二次曲线方程的化简与分类.ppt

5.6二次曲线方程的化简与分类,这一节，我们将在直角坐标系下，利用坐标变换，使二次曲线的方程在新坐标系里具有最简形式，然后在此基础上进行二次曲线的分类。,1.平面直角坐标变换,我们知道，如果平面内一点的旧坐标与新坐标分别为与，那么移轴公式为,（5.6-1）,或,（5.6-1）,式中为新坐标系原点在旧坐标系里的坐标。,先移轴使坐标原点与新坐标系的原点重合,变成坐标系,（5.6-2）,或,（5.6-2）,式中的为坐标轴的旋转角。,而在一般情形，由旧坐标系变成新坐标系，总可以分两步来完成，,转轴公式为,成新坐标系,设平面上任意点,的旧坐标与新坐标分别为,与,（图5-1）,由上两式得一般坐标变换公式为,（5.6-3）,与,那么有,由（5.6-3）解出便得逆变换公式,（5.6-4）,平面直角坐标变换公式（5.6-3）是由新坐标系原点的坐标与坐标轴的旋转角决定的。,确定坐标变换公式，除了上面的这种情况外，还可以有其它的方法。,例如给出了新坐标系的两坐标轴在旧坐标系里的方程，并规定了一个轴的正方向等。现在我们就来介绍这情况下的坐标变换公式。,（图5-2）,设在直角坐标系里给定了两条互相垂直的直线,因为是点到轴的距离，也就是点到的距离，因此我们有,同理可得,其中,横轴,纵轴,旧坐标与新坐标分别是,于是在去掉绝对值符号以后，便有,（5.6-5）,为了使新坐标系仍然是右手坐标系，我们来决定（5.6-5）中的符号,将（5.6-5）式与公式（5.6-4）比较得,（5.6-4）,因此（5.6-5）中的第一式右端的的系数应与第二式的右端的实数相等，所以（5.6-5）的符号选取要使得这两项的系数是同号的。,根据上面的符号选取法则得变换公式为,2.二次曲线方程的化简与分类,设二次曲线的方程为,（1）,现在我们要选取一个适当的坐标系，也就是要确定一个坐标变换，使得曲线（1）在新坐标系下的方程最为简单，这就是二次曲线方程的化简。,为此，我们必须了解在坐标变换下二次曲线方程的系数是怎样变化的。,因为一般坐标变换是由移轴与转轴组成，所以我们分别考察在移轴与转轴下，,二次曲线方程（1）的系数的变换规律。,在移轴（5.6-1）即,下，二次曲线（1）的新方程为,化简整理得：,这里,（5.6-6）,因此在移轴（5.6-1）下，二次曲线方程系数的变换规律为：,二次项系数不变；,一次项系数变为与；,常数项变为。,所以当二次曲线有中心时，作移轴，使原点与二次曲线的中心重合，那么在新坐标系下二次曲线的新方程中一次项消失。,因为当为二次曲线（1）的中心时，有，,把转轴公式（5.6-2）即,代入（1），得在转轴（5.6-2）下二次曲线（1）的新方程为,这里,（5.6-7）,因此，在转轴下，二次曲线方程（1）的系数变换规律为：,二次项系数一般要改变。新方程的二次项系数仅与原方程的二次项系数及旋转角有关，而与一次项系数及常数项无关。,一次项系数一般要改变。新方程的一次,项系数,解出得,常数项不变。,二次曲线方程（1）里，如果，我们往往使用转轴使新方程中的。为此，我们只有取旋转角，使得,即,所以,（5.6-8）,因为余切的值可以是任意的实数，所以总有满足（5.6-8），也就是说总可以经过适当的转轴消去（1）的项。,即,所以,从而得,取，那么，所以得,转轴公式为,代入原方程化简整理得转轴后的新方程为,利用配方使上式化为,再作移轴,曲线方程化为最简形式,或写成标准方程为,这是一条抛物线，它的顶点是新坐标系的原点。原方程的图形可以根据它在坐标系中的标准方程作出，它的图形如图5-3所示。,利用坐标变换化简二次曲线的方程，如果曲线有中心，那么为了计算方便，往往先移轴后转轴。,解因为,所以曲线为中心二次曲线，解方程组,得中心的坐标为，取为新原点，,原方程变为,再转轴消去项，由（5.6-8）得,从而可取，故转轴公式为,作移轴,经转轴后曲线的方程,或写成标准形式,这是一个椭圆，它的图形如图5-4所示。,利用转轴来消去二次曲线方程的项，它有一个几何意义，就是把坐标轴旋转到与二次曲线的主方向平行的位置。,这是因为如果二次曲线的特征根确定的主方向为，那么由（5.5-1）立刻得：,因此，上面介绍的通过转轴与移轴来化简二次曲线方程的方法，实际是把坐标轴变换到与二次曲线的主直径（即对称轴）重合的位置。,如果是线心曲线，坐标原点可以与曲线的任何一个中心重合。,因此，二次曲线方程的化简，只要先求出曲线（1）的主直径，然后以它作为新坐标轴，作坐标变换即可。,如果是中心曲线，,如果是无心曲线，,坐标原点与曲线的中心重合；,坐标原点与曲线的顶点重合；,解已知二次曲线的矩阵是,所以曲线的特征方程是,解得两特征根为,因而曲线的两个主方向为,曲线的两条主直径为,与,即,取这两条主直径为新坐标轴，由（5.6-5）得坐标变换公式为,解出与,代入已知曲线方程，经过整理得曲线在新坐标系下得方程为,所以曲线标准方程为,这是一条双曲线。,解已知二次曲线的矩阵是,曲线为非中心曲线，它的特征方程为,特征根为,曲线的非渐近主方向为对应于的这方向,为新坐标系的轴，而过曲线的顶点,所以曲线的主直径为,即,求出主直径于曲线的交点，即曲线的顶点为,所以过曲线顶点且以非渐近主方向为方向的直线为,即,这也是过顶点垂直于主直径的直线，取主直径,且垂直于主直径的直线为轴，作坐标变换，它的变换公式为,解出与,代入已知方程，经过整理得,化为标准方程,这是一条抛物线。,例6化简。,解已知曲线的矩阵为,它的第一，第二两行成比例，曲线为线心曲线，它有唯一的直径即中心线，也