角平分线辅助线自编

角平分线的辅助线做法角平分线的辅助线做法常见的有三种：利用角分线易构成全等三角形沿角分线，碰直角构等腰做平行线，构等腰。一、利用角分线易构成全等三角形（SAS）该方法常见有两种情况，一是在角两边截取相等的线段，利用SAS构成全等三角形，另一种是利用角分线上一点向角两边做垂线构成全等三角形。例1：如图，BD是四边形ABCD中ABC的平分线，ABBC，AC180，求证：DACDABCD提示：该题目可运用两种情况中的任何一种同类型拷贝：如图在四边形ABCD中，BCBA，AD=DC，BD平分ABC求证：.ADBC例2：已知：如图1-3，AB=2AC，BAD=CAD，DA=DB，求证DCAC同类型拷贝：已知，如图，C=2A，AC=2BC。求证：ABC是直角三角形。CAB例3 如图，ABC中，AD是A的平分线，EDFBAF=180，求证：DE=DF. 提示：过D做角两边的垂线。同类型拷贝： 如图，已知ABAD, BAC=FAC,CD=BC。求证：ADC+B=180例4：已知：如图1-4，在ABC中，C=2B,AD平分BAC，求证：AB-AC=CD_A_B_C_D_E同类型拷贝： 已知：如图在ABC中，A=90，AB=AC，BD是ABC的平分线，求证：BC=AB+ADABCD例5 已知：如图2-7，在RtABC中，ACB=90,CDAB，垂足为D，AE平分CAB交CD于F，过F作FH/AB交BC于H。求证CF=BH。例6：三角形的三条角平分线交于一点，你知道这是为什么吗？ 分析：我们知道两条直线是交于一点的，因此可以想办法证明第三条角平分线通过前两条角平分线的交点 已知：如图，ABC的角平分线AD与BE交于点I，求证：点I在ACB的平分线上 证明：过点I作IHAB、IGAC、IFBC，垂足分别是点H、G、F 点I在BAC的角平分线AD上，且IHAB、IGAC IH=IG（角平分线上的点到角的两边距离相等） 同理 IH=IF IG=IF（等量代换） 又IGAC、IFBC 点I在ACB的平分线上（到一个角的两边的距离相等的点，在这个角的平分线上）.即：三角形的三条角平分线交于一点同类型拷贝：【例2】已知：如图，PA、PC分别是ABC外角MAC和NCA的平分线，它们交于点P，PDBM于D，PFBN于F求证：BP为MBN的平分线 二、沿角分线，碰直角构等腰例1 已知：如图3-1，BAD=DAC，ABAC,CDAD于D，H是BC中点。求证：DH=（AB-AC）。例2 已知：如图3-2，AB=AC，BAC=90，BD为ABC的平分线，CEBE.求证：BD=2CE。同类型拷贝： 如图，已知ABC中，CE平分ACB，且AECE，AEDCAE180度，求证：DEBCACDEB例3已知：如图3-3在ABC中，AD、AE分别BAC的内、外角平分线，过顶点B作BFAD，交AD的延长线于F，连结FC并延长交AE于M。求证：AM=ME。提示：由AD、AE是BAC内外角平分线，可得EAAF，从而有BF/AE，所以想到利用比例线段证相等。例4 已知：如图3-4，在ABC中，AD平分BAC，AD=AB，CMAD交AD延长线于M。求证：AM=（AB+AC）分析：题设中给出了角平分线AD，自然想到以AD为轴作对称变换，作ABD关于AD的对称AED，然后只需证DM=EC，另外由求证的结果AM=（AB+AC），即2AM=AB+AC，也可尝试作ACM关于CM的对称FCM，然后只需证DF=CF即可。例5如图，B=C=90，M是BC上一点，且DM平分ADC，AM平分DAB求证：AD=CD+AB三、 以角分线上一点做角的另一边的平行线有角平分线时，常过角平分线上的一点作角的一边的平行线，从而构造等腰三角形。或通过一边上的点作角平分线的平行线与另外一边的反向延长线相交，从而也构造等腰三角形。如图4-1和图4-2所示。四：习题1、如图，在四边形ABCD中，AC平分BAD，ADCABC180度，CEAD于E，猜想AD、AE、AB之间的数量关系，并证明你的猜想，EBACD2如图，ABCD中，E是DC上一点，F是AD上一点，AE交CF于点O，且AE=CF.求证：OB平分.DECBOFA提示：ABE的面积=BFC的面积。3已知CE、AD是ABC的角平分线，B=60，求证：AC=AE+CDAEBDC4.如图1-2，AB/CD，BE平分BCD，CE平分BCD，点E在AD上，求证：BC=AB+CD。5.如图，ABAC, 1=2，求证：ABACBDCD。12ACDB6.已知：四边形ABCD中，ABCD，1=2，3=4，求证：BC=ABCDABCDE12347.已知：如图2-6,在正方形ABCD中，E为CD 的中点，F为BC 上的点，FAE=DAE。求证：AF=AD+CF。8.已知：在ABC中，CAB=2B，AE平分CAB交BC于E，AB=2AC，求证：AE=2CE9.已知：D是ABC的BAC的外角的平分线AD上的任一点，连接DB、DC。求证：BD+CDAB+AC。10如图2-4AOP=BOP=15，PC/OA，PDOA， 如果PC=4，则PD=（ ）A 4 B 3 C 2 D 111已知：如图 BAC=CAD,ABAD，CEAB，AE=（AB+AD）.求证：D+B=180012 已知：在ABC中