运筹学 线性规划

第二章线性规划(LinearProgramming),2.1LP的数学模型2.2图解法2.3单纯形法2.4单纯形法的进一步讨论人工变量法2.5LP模型的应用,本章主要内容：,2.1线性规划问题的数学模型,1.规划问题,生产和经营管理中经常提出如何合理安排，使人力、物力等各种资源得到充分利用，获得最大的效益，这就是规划问题。,线性规划通常解决下列两类问题：,（1）当任务或目标确定后，如何统筹兼顾，合理安排，用最少的资源（如资金、设备、原标材料、人工、时间等）去完成确定的任务或目标,（2）在一定的资源条件限制下，如何组织安排生产获得最好的经济效益（如产品量最多、利润最大.）,2.1线性规划问题的数学模型,例2.1某工厂在计划期内要安排、两种产品的生产，已知生产单位产品所需的设备台时及A、B两种原材料的消耗、资源的限制，如下表：问题：工厂应分别生产多少单位、产品才能使工厂获利最多？,2.1线性规划问题的数学模型,解：设生产产品I和产品的产量分别为x1和x2。则有如下模型：目标函数：Maxz=50 x1+100 x2约束条件：s.t.x1+x23002x1+x2400 x2250 x1,x20,2.1线性规划问题的数学模型,例2.2某企业计划生产甲、乙两种产品。这些产品分别要在A、B、C、D、四种不同的设备上加工。按工艺资料规定，单件产品在不同设备上加工所需要的台时如下表所示，企业决策者应如何安排生产计划，使企业总的利润最大？,2.1线性规划问题的数学模型,解：设x1、x2分别为甲、乙两种产品的产量，则数学模型为：,例2.3假定一个成年人每天需要从食物中获取3000卡热量，55克蛋白质和800毫克钙。如果市场上只有四种食品可供选择，它们每千克所含热量和营养成分以及市场价格如下表所示。问如何选择才能满足营养的前提下使购买食品的费用最小？,请同学们自己列出模型？,2.1线性规划问题的数学模型,2.1线性规划问题的数学模型,2.线性规划的数学模型由三个要素构成,决策变量Decisionvariables目标函数Objectivefunction约束条件Constraints,其特征是：（1）问题的目标函数是多个决策变量的线性函数，通常是求最大值或最小值；（2）问题的约束条件是一组多个决策变量的线性不等式或等式。,怎样辨别一个模型是线性规划模型？,2.1线性规划问题的数学模型,3.线性规划建模过程（1）理解要解决的问题，了解解题的目标和条件；（2）定义决策变量（x1，x2，xn），每一组值表示一个方案；（3）用决策变量的线性函数形式写出目标函数，确定最大化或最小化目标；（4）用一组决策变量的等式或不等式表示解决问题过程中必须遵循的约束条件,2.1线性规划问题的数学模型,目标函数：,约束条件：,4.线性规划数学模型的一般形式,简写为：,2.1线性规划问题的数学模型,其中，ci称为价值系数aij称为技术系数（或消耗系数）bi称为资源系数,2.1线性规划问题的数学模型,向量形式：,其中：,2.1线性规划问题的数学模型,矩阵形式：,其中：,2.1线性规划问题的数学模型,5.线性规划问题的标准形式,特点：(1)目标函数求最大值（有时求最小值）(2)约束条件都为等式方程，且右端常数项bi都大于或等于零(3)决策变量xj为非负。,2.1线性规划问题的数学模型,（2）如何化标准形式,目标函数的转换,如果是求极小值即，则可将目标函数乘以(-1)，可化为求极大值问题。,也就是：令，可得到上式。,即,若存在取值无约束的变量，可令其中：,变量的变换,2.1线性规划问题的数学模型,约束方程的转换：由不等式转换为等式。,称为松弛变量,称为剩余变量,变量的变换,可令，显然,2.1线性规划问题的数学模型,例2.4将下列线性规划问题化为标准形式,用替换，且,解:（）因为x3无符号要求，即x3取正值也可取负值，标准型中要求变量非负，所以,2.1线性规划问题的数学模型,(2)第一个约束条件是“”号，在“”左端加入松驰变量x4，x40,化为等式；(3)第二个约束条件是“”号，在“”左端减去剩余变量x5，x50；(4)第3个约束方程右端常数项为-5，方程两边同乘以(-1),将右端常数项化为正数；(5)目标函数是最小值，为了化为求最大值，令z=-z,得到maxz=-z，即当z达到最小值时z达到最大值，反之亦然;,2.1线性规划问题的数学模型,标准形式如下：,2.1线性规划问题的数学模型,6.线性规划问题的解,线性规划问题,求解线性规划问题，就是从满足约束条件(2)、(3)的方程组中找出一个解，使目标函数(1)达到最大值。,2.1线性规划问题的数学模型,可行解：满足约束条件、的解为可行解。所有可行解的集合为可行域。最优解：使目标函数达到最大值的可行解。,2.2图解法,线性规划问题的求解方法,一般有两种方法,图解法单纯形法,两个变量、直角坐标三个变量、立体坐标,适用于任意变量、但必需将一般形式变成标准形式,下面我们分析一下简单的情况只有两个决策变量的线性规划问题，这时可以通过图解的方法来求解。图解法具有简单、直观、便于初学者窥探线性规划基本原理和几何意义等优点。,2.2图解法,maxZ=2X1+X2X1+1.9X23.8X1-1.9X23.8s.t.X1+1.9X210.2X1-1.9X2-3.8X1，X20,例2.5用图解法求解线性规划问题,2.2图解法,x1,x2,o,X1-1.9X2=3.8(),X1+1.9X2=3.8(),X1-1.9X2=-3.8(),X1+1.9X2=10.2(),4=2X1+X2,20=2X1+X2,17.2=2X1+X2,11=2X1+X2,Lo：0=2X1+X2,（7.6，2）,D,maxZ,minZ,此点是唯一最优解，且最优目标函数值maxZ=17.2,可行域,maxZ=2X1+X2,2.2图解法,maxZ=3X1+5.7X2,x1,x2,o,X1-1.9X2=3.8(),X1+1.9X2=3.8(),X1-1.9X2=-3.8(),X1+1.9X2=10.2(),（7.6，2）,D,L0：0=3X1+5.7X2,maxZ,（3.8，4）,34.2=3X1+5.7X2,蓝色线段上的所有点都是最优解这种情形为有无穷多最优解，但是最优目标函数值maxZ=34.2是唯一的。,可行域,2.2图解法,minZ=5X1+4X2,x1,x2,o,X1-1.9X2=3.8(),X1+1.9X2=3.8(),X1+1.9X2=10.2(),D,L0：0=5X1+4X2,maxZ,minZ,8=5X1+4X2,43=5X1+4X2,（0，2）,可行域,此点是唯一最优解,2.2图解法,2,4,6,x1,x2,2,4,6,无界解(无最优解),maxZ=x1+2x2,例1.6,x1+x2=4(),x1+3x2=6(),3x1+x2=6(),maxZ,minZ,x1,x2,O,10,20,30,40,10,20,30,40,50,50,无可行解(即无最优解),maxZ=3x1+4x2,例1.7,2.2图解法,学习要点：1.通过图解法了解线性规划有几种解的形式。(1)唯一最优解：一定对应于可行域的顶点；(2)无穷多最优解：多重解；(3)无界解：即无最优解的情况，原因：缺少必要的约束条件；(4)无可行解：即可行域为空集，原因：出现了相互矛盾的约束条件。,2.2图解法,学习要点：2.作图的关键有三点：(1)可行解区域要画正确(2)目标函数增加的方向不能画错(3)目标函数的直线怎样平行移动,2.2图解法,学习要点：3.结论(1)当线性规划问题的可行域非空时，它是有界或无解凸多边形。(2)若线性规划问题存在最优解，它一定在可行域的某个顶点获得。(3)若在两个顶点同时得到最优解，则它们连线上的任意一点都是最优解，即有无穷多最优解。,2.3单纯形法基本原理,1.单纯形法的基本思路基本思路：从可行域中某一个顶点开始，判断此顶点是否是最优解，如不是,则再找另一个使得其目标函数值更优的顶点，称之为迭代，再判断此点是否是最优解。直到找到一个顶点为其最优解，就是使得其目标函数值最优的解，或者能判断出线性规划问题无最优解为止。,2.3单纯形法基本原理,1.单纯形法的基本概念基：设A为约束条件的mn阶系数矩阵(m0,40,10,换出行,将3化为1,5/3,1,18,0,1/3,0,1/3,10,1,1/3,30,30,0,5/3,0,4/3,乘以1/3后得到,1,0,3/5,1/5,18,0,1,1/5,2/5,4,0,0,1,1,2.3单纯形法的计算步骤,例2.8用单纯形法求解,解：将数学模型化为标准形式：,不难看出x4、x5可作为初始基变量，列单纯形表计算。,2.3单纯形法的计算步骤,20,x2,2,1/3,1,5,0,1,20,75,3,0,17,1,3,1/3,0,9,0,2,25,60,x1,1,1,0,17/3,1/3,1,25,0,1,28/9,-1/9,2/3,35/3,0,0,-98/9,-1/9,-7/3,2.3单纯形法的计算步骤,学习要点：1.线性规划解的概念以及3个基本定理2.熟练掌握单纯形法的解题思路及求解步骤,2.4单纯形法的进一步讨论人工变量法,人工变量法：前面讨论了在标准型中系数矩阵有单位矩阵，很容易确定一组基可行解。在实际问题中有些模型并不含有单位矩阵，为了得到一组基向量和初基可行解，在约束条件的等式左端加一组虚拟变量，得到一组基变量。这种人为加的变量称为人工变量，构成的可行基称为人工基，用大M法或两阶段法求解，这种用人工变量作桥梁的求解方法称为人工变量法。,2.4单纯形法的进一步讨论人工变量法,例2.9用大M法解下列线性规划,解：首先将数学模型化为标准形式,系数矩阵中不存在单位矩阵，无法建立初始单纯形表。,2.4单纯形法的进一步讨论人工变量法,故人为添加两个单位向量，得到人工变量单纯形法数学模型：,其中：M是一个很大的抽象的数，不需要给出具体的数值，可以理解为它能大于给定的任何一个确定数值；再用前面介绍的单纯形法求解该模型，计算结果见下表。,2.4单纯形法的进一步讨论人工变量法,2.4单纯形法的进一步讨论人工变量法,解的判别：1）唯一最优解判别：最优表中所有非基变量的检验数非零,则线规划具有唯一最优解。2）多重最优解判别：最优表中存在非基变量的检验数为零,则线则性规划具有多重最优解（或无穷多最优解）。3）无界解判别：某个k0且aik（i=1，2,m）则线性规划具有无界解。4）无可行解的判断：当用大M单纯形法计算得到最优解并且存在Ri0时，则表明原线性规划无可行解。5）退化解的判别：存在某个基变量为零的基本可行解。,2.4单纯形法的进一步讨论人工变量法,单纯性法小结:,A,2.5线性规划模型的应用,一般而言，一个经济、管理问题凡是满足以下条件时，才能建立线性规划模型。,要求解问题的目标函数能用数值指标来反映，且为线性函数存在着多种方案要求达到的目标是在一定条件下实现的，这些约束可用线性等式或不等式描述,2.5线性规划在管理中的应用,人力资源分配问题,例2.10某昼夜服务的公交线路每天各时间段内所需司机和乘务人员人数如下表所示：,设司机和乘务人员分别在各时间段开始时上班，并连续工作8小时，问该公交线路应怎样安排司机和乘务人员，即能满足工作需要，又使配备司机和乘务人员的人数减少?,2.5线性规划在管理中的应用,解：设xi表示第i班次时开始上班的司机和乘务人员人数。,此问题最优解：x150，x220，x350，x40，x520，x610，一共需要司机和乘务员150人。,例2.11某公司面临一个是外包协作还是自行生产的问题。该公司生产甲、乙、丙三种产品，都需要经过铸造、机加工和装配三个车间。甲、乙两种产品的铸件可以外包协作，亦可以自行生产，但产品丙必须本厂铸造才能保证质量。数据如表。问：公司为了获得最大利润，甲、乙、丙三种产品各生产多少件？甲、乙两种产品的铸造中，由本公司铸造和由外包协作各应多少件？,2.生产计划问题,2.5线性规划在管理中的应用,解：设x1,x2,x3分别为三道工序都由本公司加工的甲、乙、丙三种产品的件数，x4,x5分别为由外协铸造再由本公司加工和装配的甲、乙两种产品的件数。求xi的利润：利润=售价-各成本之和产品甲全部自制的利润=23-(3+2+3)=15产品甲铸造外协，其余自制的利润=23-(5+2+3)=13产品乙全部自制的利润=18-(5+1+2)=10产品乙铸造外协，其余自制的利润=18-(6+1+2)=9产品丙的利润=16-(4+3+2)=7可得到xi（i=1,2,3,4,5）的利润分别为15、10、7、13、9元。,2.5线性规划在管理中的应用,通过以上分析,可建立如下的数学模型:目标函数：Max15x1+10 x2+7x3+13x4+9x5约束条件：5x1+10 x2+7x380006x1+4x2+8x3+6x4+4x5120003x1+2x2+2x3+3x4+2x510000 x1,x2,x3,x4,x50,2.5线性规划在管理中的应用,2.5线性规划在管理中的应用,2.生产计划问题,例2.12.某厂生产、三种产品，都分别经A、B两道工序加工。设A工序可分别在设备A1和A2上完成，有B1、B2、B3三种设备可用于完成B工序。已知产品可在A、B任何一种设备上加工；产品可在任何规格的A设备上加工，但完成B工序时，只能在B1设备上加工；产品只能在A2与B2设备上加工。加工单位产品所需工序时间及其他各项数据如下表，试安排最优生产计划，使该厂获利最大。,2.5线性规划在管理中的应用,2.5线性规划在管理中的应用,解：设xijk表示产品i在工序j的设备k上加工的数量。约束条件有：,2.5线性规划在管理中的应用,目标是利润最大化，即利润的计算公式如下：,带入数据整理得到：,2.5线性规划在管理中的应用,因此该规划问题的模型为：,例2.13某工厂要做100套钢架，每套用长为2.9m,2.1m,1.5m的圆钢各一根。已知原料每根长7.4m，问：应如何下料，可使所用原料最省？解：共可设计下列5种下料方案，见下表,设x1,x2,x3,x4,x5分别为上面5种方案下料的原材料根数。这样我们建立如下的数学模型。目标函数：Minx1+x2+x3+x4+x5约束条件：s.t.x1+2x2+x41002x3+2x4+x51003x1+x2+2x3+3x5100 x1,x2,x3,x4,x50,3.套裁下料问题,2.5线性规划在管理中的应用,设x1,x2,x3,x4,x5分别为上面5种方案下料的原材料根数。这样我们建立如下的数学模型。目标函数：Minx1+x2+x3+x4+x5约束条件：s.t.x1+2x2+x41002x3+2x4+x51003x1+x2+2x3+3x5100 x1,x2,x3,x4,x50,3.套裁下料问题,2.5线性规划在管理中的应用,用“管理运筹学”软件计算得出最优下料方案：按方案1下料30根；按方案2下料10根；按方案4下料50根。即x1=30;x2=10；x3=0；x4=50；x5=0；只需90根原材料就可制造出100套钢架。注意：在建立此类型数学模型时，约束条件用大于等于号比用等于号要好。因为有时在套用一些下料方案时可能会多出一根某种规格的圆钢，但它可能是最优方案。如果用等于号，这一方案就不是可行解了。,2.5线性规划在管理中的应用,例2.14某工厂要用三种原料1、2、3混合调配出三种不同规格的产品甲、乙、丙，数据如右表。问：该厂应如何安排生产，使利润收入为最大？,4.配料问题,2.5线性规划在管理中的应用,解：设xij表示第i种（甲、乙、丙）产品中原料j的含量。这样我们建立数学模型时，要考虑：对于甲：x11，x12，x13；对于乙：x21，x22，x23；对于丙：x31，x32，x33；对于原料1：x11，x21，x31；对于原料2：x12，x22，x32；对于原料3：x13，x23，x33；目标函数：利润最大，利润=收入-原料支出约束条件：规格要求4个；供应量限制3个。,2.5线性规划在管理中的应用,利润=总收入-总成本=甲乙丙三种产品的销售单价*产品数量-甲乙丙使用的原料单价*原料数量，故有目标函数Max50（x11+x12+x13）+35（x21+x22+x23）+25（x31+x32+x33）-65（x11+x21+x31）-25（x12+x22+x32）-35（x13+x23+x33）=-15x11+25x12+15x13-30 x21+10 x22-40 x31-10 x33约束条件：从第1个表中有：x110.5(x11+x12+x13)x120.25(x11+x12+x13)x210.25(x21+x22+x23)x220.5(x21+x22+x23),2.5线性规划在管理中的应用,从第2个表中，生产甲乙丙的原材料不能超过原材料的供应限额，故有(x11+x21+x31)100(x12+x22+x32)100(x13+x23+x33)60通过整理，得到以下模型：,2.5线性规划在管理中的应用,（续）目标函数：Maxz=-15x11+25x12+15x13-30 x21+10 x22-40 x31-10 x33约束条件：s.t.0.5x11-0.5x12-0.5x130（原材料1不少于50%）-0.25x11+0.75x12-0.25x130（原材料2不超过25%）0.75x21-0.25x22-0.25x230（原材料1不少于25%）-0.5x21+0.5x22-0.5x230（原材料2不超过50%）x11+x21+x31100(供应量限制）x12+x22+x32100(供应量限制）x13+x23+x3360(供应量限制）xij0,i=1,2,3;j=1,2,3,2.5线性规划在管理中的应用,例2.15某部门现有资金200万元，今后五年内考虑给以下的项目投资。已知：项目A：从第一年到第五年每年年初都可投资，当年末能收回本利110%；项目B：从第一年到第四年每年年初都可投资，次年末能收回本利125%，但规定每年最大投资额不能超过30万元；项目C：需在第三年年初投资，第五年末能收回本利140%，但规定最大投资额不能超过80万元；项目D：需在第二年年初投资，第五年末能收回本利155%，但规定最大投资额不能超过100万元。据测定每万元每次投资的风险指数如下表：问：a）应如何确定这些项目的每年投资额，使得第五年年末拥有资金的本利金额为最大？b）应如何确定这些项目的每年投资额，使得第五年年末拥有资金的本利在330万元的基础上使得其投资总的风险系数为最小？,5.投资问题,2.5线性规划在管理中的应用,解：1）确定决策变量：连续投资问题设xij(i=15，j=14)表示第i年初投资于A(j=1)、B(j=2)、C(j=3)、D(j=4)项目的金额。这样我们建立如下的决策变量：Ax11x21x31x41x51Bx12x22x32x42Cx33Dx24,2.5线性规划在管理中的应用,2）约束条件：第一年：A当年末可收回投资，故第一年年初应把全部资金投出去，于是x11+x12=200；第二年：B次年末才可收回投资，故第二年年初有资金1.1x11，于是x21+x22+x24=1.1x11；第三年：年初有资金1.1x21+1.25x12，于是x31+x32+x33=1.1x21+1.25x12；第四年：年初有资金1.1x31+1.25x22，于是x41+x42=1.1x31+1.25x22；第五年：年初有资金1.1x41+1.25x32，于是x51=1.1x41+1.25x32；B、C、D的投资限制：xi230(i=1、2、3、4)，x3380，x241003）目标函数及模型：a)Maxz=1.1x51+1.25x42+1.4x33+1.55x24s.t.x11+x12=200 x21+x22+x24=1.1x11；x31+x32+x33=1.1x21+1.25x12；x41+x42=1.1x31+1.25x22；x51=1.1x41+1.25x32；xi230(i=1、2、3、4)，x3380，x24100 xij0(i=1、2、3、4、5；j=1、2、3、4）,2.5线性规划在管理中的应用,2.6图解法的灵敏度分析,一、灵敏度分析的含义与内容1.灵敏度分析的含义灵敏度分析：建立数学模型和求得最优解后，研究线性规划的一个或多个参数（系数）ci、aij、bi变化时，对最优解产生的影响。2.灵敏度分析的作用（意义）1）因为线性规划中的ci、aij、bi这些系数都是估计值和预测值，不一定非常准确；2）即使这些系数值在某一时刻是精确值，它们也会随着市场条件的变化而变化，不会一成不变的。那么如果这些系数变了，线性规划已经求出的最优解会不会变化呢？我们需要不要重新求解呢？有了灵敏度分析，我们就不必为了应付这些变化而不停地建立新的模型和求其新的最优解了；也不会由于系数的估计和预测的精确性而对所求得的最优解存有不必要的怀疑。3.灵敏度分析的内容,2.6图解法的灵敏度分析,例2.1.目标函数：Maxz=50 x1+100 x2约束条件：s.t.x1+x2300(A)2x1+x2400(B)x2250(C)x10(D)x20(E)得到最优解：x1=50，x2=250最优目标值z=27500,二、目标函数中的系数ci的灵敏度分析,2.6图解法的灵敏度分析,二、目标函数中的系数ci的灵敏度分析考虑例2.1的情况，ci的变化只影响目标函数等值线的斜率，目标函数z=50 x1+100 x2在z=x2(x2=z斜率为0)到z=x1+x2(x2=-x1+z斜率为-1)之间时，原最优解x1=50，x2=100仍是最优解。一般情况：z=c1x1+c2x2写成斜截式x2=-(c1/c2)x1+z/c2目标函数等值线的斜率为-(c1/c2)，当-1-(c1/c2)0（*）时，原最优解仍是最优解。,2.6图解法的灵敏度分析