2017年电子科技大学激光物理习题答案

1 2017 年激光物理习题年激光物理习题讲解讲解 1、设某系统的量子力学状态为( )( )( ) aabb tC t uC t u，其中 a u和 b u是系 统哈密顿算符的两个正交归一且完备的本征态，分别对应本征值 Ea和 Eb，证明 在无外场作用下，薛定谔方程的解能够给出以下结果 ( )(0)exp( i) aaa C tCE t 证明：由于本征态 a u和 b u是正交归一和完备的，即满足关系 ijij u u, ii i uuI , ,i ja b, (1) 没有外场时，系统的量子力学状态( ) t满足如下薛定谔方程： 0 i( )( )tHt t , (2) 其中 0 H是没有外场时的哈密顿算符，按照题意有： 0 aaa H uE u, 0 bbb H uE u， (3) 将( )( )( ) aabb tC t uC t u代入(2)，并且利用(3), 有 ii ab abaaabbb CC uuC E uC E u tt , (4) 对上式两边同时左乘 a u ，并利用正交归一关系(1), 得到： i( )( ) aaa C tE C t t , (5) 即有：( )(0)exp( i) aaa C tCE t，证毕。 此题的变体此题的变体： 设二能级系统的上下能级本征态 a u和 b u分别对应本征值 Ea和 Eb，不存在外 场时系统的哈密顿算符是 0 H， 量子力学状态为( )( )( ) aabb tC t uC t u， 证明 ( )(0)exp( i) aaa C tCE t。并且求 证明：由于 0 H是厄米算符，它的本征态满足以下正交归一和完备性关系 ijij u u, ii i uuI , ,i ja b, (1) 因此系统的态矢可以用 a u, b u展开为( )( )( ) aabb tC t uC t u， 其中展开 系数满足概率归一化条件 22 ( )( )1 ab C tC t。 其他与上题解答步骤一样。 显然有 2 22 ( )1(0) ba C tC 。 2、假设在混合系综中，系统处于各个微观状态 i 的概率 i P不随时间而改变 （1,2,3.,in， 1 1 n i i P ） ，且 i 满足 Schrdinger 方程 i ii H t ，证 明该混合系综的密度算符满足以下量子 Liouville 方程： 1 , i H t 证明：由题意知，该混合系综的密度算符应该为： 1 n iii i P , (1) 对 Schrdinger 方程 i ii H t 两边同时取厄米共轭，并且利用哈密顿算符 的厄米性 HH，得到 i ii H t , (2) 于是由 Schrdinger 方程和上式有： 1 i ii H t , 1 i ii H t , (3) (1)两边同时对时间求导,考虑到 i P不随时间而改变，并且利用(3)得 1 1 11 ()() 11 = ii 1 () i 11 (), ii n iiiii i n iiiii i nn iiiiii ii P ttt PHH HPPH HHH , (4) 证毕。 3 3、已知光子数算符 Na a与产生/湮灭算符满足对易关系 ,aNa 和 ,a Na， cos和 sin是同一光场的相位算符： 1 2?1 2 1 cos(1)(1) 2 NaaN , 1 2?1 2 1 sin(1)(1) 2i Naa N 证明对易关系 ,cos isinN . 证明： （由于显示问题，有些数学表达式中的 a 显示成了 ? a ） 1 2?1 21 2?1 2 ,cos coscos 1 (1)(1)(1)(1) 2 NN NaaN N NNNaNaNN ， 由 ,aNa 和 ,a Na分别可得： Naa Na， aNNaa， 利用它们以 及 1 2 (1 0), NN ，有 1 21 21 2?1 2 1 21 21 2 1 21 2 1 2 1 21 2 (1)()(1)(1)()(1) (1)(1)(1) (1)(1)(1) (1 ,cos 1 2 1 2 1 )(1 2 ) NaNNaN NaNN N N Na NaNaaN Na Na NaaN a aN NNa N 1 21 2 1 iisin 2i (1)(1)aaNN 证毕。 4、 自感应透明现象发生时， 在增益介质中稳定解的脉冲面积是多少， 为什么 （给 出定量分析）？ 答：设a和b分别表示二能级原子的上、下能级本征态， ab c ac b是 原子系统的态矢， 密度算符 在a,b表象下的对角元( ) aa t和( ) bb t 分别代表原子处于上下能级的概率，在外场下它们是时间 t 的函数。在增益介质 中，原子在初始时处于上能级，即满足初始条件()1 aa 和()0 bb 。按照 面积定理，脉冲面积 A(z)随传播距离 z 的变化满足方程: 4 d ( )sin( ) d2 a A zA z z , (1) 其中 a0 是一个常数。设初始脉冲面积满足( )A zm，其中0，m=1, 3, 5. 是奇数，则由(1)得 d ( )sin( )sin d22 aa A zm z , (2) 对(2)讨论如下： 1）当0时，d ( ) d( sin ) 20A zza，A(z)将随传播距离 z 的增加而变 小，从而有( )A zmm，而当( )A zm时， d ( ) d( sin) 20A zzam，即脉冲面积稳定下来不再变化，因此脉冲面积 趋于 的奇数倍； 2） 当0 时，d ( ) d( sin ) 20A zza，A(z)将随传播距离 z 的增加而增 大，从而有( )A zmm，而当( )A zm时， d ( ) d( sin) 20A zzam，即脉冲面积稳定下来不再变化，因此脉冲面积 趋于 的奇数倍。 以上 1）和 2）的讨论穷尽了所有的可能性，故在在增益介质中，脉冲面积为 的奇数倍是自感应透明现象的稳定解。 5、课件第五章(下)公式(5.6-20)的推导。 背景交代：考虑由单模光场与二能级原子构成的系统，其中是光场的频率， a 和 a 是光子的产生和湮灭算符，a和b是二能级原子上下能级本征态，分别对 应能量本征值 aa E和 bb E， 0ab 是原子频率，a和b满足正交 归一和完备性关系： ij i j , ,i ja b，a ab bI。定义上升算符 a b和下降算符 b a，它们满足反对易子 , I ， 其中反对易子定义为 , A BABBA。 已知采用相互作用图像时，从薛定谔图 像变换到相互作用图像的演化算符为 0 ( )i (1 2)exp ab U tta a ， 5 在薛定谔图像下的相互作用哈密顿算符为 af ()Hg aa， 问题：证明在相互作用图像下，相互作用哈密顿算符为： af00 ( )i()i() expexp I Htg atat。 提示：从 af ()()Hg aa出发，对最后结果去掉不满足能量守恒的项。 证明： 1）已知 23 exp()exp() , , , , , , . 2!3! A BABA BA A BA A A B , (1) 光子数算符 Na a满足 ,N aa， N aa ,，因此有 ,NN aNaa,， , NNN aN aa , (2) 即在以上多重对易子中，含有偶数重对易子括号的项（含有偶数个 N） ，结果为 a ；含有奇数重对易子括号的项（含有奇数个 N） ，结果为 a ，故由(1)有 2323 exp() exp().(1.)exp() 2!3!2!3! N aNaaaaaa , (3) 同理由 ,N aa得 ,NN aN aa,， ,NNN aN aa, (4) 即在以上多重对易子中，不管多少重对易子括号的项，结果均为 a ，故由(1)有 23 exp()exp()(1+.)exp( ) 2!3! N aNaa . (5) 令it，由(3)和(5)可得 exp(i)()exp( i)exp( i)exp(i)tNaatNatat. (6) 2) 定义算符 1 Maa 和 2 Mb b ，正交归一化关系 ij i j , ,i ja b, 可以证明 1 , M ， 1 ,M, (7) 2 , M， 2 ,M, (8) 6 与证明(3)和(5)类似，利用(7)和(8)式同样可以证明 11 exp() exp()exp()MM, 11 exp()exp()exp( )MM， (9) 22 exp() exp()exp()MM, 22 exp()exp()exp( )MM， (10) 在下面利用(9)和(10)式进行计算时，i a t，i b t。 3) 从薛定谔图像变换到相互作用图像的演化算符可以表达为 012 ( ) i(1 2)iiexp ab U ttNtMtM, (11) 把薛定谔图像下的相互作用哈密顿算符表达为 af ()()Hg aa，则在相 互作用图像下，相互作用哈密顿算符为 1 af0af0 I HU H U 。考虑到 1 00 UU ，算符 N、 1 M和 2 M均为厄米算符且两两对易，利用(6)、(9)和(10), 且令i a t， i b t，可以求得 af12 I HGG，其中 1 exp(i )()exp( i )exp( i )exp(i )Gt N aat Natat, 21221 1221 11 1 exp(i)exp(i)()exp( i)exp( i) exp(i)exp(i)()exp( i)exp( i) exp(i)exp(i)exp( i)exp( i) exp(i)exp(i abba abba abba a GtMtMtMtM tMtMtMtM tMtttM tMt 1 00 )exp( i)exp( i) exp i ()expi () exp( i)exp(i) bba abab ttM tt tt 于是 af00 exp( i )exp(i ) exp( i)exp(i) I Hatattt， 去掉不满足能量守恒的项之后，得到 af00 expi ()exp i () I Hatat 6、 设a和b分别表示二能级原子的上、 下能级本征态， 满足正交归一化条件， b a和 a b分别表示下降和上升算符， M ，证明： exp(i)exp( i)exp( i)t Mt Mt 提示：先证明 ,M ，再利用如下公式： 23 exp()exp() , , , , , , . 2!3! A BABA BA A BA A A B 7 证明：由于a和b满足正交归一化条件，利用b a和 a b有 Ma b b aaa , (1) 利用b a和 Maa，考虑a和b满足的正交归一化条件，有 0Maa ba， Mba aaba， 从而有 ,MMM (2) 由（2）可知， ,M , ,MMM (奇数重对易子) (3) ,MM, ,MMMM(偶数重对易子) (4) 将(3)和（4）代入公式 23 exp()exp() , , , , , , . 2!3! A BABA BA A BA A A B 得 23 2323 exp()exp(), . 2!3! .(1.)exp() 2!3!2!3! MMMMMMMM M 将it代入上式，得 exp(i)exp( i)exp( i)t Mt Mt M 证毕。 7、第二章第二讲(2.3.13)式的推导 已知薛定谔方程： d i( )( ) d tHt t , 其中 0 HH H , z HeZE , 对方程两边同时左乘 a u得： 0 d i() d aa uuHH t 0 d i() d aaaz uuHueE Z t , 对上式代入 00 ( )exp( i)( )exp( i) aaabbb CtE tuCtE tu,得 00 d i( )exp( i)( )exp( i) d aaaabbab CtE tu uCtE tu u t 左边, 8 000 00 0000 00 ( )exp( i)( )exp( i) ()( )exp( i)( )exp( i) ( )exp( i)( )exp( i) ( )exp( i)()( )exp( i aaaabbb azaaabbb aaaabbab aaazabb uH CtE tuCtE tu ueE Z CtE tuCtE tu CtE tuH uCtE tuH u CtE tueE Z uCtE t 右边 )() azb ueE Z u , 考虑到： 0 aaa H uE u， 0 bbb H uE u，1 aabb u uu u,0 abba u uu u, 于是有： 0 aaaaaa uH uEu uE, 0 0 abbab uH uE u u 000 d i( )exp( i)i( )exp( i)( )exp( i) d aaaaaaa CtE tCtE tE CtE t t 左边， 00 0 ( )exp( i)( )exp( i)() ( )exp( i)() aaaaaaza bbazb E CtE tCtE tueE Zu CtE tueE Zu 右边 ， 由于固有电偶极矩为零，即0 aabb u eZ uu eZ u，于是有 00 ( )exp( i)( )exp