行程问题--相遇问题

知识框架数学运算问题一共分为十四个模块，其中一块是行程问题。相遇问题是行程问题中的一种。 在公务员考试中，相遇问题虽然是考核心公式的应用，但基本不是直接代入核心公式就可以解题，但总的来说其只有以下两种情况，每种情况有2种变化。同学只要牢牢把握这两种情况，就能轻松搞定初等行程问题。 核心点拨1、题型简介 相遇问题是行程问题的典型应用题，研究“相向运动”的问题，反映的是两个量或者多个物体所走的路程、速度和时间的关系。其核心就是速度和。通常是已知速度、路程等变量，求相遇时间或者已知时间，速度，求路程等这类题型。 2、核心知识 速度和相遇时间=相遇路程； 相遇路程相遇时间=速度和； 相遇路程速度和=相遇时间。 （1）直线相遇问题 当相遇问题发生在直线路程上时，甲的路程+乙的路程=总路程； （2）环线相遇问题 当相遇问题发生在环形路程上时，甲的路程+乙的路程=环形周长。 3.核心知识使用详解 解答相遇问题时，一般需要借助于列方程法进行求解。 对于复杂的相遇问题，正确画出行程图、找准突破口往往是解题的关键。 一般而言，单个量的往返问题，一般以时间关系为突破口； 两个量的往返问题，一般以路程为突破口。 夯实基础1.直线相遇问题 例1：(2008江苏C类) 两列对开的列车相遇，第一列车的速度为12米/秒，第二列车的速度为14米/秒，第二列车上的一旅客发现第一列车从旁边开过的时间为5秒，则第一列车的车长为多少米？ A. 60B. 75C. 80D. 130【答案】 D【解析】 题钥 “第二列车上的一旅客发现第一列车从旁边开过的时间为5秒，”可得到：旅客与第一列车的相对速度=第一列车和第二列车的相对速度=两车速度和。 解析 第二列车通过第一列车的路程： 假设第一列车静止，为一段静止的路程， 由题可知：第二列车通过第一列车的路程=第一列车的长； 第二列车通过第一列车的时间： 由题可知，第二列车通过第一列车的时间为5秒； 两车速度和： 两车相向而行，相对速度=两车速度和=12+14=28米秒； 第一列车的车长： 第一列车的长=第二列车通过第一列车的路程 =速度和相遇时间 =(12+14)5=130米。 因此，选D。例2：(2010江西) 甲从A地，乙从B地同时以均匀的速度相向而行，第一次相遇离A地6千米，继续前进，到达对方起点后立即返回，在离B地3千米处第二次相遇，则A、B两地相距多少千米？ A. 10B. 12C. 18D. 15【答案】 D【解析】 题钥 “甲从A地，乙从B地同时以均匀的速度相向而行，”由速度时间=路程可知，当时间相同时，甲乙的速度比（是一定值）等于甲乙所走的路程比。 解析 根据题意，设A、B两地相距为x千米， 第一次相遇甲所走的路程：6千米； 第一次相遇乙所走的路程：（x-6）千米； 第二次相遇甲所走的路程：（2x-3）千米； 第二次相遇乙所走的路程：（x+3）千米； 两地相距的距离： 两次相遇过程中甲乙同时以匀速行走，故 即 解得x=15。 因此，选D。2.环线相遇问题 例3： 如图，外圆圆周长80厘米，阴影部分是个“逗号”，两只蚂蚁分别从A、B点同时爬行。甲蚂蚁从A点出发，沿“逗号”四周逆时针爬行，每秒爬3厘米；乙蚂蚁从B出发，沿外圆圆周顺时针爬行，每秒爬行5厘米。两只蚂蚁第一次相遇时，乙蚂蚁共爬行了多少厘米？ A. 25B. 50C. 75D. 100【答案】 C【解析】 题钥 “甲蚂蚁从A点出发，沿逗号四周逆时针爬行,”“乙蚂蚁从B出发，沿外圆圆周顺时针爬行，”甲蚂蚁先要走过A、B点之间“逗号”曲线才有可能与乙蚂蚁相遇。 A、B点之间“逗号”曲线距离=两个半圆的半周长，设大圆半径为R，小圆半径为r。 两个半圆的半周长=大圆的半周长+小圆的半周长=R +r=（R +r）=AB=外圆半周长 解析 甲蚂蚁走过的A、B点之间“逗号”曲线距离： 据图形可知，外圆的直径等于两个内圆直径之和，所以，A、B点之间“逗号”曲线的距离等于外国半圆的距离，为802=40厘米； 两只蚂蚁走过的相遇路程： 两只蚂蚁相向而行，分析可得，相遇时路程应该在圆的右侧外圆上面，所以相遇时，两只蚂蚁走过的总路程为40+80=120厘米； 两只蚂蚁走过的速度和： 速度和=甲蚂蚁速度+乙蚂蚁速度=3+5=8厘米/秒； 两只蚂蚁走过的相遇时间： 相遇时间=相遇路程速度和=1208=15秒； 相遇时，甲蚂蚁走过的路程： 路程=速度时间=315=45厘米； 相遇时，乙蚂蚁走过的路程： 路程=速度时间=515=75厘米； 因此，选C。进阶训练1.直线相遇问题 例4：(2009黑龙江) 甲、乙、丙三辆车的时速分别为60公里、50公里和40公里，甲从A地、乙和丙从B地同时出发相向而行，途中甲遇到乙后15分钟又遇到丙，问A、B两地相距多少公里？ A. 150公里B. 250公里C. 275公里D. 325公里【答案】 C【解析】 题钥 根据“途中甲遇到乙后15分钟又遇到丙”可知，甲乙走完全程所用的时间比甲丙要少15分钟，即1/4小时。 解析 根据题意，设AB两地的距离为S。 甲乙相遇时速度和： 60+50=110公里/时； 甲丙相遇时速度和： 60+40=100公里/时； 甲乙相遇时间： 相遇时间=相遇路程速度和= ； 甲丙相遇时间： 相遇时间=相遇路程速度和= ； AB两地的距离： 由于甲丙相遇比甲乙相遇多用15分钟，则有 -=， 解得S=275。 因此，选C。例5：(2007国考) A、B两站之间有一条铁路，甲、乙两列火车分别停在A站和B站，甲火车4分钟走的路程等于乙火车5分钟走的路程。乙火车上午8时整从B站开往A站，开出一段时间后，甲火车从A站出发开往B站，上午9时整两列火车相遇。相遇地点离A、B两站的距离比是15:16。那么，甲火车在( )从A站出发开往B站。 A. 8时12分B. 8时15分C. 8时24分D. 8时30分【答案】 B【解析】 题钥 “甲火车4分钟走的路程等于乙火车5分钟走的路程。”路程相同时，两车的时间比为4:5，两车的速度比为5:4； “乙火车上午8时整从B站开往A站，开出一段时间后，甲火车从A站出发开往B站，上午9时整两列火车相遇。”相遇时，乙用时1小时； “相遇地点离A、B两站的距离比是15:16”，即相遇时，甲走过的路程:乙走过的路程=15:16。 解析 甲的速度： 根据题意，设甲的速为5v； 乙的速度： 根据题意，设乙的速为4v； 相遇时，甲的时间： 根据题意，设相遇时甲走了t小时； 相遇时，乙的时间： 根据题意，可知相遇时，乙走了1小时； 相遇时，甲走过的路程： 路程=速度时间= 5vt； 相遇时，乙走过的路程： 路程=速度时间= 4v； 相遇时，甲的时间： 由相遇时，甲走过的路程:乙走过的路程=15:16可知， 5v:4v=15:16， 解得，甲走的时间为t=3/4小时=45分钟； 甲出发的时间： 由于相遇时间为9点， 所以甲火车在8点15分从A站出发。 因此，选B。例6：(2006浙江) 从甲、乙两车站同时相对开出第一辆公共汽车，此后两站每隔8分钟再开出一辆，以此类推。已知每辆车的车速相同且都是匀速的，每辆车到达对方站都需要45分钟。现有一乘客坐甲站开出的第一辆车去乙站，问他在路上会遇到几辆从乙站开出的公共汽车。 A. 4辆B. 5辆C. 6辆D. 7辆【答案】 C【解析】 题钥 “问他在路上会遇到几辆从乙站开出的公共汽车。”即该乘客到达乙站时，有几辆车从乙站开出。 解析 两站第一辆车的相遇时间： 根据题意可知，由于该乘客坐甲站开出的第一辆车去乙站，故出发后直到甲乙两车站的公交车相遇时，才会看到第一辆从乙站开出的汽车，此时时间为452=22.5分钟； 之后甲看到乙站发出来的车的时间间隔： 此后每隔82=4分钟（因为两车相向而行，速度为两车的速度和，又因为速度相同，故时间减半），他都会看到一辆乙站开出的公共汽车； 在剩余的22.5分钟内，会遇到的车辆有： 22.54的整数部分是5，即5辆； 因为先前的第22.5分时已遇到一辆，所以此人在路上一共会遇到车辆数为： 1+5=6辆。 因此，选C。3.环线相遇问题 例7： 甲和乙两人分别从一圆形场地的直径两端点同时开始以匀速按相反的方向绕此圆形运动，当乙走了100米以后，它们第一次相遇，在甲走完一周前60米处又第二次相遇。求此圆形场地的周长？ A. 420米B. 460米C. 480米D. 500米【答案】 C【解析】 题钥 这题是环形相遇问题，与直线相遇问题不同的是，环形多次相遇问题每次相遇时所走的路程之和是一圈。