贵州省贵阳市2017年高考数学一模试卷(解析版)(理科)

2017年贵州省贵阳市高考数学一模试卷（理科）一、选择题（共12小题，每小题5分，满分60分）1已知i为虚数单位，则z=i+i2+i3+i2017=（）A0B1CiDi2满足1，2P1，2，3，4的集合P的个数是（）A2B3C4D53数列an满足a1=0，=1（n2，nN*），则a2017=（）ABCD4如图的程序框图，如果输入三个数a，b，c，（a2+b20）要求判断直线ax+by+c=0与单位圆的位置关系，那么在空白的判断框中，应该填写下面四个选项中的（）Ac=0？Bb=0？Ca=0？Dab=0？5某一空间几何体的三视图如图所示，则该几何体的最长棱长为（）A2BC2D36函数曲线y=x与y=x2所围成的封闭区域的面积为（）ABCD7圆C与x轴相切于T（1，0），与y轴正半轴交于两点A、B，且|AB|=2，则圆C的标准方程为（）A（x1）2+（y）2=2B（x1）2+（y2）2=2C（x+1）2+（y+）2=4D（x1）2+（y）2=48设M为边长为4的正方形ABCD的边BC的中点，N为正方形区域内任意一点（含边界），则的最大值为（）A32B24C20D169若m（，1），a=lgm，b=lgm2，c=lg3m，则（）AabcBcabCbacDbca10已知球O的半径为2，四点S、A、B、C均在球O的表面上，且SC=4，AB=，SCA=SCB=，则点B到平面SAC的距离为（）ABCD111斜率为k（k0）的直线经过抛物线y2=2px（p0）的焦点，与抛物线交于A、B两点，与抛物线的准线交于C点，当B为AC中点时，k的值为（）ABC2D312已知M是函数f（x）=e2|x1|+2sin（x）在x3，5上的所有零点之和，则M的值为（）A4B6C8D10二、填空题（共4小题，每小题5分，满分20分）13已知tan（+）=2，则cos2+sin2=14n的展开式中，所有二项式系数之和为512，则展开式中x3的系数为（用数字作答）15我国古代数学家刘徽是公元三世纪世界上最杰出的数学家，他在九章算术圆田术注重，用割圆术证明了圆面积的精确公式，并给出了计算圆周率的科学方法，所谓“割圆术”，即通过圆内接正多边形细割圆，并使正多边形的周长无限接近圆的周长，进而求得较为精确的圆周率（圆周率指周长与该圆直径的比率）刘徽计算圆周率是从正六边形开始的，易知圆的内接正六边形可分为六个全等的正三角形，每个三角形的边长均为圆的半径R，此时圆内接正六边形的周长为6R，此时若将圆内接正六边形的周长等同于圆的周长，可得圆周率为3，当正二十四边形内接于圆时，按照上述算法，可得圆周率为（参考数据：cos150.966，0.26）16已知数列an满足：2a1+22a2+23a3+2nan=n（nN*），数列的前n项和为Sn，则S1S2S3S10=三、解答题（共5小题，满分60分）17（12分）已知锐角ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，b=sin（A+C），cos（AC）+cosB=c（1）求角A的大小；（2）求b+c的取值范围18（12分）2017年1月1日，作为贵阳市打造“千园之城”27个示范性公元之一的泉湖公园正式开园，元旦期间，为了活跃气氛，主办方设置了水上挑战项目向全体市民开放，现从到公园游览的市民中随机抽取了60名男生和40名女生共100人进行调查，统计出100名市民中愿意接受挑战和不愿意接受挑战的男女生比例情况，具体数据如图表：（1）根据条件完成下列22列联表，并判断是否在犯错误的概率不超过1%的情况下愿意接受挑战与性别有关？ 愿意 不愿意 总计 男生 女生 总计（2）水上挑战项目共有两关，主办方规定：挑战过程依次进行，每一关都有两次机会挑战，通过第一关后才有资格参与第二关的挑战，若甲参加每一关的每一次挑战通过的概率均为，记甲通过的关数为X，求X的分布列和数学期望参考公式与数据： P（K2k0） 0.1 0.05 0.025 0.01 k0 2.7063.841 5.024 6.635 K2=19（12分）底面为菱形的直棱柱ABCDA1B1C1D1中，E、F分别为棱A1B1、A1D1的中点（）在图中作一个平面，使得BD，且平面AEF，（不必给出证明过程，只要求作出与直棱柱ABCDA1B1C1D1的截面）（II）若AB=AA1=2，BAD=60，求平面AEF与平面的距离d20（12分）经过原点的直线与椭圆C： +=1（ab0）交于A、B两点，点P为椭圆上不同于A、B的一点，直线PA、PB的斜率均存在，且直线PA、PB的斜率之积为（1）求椭圆C的离心率；（2）设F1、F2分别为椭圆的左、右焦点，斜率为k的直线l经过椭圆的右焦点，且与椭圆交于M、N两点，若点F1在以|MN|为直径的圆内部，求k的取值范围21（12分）设f（x）=lnx，g（x）=x|x|（1）求g（x）在x=1处的切线方程；（2）令F（x）=xf（x）g（x），求F（x）的单调区间；（3）若任意x1，x21，+）且x1x2，都有mg（x1）g（x2）x1f（x1）x2f（x2）恒成立，求实数m的取值范围四、请考生在第22.23题中任选一题作答，如多做，则按所做的第一题记分选修4-4：坐标系与参数方程选讲22（10分）在直角坐标系中，以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为2cos6sin+=0，直线l的参数方程为（t为参数）（1）求曲线C的普通方程；（2）若直线l与曲线C交于A，B两点，点P的坐标为（3，3），求|PA|+|PB|的值选修4-5：不等式选讲23设f（x）=|x+1|x4|（1）若f（x）m2+6m恒成立，求实数m的取值范围；（2）设m的最大值为m0，a，b，c均为正实数，当3a+4b+5c=m0时，求a2+b2+c2的最小值2017年贵州省贵阳市高考数学一模试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题（共12小题，每小题5分，满分60分）1已知i为虚数单位，则z=i+i2+i3+i2017=（）A0B1CiDi【考点】虚数单位i及其性质【分析】利用等比数列的求和公式、复数的周期性即可得出【解答】解：z=i，故选：D【点评】本题考查了等比数列的求和公式、复数的周期性，考查了推理能力与计算能力，属于基础题2满足1，2P1，2，3，4的集合P的个数是（）A2B3C4D5【考点】集合的包含关系判断及应用【分析】集合A一定要含有1、2两个元素，可能含有3、4，但不能包含全部，即可得出结论【解答】解：P可以为1，2，1，2，3，1，2，4，个数为3故选B【点评】子集包括真子集和它本身，集合的子集个数问题，对于集合M的子集问题一般来说，若M中有n个元素，则集合M的子集共有2n个，真子集2n1个3数列an满足a1=0，=1（n2，nN*），则a2017=（）ABCD【考点】等差数列的通项公式【分析】推导出是首项为1，公差为了的等差数列，由此能求出a2017的值【解答】解：数列an满足a1=0，=1（n2，nN*），=1，是首项为1，公差为了的等差数列，=1+（n1）=n，解得a2017=故选：C【点评】本题考查数列的第2016项的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意等差数列的性质的合理运用4如图的程序框图，如果输入三个数a，b，c，（a2+b20）要求判断直线ax+by+c=0与单位圆的位置关系，那么在空白的判断框中，应该填写下面四个选项中的（）Ac=0？Bb=0？Ca=0？Dab=0？【考点】程序框图【分析】根据直线ax+by+c=0与单位圆x2+y2=1的位置关系，当c2a2+b2，且c=0时，直线与单位圆相交过圆心，即可得解【解答】解：根据直线ax+by+c=0与单位圆x2+y2=1的位置关系，当c2a2+b2，且c=0时，直线与单位圆相交过圆心，可得：空白的判断框中，应该填写c=0？故选：A【点评】本题考查的知识点是程序框图的作用，点到直线的距离，属于基础题5某一空间几何体的三视图如图所示，则该几何体的最长棱长为（）A2BC2D3【考点】由三视图求面积、体积【分析】由三视图知该几何体是底面为直角梯形的直四棱锥，结合图中数据，即可求出四棱锥中最长的棱长【解答】解：由三视图知，几何体是一个四棱锥，且四棱锥的底面是一个直角梯形OABC，直角梯形的上底是BC=1，下底是AO=2，垂直于底边的腰是OP=2，如图所示：则四棱锥的最长棱长为PB=3故选：D【点评】本题考查了几何体三视图的应用问题，解题的关键是还原出几何体结构特征，是基础题6函数曲线y=x与y=x2所围成的封闭区域的面积为（）ABCD【考点】定积分【分析】利用定积分的几何意义，首先表示面积，然后计算定积分【解答】解：函数曲线y=x与y=x2所围成的封闭区域的面积为=；故选A【点评】本题考查了定积分的几何意义的应用解决封闭图形的面积问题，关键是正确利用定积分表示封闭图形的面积；属于常规题型7圆C与x轴相切于T（1，0），与y轴正半轴交于两点A、B，且|AB|=2，则圆C的标准方程为（）A（x1）2+（y）2=2B（x1）2+（y2）2=2C（x+1）2+（y+）2=4D（x1）2+（y）2=4【考点】圆的标准方程【分析】确定圆心与半径，即可求出圆C的标准方程【解答】解：由题意，圆的半径为=，圆心坐标为（1，），圆C的标准方程为（x1）2+（y）2=2，故选：A【点评】本题考查圆的标准方程，考查学生的计算能力，属于基础题8设M为边长为4的正方形ABCD的边BC的中点，N为正方形区域内任意一点（含边界），则的最大值为（）A32B24C20D16【考点】平面向量数量积的运算【分析】以A为坐标原点，以AB方向为x轴正方向，以AD方向为y轴方向建立坐标系，将向量的数量积用坐标表示，再利用线性规划方法解决问题【解答】解：以A为坐标原点，以AB方向为x轴正方向，以AD方向为y轴方向建立坐标系，则A=（0，0），M（4，2），则=（4，2），设N点坐标为（x，y），则=（x，y），=4x+2y，设z=4x+2y，平移目标函数，则过点C（4，4）时有最大值，此时最大值为z=16+8=24，故选：B【点评】本题主要考查两个向量的数量积公式的应用，向量的主要功能就是数形结合，将几何问题转化为代数问题，但关键是建立合适的坐标系，将向量用坐标表示，再将数量积运算转化为方程或函数问题9若m（，1），a=lgm，b=lgm2，c=lg3m，则（）AabcBcabCbacDbca【考点】对数值大小的比较【分析】m（，1），可得a=lgm0，1mm20，因此ab，c=lg3mlgm=a，即可得出【解答】解：m（，1），a=lgm0，1mm20，ab，c=lg3mlgm=a，cab故选：C【点评】本题考查了函数的单调性、不等式的性质，考查了推理能力与计算能力，属于基础题10已知球O的半径为2，四点S、A、B、C均在球O的表面上，且SC=4，AB=，SCA=SCB=，则点B到平面SAC的距离为（）ABCD1【考点】点、线、面间的距离计算；球的体积和表面积【分析】过AB的小圆的圆心为D可得AC=BC=2，AD=BD=，即可求解B到平面SAC的距离【解答】解：球的直径SC=4，A，B是该球球面上的两点，AB=，SCA=SCB=，半径为2，过AB的小圆的圆心为D可得AC=BC=2，AD=BD=，ABD是等边三角形，AD边上的高为B到平面SAC的距离，即故选：B【点评】本题考查了学生的空间想象力，考查转化思想以及计算能力属于中档题11斜率为k（k0）的直线经过抛物线y2=2px（p0）的焦点，与抛物线交于A、B两点，与抛物线的准线交于C点，当B为AC中点时，k的值为（）ABC2D3【考点】直线与抛物线的位置关系【分析】如图，设A，B两点的抛物线的准线上的射影分别为E，M，过B作AE的垂线BN，在三角形ABN中，BAN等于直线AB的倾斜角，其正切值即为k值，利用在直角三角形ABN中，tanBAN=，从而得出直线AB的斜率【解答】解：如图，设A，B两点的抛物线的准线上的射影分别为E，M，过B作AE的垂线BN，在三角形ABN中，BAN等于直线AB的倾斜角，其正切值即为k值，设|BF|=n，B为AC中点，可得2|BF|=|AE|，即|AF|=2|BF|，|AF|=2n，根据抛物线的定义得：|AE|=2n，|BF|=n，|AN|=n，在直角三角形ABC中，tanBAN=2；故选：C【点评】本题主要考察了直线与抛物线的位置关系，抛物线的简单性质，特别是焦点弦问题，解题时要善于运用抛物线的定义解决问题12已知M是函数f（x）=e2|x1|+2sin（x）在x3，5上的所有零点之和，则M的值为（）A4B6C8D10【考点】根的存在性及根的个数判断【分析】函数的零点，转化为两个函数的图形的交点的横坐标，利用函数的对称性，求解即可【解答】解：函数f（x）=e2|x1|+2sin（x）在x3，5上的所有零点，就是e2|x1|=2sin（x）在x3，5上的所有的根，即e2|x1|=2cosx在x3，5上的所有根，就是函数y=e2|x1|与y=2cosx，交点的横坐标，画出两个函数的图象如图，因为两个函数都关于x=1对称，两个函数共有8个交点，所以函数f（x）=e2|x1|+2sin（x）在x3，5上的所有零点之和，M=8故选：C【点评】本题考查函数的零点与方程根的关系，考查数形结合以及转化思想的应用，考查计算能力二、填空题（共4小题，每小题5分，满分20分）13已知tan（+）=2，则cos2+sin2=【考点】终边相同的角【分析】利用倍角公式、弦化切即可得出【解答】解：tan（+）=tan=2，sin2+cos2=故答案为：【点评】本题考查了二倍角公式的应用，熟练掌握公式是解本题的关键，是基础题14（x）n的展开式中，所有二项式系数之和为512，则展开式中x3的系数为126（用数字作答）【考点】二项式定理的应用【分析】先由条件求得n=9，在二项展开式的通项公式中，令x的幂指数等于3，求出r的值，即可求得展开式中x3的系数【解答】解：由题意2n=512，则n=9，通项公式为Tr+1=（1）r，令9r=3，求得r=4，可得该展开式中x3的系数=126，故答案为：126【点评】本题主要考查二项式定理的应用，二项展开式的通项公式，二项式系数的性质，属于基础题15我国古代数学家刘徽是公元三世纪世界上最杰出的数学家，他在九章算术圆田术注重，用割圆术证明了圆面积的精确公式，并给出了计算圆周率的科学方法，所谓“割圆术”，即通过圆内接正多边形细割圆，并使正多边形的周长无限接近圆的周长，进而求得较为精确的圆周率（圆周率指周长与该圆直径的比率）刘徽计算圆周率是从正六边形开始的，易知圆的内接正六边形可分为六个全等的正三角形，每个三角形的边长均为圆的半径R，此时圆内接正六边形的周长为6R，此时若将圆内接正六边形的周长等同于圆的周长，可得圆周率为3，当正二十四边形内接于圆时，按照上述算法，可得圆周率为3.12（参考数据：cos150.966，0.26）【考点】模拟方法估计概率【分析】求出边长为0.26R，周长为0.2624R=2R，即可得出结论【解答】解：正二十四边形的圆心角为15，圆的半径R，边长为0.26R，周长为0.2624R=2R，=3.12，故答案为3.12【点评】本题考查模拟方法估计概率，考查学生的计算能力，比较基础16已知数列an满足：2a1+22a2+23a3+2nan=n（nN*），数列的前n项和为Sn，则S1S2S3S10=【考点】数列递推式；数列的求和【分析】根据2a1+22a2+23a3+2nan=n，求出an=，再利用对数的运算性质和裂项法即可得到=，裂项求和得到Sn，代值计算即可【解答】解：2a1+22a2+23a3+2nan=n，2a1+22a2+23a3+2n1an1=n1，2nan=1，an=，=，Sn=1+=1=，S1S2S3S10=，故答案为：【点评】本题考查了数列的通项公式的求法和裂项求和，属于中档题三、解答题（共5小题，满分60分）17（12分）（2017贵阳一模）已知锐角ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，b=sin（A+C），cos（AC）+cosB=c（1）求角A的大小；（2）求b+c的取值范围【考点】余弦定理【分析】（1）由已知利用正弦定理可得：a=sinA，c=sinC，利用三角函数恒等变换的应用化简已知等式可得2sinAsinC=，从而可求a=sinA，结合A为锐角，可求A的值（2）由余弦定理，基本不等式可求b+c，由三角形两边之和大于第三边可得b+ca=，即可得解b+c的范围【解答】解：（1）b=sin（A+C），可得：b=sinB，由正弦定理，可得：a=sinA，c=sinC，cos（AC）+cosB=c，可得：cos（AC）cos（A+C）=c，可得：cosAcosC+sinAsinC（cosAcosCsinAsinC）=，2sinAsinC=，2ac=，可得：a=sinA，A为锐角，A=（2）a=，A=，由余弦定理可得：（）2=b2+c22bccos，即=b2+c2bc，整理可得：（b+c）2=+bc，又=b2+c2bc2bcbc=bc，当且仅当b=c时等号成立，（b+c）2=+bc+=，解得：b+c，当且仅当b=c时等号成立，又b+ca=，b+c（，【点评】本题主要考查了正弦定理，三角函数恒等变换的应用，余弦定理，基本不等式以及三角形两边之和大于第三边等知识的综合应用，考查了转化思想，属于中档题18（12分）（2017贵阳一模）2017年1月1日，作为贵阳市打造“千园之城”27个示范性公元之一的泉湖公园正式开园，元旦期间，为了活跃气氛，主办方设置了水上挑战项目向全体市民开放，现从到公园游览的市民中随机抽取了60名男生和40名女生共100人进行调查，统计出100名市民中愿意接受挑战和不愿意接受挑战的男女生比例情况，具体数据如图表：（1）根据条件完成下列22列联表，并判断是否在犯错误的概率不超过1%的情况下愿意接受挑战与性别有关？ 愿意 不愿意 总计 男生 女生 总计（2）水上挑战项目共有两关，主办方规定：挑战过程依次进行，每一关都有两次机会挑战，通过第一关后才有资格参与第二关的挑战，若甲参加每一关的每一次挑战通过的概率均为，记甲通过的关数为X，求X的分布列和数学期望参考公式与数据： P（K2k0） 0.1 0.05 0.025 0.01 k0 2.7063.841 5.024 6.635 K2=【考点】离散型随机变量的期望与方差；离散型随机变量及其分布列【分析】（1）利用k2计算公式即可得出（2）由题意可得：X=0，1，2可得P（X=0）=，P（X=2）=，P（X=1）=1P（X=0）P（X=2）【解答】解：（1）由统计表格可得： 愿意 不愿意 总计 男生 15 45 60 女生 20 20 40 总计 35 65 100K2=6.5946.635，在犯错误的概率不超过1%的情况下不能接受挑战与性别有关（2）由题意可得：X=0，1，2则P（X=0）=，P（X=2）=，P（X=1）=1P（X=0）P（X=2）= X 0 1 2 PE（X）=0+1=【点评】本题考查了随机变量的分布列的性质及其数学期望、“独立性检验”计算公式及其原理，考查了推理能力与计算能力，属于中档题19（12分）（2017贵阳一模）底面为菱形的直棱柱ABCDA1B1C1D1中，E、F分别为棱A1B1、A1D1的中点（）在图中作一个平面，使得BD，且平面AEF，（不必给出证明过程，只要求作出与直棱柱ABCDA1B1C1D1的截面）（II）若AB=AA1=2，BAD=60，求平面AEF与平面的距离d【考点】点、线、面间的距离计算；直线与平面平行的判定；平面与平面平行的判定【分析】（）取B1C1的中点H，C1D1的中点G，平面BHGD就是所求平面（）取BC中点M，以D为原点，DA为x轴，DM为y轴，DD1为z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出平面AEF与平面的距离【解答】解：（）取B1C1的中点H，C1D1的中点G，连结BH、GH、DH，则平面BHGD就是所求平面，与直棱柱ABCDA1B1C1D1的截面为平面BHGD（）菱形的直棱柱ABCDA1B1C1D1中，AB=AA1=2，BAD=60，取BC中点M，以D为原点，DA为x轴，DM为y轴，DD1为z轴，建立空间直角坐标系，A（2，0，0），D（0，0，0），B（1，0），H（0，2），=（2，0，0），=（1，0），=（0，2），设平面（即平面BHGD）的法向量=（x，y，z），则，取y=2，得=（2，2，），平面AEF与平面的距离d=【点评】本题考查满足面面平行的平面的作法，考查两平面间的距离的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意空间思维能力的培养20（12分）（2017贵阳一模）经过原点的直线与椭圆C： +=1（ab0）交于A、B两点，点P为椭圆上不同于A、B的一点，直线PA、PB的斜率均存在，且直线PA、PB的斜率之积为（1）求椭圆C的离心率；（2）设F1、F2分别为椭圆的左、右焦点，斜率为k的直线l经过椭圆的右焦点，且与椭圆交于M、N两点，若点F1在以|MN|为直径的圆内部，求k的取值范围【考点】直线与椭圆的位置关系；椭圆的标准方程【分析】（1）设P（x0，y0），A（x1，y1），B（x1，y1），代入椭圆方程得，由直线PA、PB的斜率之积为，得到=，由此能求出椭圆C的离心率（2）由e=，得，从而=1，c=，焦点F1（，0），设MN：y=k（x），联立，得，由此利用韦达定理、向量的数量积，结合已知条件能求出k的取值范围【解答】解：（1）设P（x0，y0），A（x1，y1），B（x1，y1），则，=，=，椭圆C的离心率e=（2）e=，=1，c=，焦点F1（，0），设MN：y=k（x），联立，得，设M（x1，y1），N（x2，y2），则，=，0，（x1+，y1）（，y2）=（）+y1y2=+=（1+k2）x1x2（x1+x2）（1k2）+3b2（1+k2）=+0，（1+k2）（12k24）+24k2（1k2）+3（1+k2）（4k2+1）0，整理，得，解得k的取值范围是（）【点评】本题考查椭圆的离心率的求法，考查实数的取值范围求法，是中档题，解题时要认真审题，注意韦达定理、椭圆性质的合理运用21（12分）（2017贵阳一模）设f（x）=lnx，g（x）=x|x|（1）求g（x）在x=1处的切线方程；（2）令F（x）=xf（x）g（x），求F（x）的单调区间；（3）若任意x1，x21，+）且x1x2，都有mg（x1）g（x2）x1f（x1）x2f（x2）恒成立，求实数m的取值范围【考点】利用导数研究函数的单调性；利用导数研究曲线上某点切线方程【分析】（1）求出函数g（x）的导数，计算g（1），g（1），求出切线方程即可；（2）求出函数F（x）的导函数，得到导函数的单调性，从而求出函数F（x）的单调性即可；（3）已知可转化为x1x21时，mg（x1）x1f（x1）mg（x2）x2f（x2）恒成立，令h（x）=mg（x）xf（x）=x2xlnx，则h（x）为单调递增的函数结合导数工具即可求得实数m的取值范围【解答】解：（1）x0时，g（x）=x2，g（x）=x，故g（1）=，g（1）=1，故切线方程是：y+=（x+1），即xy+=0；（2）F（x）=xlnxx|x|=xlnxx2，（x0），F（x）=lnxx+1，F（x）=1，令F（x）0，解得：0x1，令F（x）0，解得：x1，故F（x）在（0，1）递增，在（1，+）递减，故F（x）F（1）=0，故F（x）在（0，+）递减；（3）已知可转化为x1x21时，mg（x1）x1f（x1）mg（x2）x2f（x2）恒成立，令h（x）=mg（x）xf（x）=x2xlnx，则h（x）为单调递增的函