2016年全国高中数学联合竞赛

2 0 1 6年第 1 1 期 2 1 2 0 1 6年 全 国 高 中 数 学 联 合 竞 赛 中图分类号： G 4 2 4 7 9 文献标识码：A 文章编号：1 0 0 56 4 1 6 ( 2 0 1 6 ) 1 1 0 0 2 1 0 7 第 一 试 一 、填空题( 每小题 8分， 共 6 4分) 1 设实数 a 满足 a 9 a 。 一1 l al a 1 则 a的取值范围是一 2 设复数 z a w满足 l I = 3 ， ( +历) ( 一w)= 7+ 4 i ， 其中， i 为虚数单位 ， 、 历分别表示 、 W的共 轭复数 则( + 2 历 ) ( 三 一 2 w ) 的模为一 3 设正实数 K a Y 、 W均不等于 1 若 l o g U W +l o g W =5， l o g +l o g =3， 则 l o g M的值为一 4 袋子 中装有两张 1 O元纸币和三张 1 元纸币， 袋子 B中装有 四张 5元纸币和三 张 l 元纸币 现随机从两个袋子中各取 出两 张纸币 则 中剩下的纸币面值之和大于 B 中剩下的纸币面值之和的概率为一 5 设 P为一圆锥的顶点 ， 、 、 c为其底 面圆周上的三点 ， 满足 A B C= 9 0 。 ， M 为 P 的中点 若 A B= 1 ， A C= 2 ， A P= ， 则二面角 M B C A的大小为 6 设 函数 )：s i n 4 k x+ C O S 4 ( Z +) 若对任意实数 a ， 均有 ( ) I a a+ 1 = I( ) l R ， 则 k的最小值为 7 已知双曲线 c ： 一 =1 ， 左、 右焦点 分别为 F 、 过点 作一直线与双曲线 C 的右半支交于点 P 、 Q ， 使得 F P Q= 9 0 。 则 F P Q的内切圆半径为一 8 设 a 1 、 a 2 、 a 3 、 a 4 为 1 ， 2 ， ， 1 0 0中的四 个互不相同的数 ， 满足 ( a + a ； + a ； ) ( a ； + a + a ) = ( a 1 a 2 +a 2 a 3 +a 3 a 4 ) 2 则这样的有序数组 ( a ， a ， a ， a ) 的个 数为一 二、 解答题 ( 共 5 6分) 9 ( 1 6分) 在 A B C中， B AC+2 C=3C A C B 求 s i n C的最大值 1 0 ( 2 O分) 已知 ) 为 R上 的奇函数， -厂 ( 1 ) =1 ， 且对任意 3 定义数列 a ： a1=2， a n = a n _ 1 + _ ( n ： 2 ，3 ， ) ， + l I ( n 2 ，3 ， ) ， 其中， r 表示不小于实数 的最小整数 证 明 ： 对 = 3 ， 4 ， ， P一1 ， 均有 忍 I ( p a 一 1 +1 ) 参 考 答 案 第 一 试 一 n ( _ ， 一 ) 由 al a I j a 0 则由原不等式得 一 19 21 11 a 2 又 口 5 7 c 时， 任意一个开区间( 口 ， 0+1 ) 均包含 ) 的一个完整周期 ， 此时 ， ( ) I n1 ，满 m 足条件并 以 g为公 比的 等比数列 n ， a ， a ， 。 的个数 ， 即为满足不 等 式凡 1 0 ) ， 点 Q ( 一 a ， 0 ) ( a 0 ) ， 并设 C 、 C 2 的圆心分别为 0 l ( 1 ， Y 1 ) 、 0 2 ( 2 ， Y 2 ) L = 1 后 = + 0 一 = 2 0 1 6年第 1 1 期 设 z P 0 ： = m y a ( m 0 ) ， 将其与抛物线 C的方程联立， 消去 得 一 2 p ， ， +2 p a=0 因为 P Q与抛物线 c切于点 P， 所 以， 方 程 的判别式为 - = 4 p m 一 4 2 p 0 = 0 ： 丝 P 进而 ， 点 p ( x P ， Y 尸 )=( a ， 2 p a ) 故I P Q I =4 1 + m I Y P 一 0 l 图 5 v 一 2 p a = 由l P Q J =2 j 4 a + p a= 4 注意到， O P与圆 C 、 C 切于点 P 故 O P_ l - 0 1 0 2 设 圆 C 、 与 轴分别切于点 、 ， 如 。、 I 1 1 一 、 ， M Q 0 F 图 5 则 O 0 1 、 O 0 2分别为 P O M、 P O N的 平分线 故 0 O 0 = 9 0 。 由射影定理知 y 1 Y 2=01 M 02 N ：01 P 02 P =OP2= 2 P + 2 P = a2+ p a 结合式有 Y l Y 2=a + p a=43 a 由 0 、 P 、 0 三点共线得 Y l 一 2 p a Y 0 P 0 Ma Y l Y P U 1 U l I VI Y l l 一 一 J 2 p a Y 2 = 一= 一= 一= 一 Y P Y 2 P D 2 0 2 N Y 2 2 令 T= Y + ， 于是 ， 圆 c 、 C 2 的面积之 和为7 c 根据题意， 仅需考虑 取最小值的情形 根据式、 知 = ( y 。 + y ： ) 一 2 y y ： = 4 2 y 2 z 一2y y z = _ = ( 4 3 。 ) 一 2 ( 4 3 口 ) 一( 二 ： ) ( 二 ： ) 1一口 作代换 t =1 一 a 由4 t = 4 4 a = 2 p a 0 t 0 ： ) ： 3 + + 4 2 3 + 4 ： 2 + 4 t 当且仅当 = 时， 上式等号成立 。= ： 污 结合式得 卫一 二 堡 ： 一 2 一 n 一 1 故 点 F ) =1 ，。 加试 一 2 i +1) ， a 2 o 1 7 =a 1 由已知得对 i =1 ， 2 ， ， 2 0 1 5， 均有 一 2+ 1 1 1 + 1 2 ai ai ai + l0 一 一 + 1 + 1一 + l 若a 2 0 1 6 一 a ； o ， 则P 0 以下考虑 a 一 a 0的情形 由均值不等式得 ( 。 一 p 一 + 一 ， 上 = P 令 一 中 等 数 学 2 0 1 6 2 0 1 6 、1 = ( i= 1 。 ( i= 12 016 2 016 2 ) 1 、 = n ( 1 ) = 1 而 2 0 1 6 1= 1 P 当 ： 。 ： =a 2 o 1 6 ： 1 时 ，上述不等 式等号成立， 且有9 a 1 1 口 ； + ( i =1 ， 2 ， ， 2 0 1 5 ) ， 此时， P= 综上 ， 所求最大值为 l_ 二、 证法 1 如 图 6 ， 作 B A C的平 分 线， 与 B C交 于点 P 设 A C X 、 A B Y的外 接 圆分别 为 r 1 、 图 6 由内角平分线的性,质知L B P= A B 由条件得 = A B 一PX BX +BP AB BP PY CY+CP AC CP = PC PX =BP P Y 则点 P对 圆 ， 、 厂 2的幂相等 从而 ， 点 P在圆 厂 ， 、 的根轴上 于是 ， P上 0 0 ， 这表 明， 点 、 关于 直线 A P对称 因此 ， A U V为等腰三角形 证法 2如图7， 设 A B C的外心为 0， 联结 O 0 、 O 0 过点 0 、 0 、 0 分别作直线 B C的垂线 ， 垂足分别为 D 、 D 、 D ： 作 0 K_ 上 _ O D于点 图 7 下面证 明 ： O 0 1 =O 0 2 在 R t O K O 中， O01= D1 K s i n 01 OK l 厂 由外心 的性质 ， 知 O 0 上 A C 又 O D上 B C ， 故 0 l O K= A C B 而 D、 D。 分别为 B C、 C X的中点 ， 则 DD ：C D1一C D ：CX BC： n |r ) ， ) j O01 V l L X= s i n A C B ： BX = 尺 BX ， AB AB 其中， R为 A B C的外接圆半径 类 似 地 ， O 0 ： = 是 由已知条件得 鬈 = O 0 = O 0 ： 由O 0 1 - l - A C A V U= 9 0 。 一 O 0 1 0 2 类似地 ， A U V = 9 0 。 一 O 0 2 0 1 又因为 O 0 =O 0 ， 所以， 2 0 1 6年第 1 1 期 2 7 OO1 O2= OO2 O1 AUV： AVU j AU =AV 因此 ， A U V为等腰三角形 三、 以这十个点为顶点 、 所连线段为边得 到一个十阶简单图 G 下面证明： 图 G的边数不超过 1 5 设图 G的顶点为 ， ， ， 。 ， 共有 k 条 边 ， 用 d e g ( ) 表示顶点 的度 若 d e g ( ) 3对 i = 1 ， 2 ， ， 1 O 均成立 ， 则k = d e g ( v ) 1 0 x 3 = 1 5 假设存在顶点 满足 d e g ( ) 4 不妨 设 d e g ( I )=n 4 ， 且 1 与 2 ， v 3 ， ， + l 均 相邻 于是 ， ： ， ， ， ， + 之间没有边 ， 否则 ， 就形成三角形 从而 ， ， ： ， ， + 之间恰有 n条边 对每个 ( n+2 1 0 ) ， v j 至多与 ， ， ， ， 中的一个顶点相邻 ( 否则， 设 v j 与 、 ( 2 s 3 ， 所以， 3 I ( P+1 ) 因此 ， 3 l ( p a +1 ) ， 即 n=3时结论成立 当 3n p一1时 ， 设对 k=3 ， ， n一1 ， 均有 k l ( p a 一 1 +1 ) ， 此时， r p0 一 1 p a 一 1+ 1 l k I Ij2 故 _ 1 + = p + 等 ) + =P( 。 一 + 等 ) 十 + 广 J ( p a 一 2 +1 ) ( P+ 一1 ) = 一 从 而 ， 对 311, p一1 ， 有 p 。 一 + 1 = 卫 兰 _ ( p 。 一 ： + 1 ) ： 2 ( _ 3 +1 )： 一 1 n一 、 一 一 ： 学 ( ： + 1 ) n 一 1 n 一 2 3、 一 。