnN时，时， mn SS时，时， 2122nnnnn SSaaa + =+ 由柯西不等式，得到由柯西不等式，得到 1 2 2 2 12 2 111 ()() n n n nn n aaan aaa + + + 所以所以 12 2 1 2 22 111 nnn nnn n aaa aaa + + + + +时，有时，有 2122 22 2 12 (2 )4 04 111111 n n nnn nn b aaaaaa + =时，有下面的不等式估计：时，有下面的不等式估计： 2 22 212 121122 (21)8 02 111111 n n n n nn bb aaaaaa + + + =使得使得 |( )|, n fxMx n 再由拉格朗日中值定理再由拉格朗日中值定理( )( )( )() nnn f sf tfst=，可知，可知 |( )( )| , , nn f sf tM sts ta b 上式左侧取极限，得到上式左侧取极限，得到 | ( )( )| , , f sf tM sts ta b 这说明极限函数这说明极限函数( )f x在在 , a b上一致连续，因此上一致连续，因此( )f x在在 , a b上连续。上连续。 评注：证明没有什么新意，应该是送分题。意识到利用