2015考研数学讲解之反三角函数

1 “画龙点睛”数学专题讲解“画龙点睛”数学专题讲解 反三角函数反三角函数 此部分内容较为生僻， 一般不会作为重难点考察， 但是穿插在众 多考研题目当中，函数、积分、无穷级数以及微分方程等的求解或计 算过程中， 尤其在遇到反三角函数时， 其定义域和值域在来回转化中， 经常容易被考生遗漏或弄错， 所以我们用专题讲解的方式进行一下说 明，还请考生注意。 此部分内容较为生僻， 一般不会作为重难点考察， 但是穿插在众 多考研题目当中，函数、积分、无穷级数以及微分方程等的求解或计 算过程中， 尤其在遇到反三角函数时， 其定义域和值域在来回转化中， 经常容易被考生遗漏或弄错， 所以我们用专题讲解的方式进行一下说 明，还请考生注意。 一、反三角函数一、反三角函数 在数学中，反三角函数反三角函数是三角函数的反函数。 下表列出基本的反三角函数： 名称名称 常用符号常用符号 定义定义 定义域定义域 值域值域 反正弦反正弦 反余弦反余弦 反正切反正切 反余切反余切 反正割反正割 反余割反余割 【说明】如果允许是复数，则 的值域只适用它的实部。 二、反三角函数之间的关系二、反三角函数之间的关系 1. 补角补角: 考研论坛-考研人的精神家园 b b s .k a o y a n .co m 考研论坛 2 2. 负数参数负数参数: 3. 倒数参数倒数参数: （） （） （） （） 三、反三角函数重要等式三、反三角函数重要等式 1.arcsin x + arccos x 考研论坛-考研人的精神家园 b b s .k a o y a n .co m 考研论坛 3 2.arctan x + arccot x 四、反三角函数一般解四、反三角函数一般解 每个三角函数都周期于它的参数的实部上， 在每个 2 区间内通过它的所有 值两次。正弦和余割的周期开始于 2 k - /2 结束于 2 k + /2(这里的 k 是 一个整数)，在 2 k + /2 到 2 k + 3 /2 上倒过来。余弦和正割的周期开始 于 2 k 结束于 2 k + ，在 2 k + 到 2 k + 2 上倒过来。正切的周期开 始于 2 k - /2 结束于 2 k + /2，接着(向前)在 2 k + /2 到 2 k + 3 /2 上重复。余切的周期开始于 2 k 结束于 2 k + ，接着(向前)在 2 k + 到 2 k + 2 上重复。 这个周期性反应在一般反函数上这个周期性反应在一般反函数上: 五、反三角函数的导数五、反三角函数的导数 对于的实数值的简单导数如下对于的实数值的简单导数如下: 考研论坛-考研人的精神家园 b b s .k a o y a n .co m 考研论坛 4 【说明】以下内容只需简单看一下即可，因为有些求导是十分基本的，而有些则是仅仅为了 说明上述公式推导的，所以在学习的时候看一遍，自己区分，相信这些如下的求导思路和方 法会让你有所体会。另外，请尤其注意求导后的区间范围选择！ 1. 设，得到: 因为要使根号内部恒为正，所以在条件加上 2. 设，得到: 因为要使根号内部恒为正，所以在条件加上 3. 设，得到: 4. 设，得到: 5. 设，得到: 因为要使根号内部恒为正，所以在条件加上，比较容易被忽略是产生的绝对 值的定义域是，其所产生的反函数皆为正，所以需要加上绝对值 6. 设，得到: 因为要使根号内部恒为正，所以在条件加上，比较容易被忽略是产生的绝对 值的定义域是，其所产生的反函数皆为负，所以需要加 上绝对值 考研论坛-考研人的精神家园 b b s .k a o y a n .co m 考研论坛 5 六、表达为定积分六、表达为定积分 积分其导数并固定在一点上的值给出反三角函数作为定积分的表达式: 当 x 等于 1 时，在有极限的域上的积分是瑕积分，但仍是良好定义的。 【说明】以上部分只需掌握前四个公式即可，后两个几乎从不出现，但是结合 前面求到的相关说明，为了使内容完整，所以都依次罗列出来了。考生学习时， 请一定注意“前后呼应” ！ 【说明】以上部分只需掌握前四个公式即可，后两个几乎从不出现，但是结合 前面求到的相关说明，为了使内容完整，所以都依次罗列出来了。考生学习时， 请一定注意“前后呼应” ！ 七、无穷级数七、无穷级数 【说明】此部分内容相对较为困难，但是一些反三角函数的展开或相关技巧方 法的学习并不超纲，所以，请认真阅读学习下面的知识，只需要注意前四个反 三角函数的无穷级数展开问题。 【说明】此部分内容相对较为困难，但是一些反三角函数的展开或相关技巧方 法的学习并不超纲，所以，请认真阅读学习下面的知识，只需要注意前四个反 三角函数的无穷级数展开问题。 如同正弦和余弦函数，反三角函数可以使用无穷级数计算如下: 考研论坛-考研人的精神家园 b b s .k a o y a n .co m 考研论坛 6 【注意】以下内容超纲，无需掌握。【注意】以下内容超纲，无需掌握。 欧拉发现了反正切的更有效的级数: 考研论坛-考研人的精神家园 b b s .k a o y a n .co m 考研论坛 7 (注意对 n= 0 在和中的项是空积 1。) 八、反三角函数的不定积分八、反三角函数的不定积分 使用分部积分法和上面的简单导数很容易得