计算机控制技术-8能控和能观标准型

2020/5/31,1,第三节SISO系统状态空间表达式的能控和能观标准型,能控标准型（第一、第二能控标准型）能观标准型（第一、第二能观标准型）,2020/5/31,2,标准型：,在一组特定的基底下，状态空间表达式所具有的某种特定形式。,能控标准型：状态反馈系统设计能观测标准型：状态观测器的设计,前提：线性非奇异变换，不改变系统能控性和能观测性,2020/5/31,3,第二能控标准型（常用能控标准型式）,其中：,选取原则：以能控判别阵列向量的组合为基底，化A为友矩阵,2020/5/31,4,非奇异变换阵为：,是相乘的结果,2020/5/31,5,推导目的：要得出,2020/5/31,6,推导过程：令由列向量的线性组合组成，此时这些向量仍然是列线性无关的。变换阵取法如下：,其中：,（1）,写成矩阵形式有：,2020/5/31,7,根据式（1）有：,所以，写成矩阵形式，就是我们在推导目的中所说的：,2020/5/31,8,2020/5/31,9,所以,2020/5/31,10,定理2说明：,2）只有系统是状态完全能控时，才能写成第二能控标准型。在求系统的第二能控标准型时，首先要判断系统的能控性，不能控则不能写成能控标准型。,3）当传递函数阵没有零极点相约时，和是系统传递函数分母和分子多项式系数。直接得到第二能控标准型。,1）其中是系统的不变量，即特征多项式的系数,2020/5/31,11,例：设线性定常系统用下式描述式中：试将状态方程化为第二能控标准型。注意：非特别标明，能控标准型指的是第二能控标准型。,解：,1）判断系统能控性,2020/5/31,12,2）计算特征多项式,3）计算变换阵，并化为第二能控标准型,2020/5/31,13,例：写出以下传递函数的第二能控标准型。,所以：,第二能控标准型为：,2020/5/31,14,1、第一能观测标准型（对偶于第一能控标准型）,选取原则：直接以能观测判别阵的逆为基底,2020/5/31,15,证明思路：用对偶原理证明，第一能观测标准型，就是其对偶系统的第一能控标准型。,的第一能控标准型为：,2020/5/31,16,根据对偶原理，的第一能控标准型就是的第一能观测标准型,根据对偶关系，的第一能控标准型为：,注：变换阵互为转置逆：,2020/5/31,17,定理3说明：,2）只有系统是状态完全能观测时，才能写成能观测标准型。所以，在求系统的能观测标准型时，首先要判断系统的能观测性，不能观测则不能写成能观测标准型。,3）将系统化为第一能观测标准型的非奇异变换矩阵，就是能观测性判别矩阵Qo的逆。,1）其中是系统的不变量，即特征多项式的系数,4）互为对偶的系统，化为能控标准型和能观测标准型的非奇异矩阵互为转置逆。,2020/5/31,18,2、第二能观测标准型（常用能观测标准型）,以能观测判别矩阵行向量的组合为基底，对偶于第二能控标准型,其中：,2020/5/31,19,非奇异变换阵为：,2020/5/31,20,定理4说明：,2）只有系统状态完全能观时，才能写成能观测标准型,3）当传递函数阵没有零极点相约时，和分别是系统传递函数阵分母和分子多项式的系数。,1）其中是系统的不变量，即特征多项式的系数,4）互为对偶的系统，化为能控标准型和能观测标准型的非奇异变换阵互为转置逆。,2020/5/31,21,例：设线性定常系统用下式描述式中：试将状态方程化为第二能观测标准型。注意：非特别标明，能观测标准型指第二能观测标准型,解：,1）判断系统能观测性,2020/5/31,22,3）计算变换阵，并化为第二能观测标准型,2）计算特征多项式,2020/5/31,23,例：写出以下传递函数的第二能观测标准型。,所以：,第二能观测标准型为：,2020/5/31,24,本节小结：,1、SI系统的能控标准型,1）化标准型的条件：状态完全能控,2）标准型的形式：第一、第二能控标准型,2、SO系统的能观测标准型,注意：1）传递函数没有零极点对消，直接写出第二能控（观）标准型2）非特殊指定，标准型指的是第二能控（观）标准型,3）化标准型的变换阵,1）化标准型的条件：状态完全能观测,2）标准型的形式：第一、第二能观测标准型,3）化标准型的变换阵,2020/5/31,25,第四节对偶原理,线性定常系统的对偶关系时变系统的对偶关系对偶原理,2020/5/31,26,一、线性定常系统的对偶关系,线性定常系统1、2如下：,如果满足如下关系，则称两系统是互为对偶的：,有的教材定义成这种形式：,2020/5/31,27,1、线性定常系统对偶关系示意图：,输入r维，输出m维,输入m维，输出r维,2020/5/31,28,2、互为对偶关系的系统之间的性质：,1）互为对偶的系统，其传递函数阵是互为转置的。,2）互为对偶的系统，其特征方程是相同的。,2020/5/31,29,设和是互为对偶的两个系统，则的能控性等价于的能观测性；的能观测性等价于的能控性。,二、线性定常系统的对偶原理,2020/5/31,30,所以能观测。,说明：利用对偶原理，可以把对系统能控性分析转化为对其对偶系统能观测性的分析。从而沟通了控制问题和估计问题之间的关系。,反之亦然。,证毕,2020/5/31,31,本节小结：,3、对偶原理,沟通了能控性（控制问题）和能观测性（估计问题）,2020/5/31,32,第五节线性系统的结构分解,能控性分解能观测性分解能控能观测性分解,2020/5/31,33,分解目的：,除了对角线和约当标准型可能明显识别外，其它能控、能观测、不能控和不能观测部分不能显性地表示出来。1）最小实现的理论依据：本质上反映状态空间描述的特性2）状态反馈的基础：能控部分极点可任意配置。3）状态重构的前提：不能观测部分设计降维状态观测器。,2020/5/31,34,则存在非奇异变换：,将状态空间描述变换为：,其中：,非奇异变换阵：前n1列为Qc中n1个线性无关的列，其余列保证Rc非奇异任选,写成方程为：,2020/5/31,35,能控性分解示意图：,其中是n1维能控部分：,其中是n-n1维不能控部分：,u不能直接控制，然而未来信息中又不含的信息。,2020/5/31,36,请判断其能控性，如果状态不完全能控，请按能控性进行分解。,例：线性定常系统动态方程如下：,2）按能控性进行分解,2020/5/31,37,取Qc中线性无关的前两列为Rc中的前两列，构造变换阵如下：,由此可求出：,2020/5/31,38,二、按照能观测性分解,目的：将系统显性地分解为能观测和不能观测两部分。观测器设计基础。,定理2：如果线性定常系统：状态不完全能观测，,它的能观测性判别矩阵的秩：,则存在非奇异变换：,将状态空间描述变换为：,其中：,2020/5/31,39,非奇异变换阵：前n1行为Qo中n1个线性无关的行，其余行保证Ro的逆非奇异任选,写成方程为：,2020/5/31,40,能观测性分解示意图：,能观测部分,不能观测部分,其中是n1维能观测部分,其中是n-n1维不能观测部分,对y没有直接影响，而中又不含的信息。,2020/5/31,41,判断其能观测性，如果状态不完全能观，请按能观测性进行分解。,例：线性定常系统动态方程如下：,2）按能观测性进行分解,2020/5/31,42,取Qo中线性无关的前两行为Ro逆中的前两列，构造变换阵如下：,由此可以求出Ro：,2020/5/31,43,三、按照能控和能观测性分解,目的：将系统显性地分解为能控能观测、能控不能观测、不能控能观测、不能控不能观测四部分。,2020/