住房与租房的数学建模

住房与租房的数学建模 队长： 逯瑶瑶 组员： 吴陈林 蔡亚刚 1 住房与租房的数学建模 摘要 目前，房屋是我们生活中必不可少的避风港，买房还是租房一直是人们关注 的热点，在买房或租房中该如何选择，成为人们迫切解决的问题。关于工作两年 的夫妻买房还是租房哪个更划算， 买房和租房成为我们生活中需要认真思考的一 个问题，到底是买房合适还是租房合适，首先我们要知道买房和租房的优缺点。 前提条件是无外界资助，工作地点在徐州百货大楼附近区域，贷款购买。如果买 房，月工资各 4000 的他们，只能在徐州市区附近买，这一些列问题现在给出如 下的解决方案。 考虑到购房租房成本， 上下班距离成本， 自然环境以及消费成本， 各个银行利率的对比，选择一个较为合理的银行，贷款银行及他们的利率和还款 方式通过计算进行对比分析，租房就要考虑房租增长情况，租房面积以及租房的 地理位置。给定一个假设的年限，通过计算除过日常开支后规定年限内租房和还 款金额的一个比较，把问题进行最优化。本文对问题B题给出的租房还是买房进 行研究展开讨论，利用数学模型进行求解。 对于问题一，对与居民关系紧密的住房价格进行研究，选取租房/买房成 本，环境友好程度 ，距离成本，生活质量作为主要影响因素，并从这四个方面 建立综合评价模型，并借助Matlab软件对模型进行了合理的理论证明和推导。 对于问题二，改变条件对模型的分析，两个人的月工资总和上涨为 16000， 改变问题一中小区的选取标准，将数据代入到问题一中模型进行求解，构建综合 评价模型，计算得到最优解。 关键字：关键字：动态加权 递归 综合评价模型 指标无量纲化 最优解 问题重述 1.1 问题背景问题背景 随着房价的不断变化， 对于刚工作的年轻人来说， 需要考虑的重要问题是买房与租房问 题， 究竟哪个更划算？一边是房价不停上涨， 一边是银行不断加息楼市调控举措的频频 “出拳”，让不少人陷入了究竟是买房还是租房更为划算的困惑中。 1.2 问题提出问题提出 现以在徐州市刚工作 2 年的夫妻为例， 在没有父母亲资助的条件下， 现面临买房还是租 房的选择，以两人的收入积累，只能购买徐州市区附近的房子，且以贷款方式购买，两人都 在徐州市百货大楼附近区域工作，收入 4000 元/人， 1、 请从购房租房成本， 上下班距离成本， 自然环境， 购物环境， 消费成本等方面考虑， 建立综合评价模型，量化分析说明是买房还是租房更划算？ 2 2、如果两人收入增加为 8000 元/人，对结果是否有改变？给出一个合理计划。如果买 房，买哪个小区比较合适？ 3、请根据以上结论，给出一份建设性报告。 一、 模型假设 2.1、 通胀为零：由于通胀难以量化，且在 70 年间更为可能的情况是既存在 通货膨胀，又存在通货紧缩。因此将其忽略。但我会采用不同利率来标示利 率对购房或者租房收益的影响。 2.2、 连续出租假设：假设房屋一直在被出租，且租金未随时间变化。 2.3、 假设现在夫妻两人现在 25 岁，65 岁退休。 2.4、 假设从现在起到买房期间的房价，银行贷款的利率是不发生变化的（因 为没有考虑工资的变动问题和通胀问题因此该假设是合理的） 2.5、 假设夫妻两人居住房子大小为 100m2 二、 符号说明 s：每人每月的工资 x：从现在到买房的年数 m：每月的生活费用 z：每个月的生活花费占每月结余的百分比 a：房子的租金 b：购买房子的房价 r：贷款的年利率 l ：居住地点到上班地点的距离 3 n Y ：表示买房后 n年银行未还清的贷款余额 W：W 年后完全获得一套房子 四、问题分析 问题一的分析：由于影响居民选择的关键因素较多，且关系较复杂， 很难从其各个因素找到与住房或买房之间的确切关系，为了简化运算，本 文只对与居民关系紧密的住房价格进行研究，选取租房/买房成本： 1 M ， 环境友好程度（包括自然环境，购物环境）： 2 M ，距离成本： 3 M ，生活 质量： 4 M 。并从这四个方面建立综合评价模型。 问题二的分析：改变条件对模型的分析，由于工资上涨，两个人的月 工资总和为 16000，则上下班距离成本，自然环境，购物环境以及消费成 本就会有新的标准，将数据代入到问题一中模型中进行求解，构建综合评 价模型。 4 五、模型的建立与求解 第一部分：因素分析与量化 5.1.15.1.1、 租房租房/ /买房成本买房成本 第 X 年的结余存款 12 ()Axsma （5.1-1） X 年时开始买房，需从银行贷款，为了简化模型假设一次性贷款购买 整套房子，购买后按年还款。 0 10 21 1 (1) 12 (2) (1) 12 (2) (1) 12 (2) nn Yba YYrsm YYrsm YYrsm (5.1-2) 当 0 n Y 表示在 n+x年该夫妻将银行贷款全部还清，并拥有一套自己 的房子。 求出 1 0 12(2) (1)(1) 12(2) n n sm YrYrsm r (5.1-3) 0 n Y 时 0 ln12(2)ln 12(2) ln(1) smsmY r Wnxx r (5.1-4) 5 约束条件 0 0 Wx x n (5.1-5) 图（5.1-1）小区 15 租房年数与还清贷款年数 6 图（5.1-2）小区 13 租房年数与还清贷款年数关系 表(5.1-1) ID 小区 租房年数/x 还清贷款年数 W（n+x） 1 民理园 4.081 15.59 2 中枢小区 2.311 13.42 3 艺波小区 0.465 12.20 4 黄河景园小区 0.000 14.78 5 舜禾公寓 4.149 18.58 6 醒狮小区 3.736 14.12 7 福水小区 3.368 13.99 8 国税小区 4.426 18.30 9 慧谷阳光花园 5.004 19.24 10 民和小区 3.848 14.35 11 建国小区 2.528 11.28 12 事业小区 2.453 11.42 13 解放里小区 2.903 10.92 14 梅苑小区 3.121 11.57 15 好来花园 4.404 18.84 我们将 W 作为租房/买房成本的指标（该指标为极小型指标） 5.1.25.1.2、 环境友好程度环境友好程度 不同的房价可以反映出该地点的环境友好程度，通过专家对地图进行 分析然后进行打分（专家打分） （该指标为极大型指标） 表(5.1-2) ID 小区 环境友好程度 1 民理园 7 2 中枢小区 5 3 艺波小区 9 4 黄河景园小区 7 5 舜禾公寓 6 6 醒狮小区 5 7 福水小区 7 8 国税小区 9 9 慧谷阳光花园 7 10 民和小区 9 11 建国小区 7 12 事业小区 5 7 13 解放里小区 9 14 梅苑小区 7 15 好来花园 10 5.1.35.1.3、 距离成本距离成本 距离成本用小区的位置到百货大楼的的距离来表示。（该指标为极小 型指标） 表(5.1-3) ID 小区 到百货大楼的距离/米 1 民理园 680 2 中枢小区 550 3 艺波小区 430 4 黄河景园小区 990 5 舜禾公寓 1000 6 醒狮小区 520 7 福水小区 900 8 国税小区 1200 9 慧谷阳光花园 1800 10 民和小区 1600 11 建国小区 2000 12 事业小区 2000 13 解放里小区 2100 14 梅苑小区 3300 15 好来花园 2700 5.1.45.1.4、 生活质量生活质量 通过调查比较各小区平均的消费水平，用生活费用占总收入的比重作 为生活质量的标准。 8 表(5.1-4) ID 小区 生活费用占总收入比重/% 1 民理园 38 2 中枢小区 40 3 艺波小区 35 4 黄河景园小区 40 5 舜禾公寓 38 6 醒狮小区 40 7 福水小区 32 8 国税小区 35 9 慧谷阳光花园 37 10 民和小区 36 11 建国小区 33 12 事业小区 40 13 解放里小区 38 14 梅苑小区 36 15 好来花园 30 第二部分：建立模型 对百货大楼附近选择的 16 个具有代表性的小区进行综合评价分析。 由 于主观赋权进行综合评价时人为影响因素比较大，同时单一指标内部对结 果影响也被忽略，也就是说房价 100 万与房价 200 万参与评价的权值是一 样的，这样显然不合实际。因此我们考虑动态加权来区别 100 万的房价与 200 万的房价之间权值的差别。 动态加权综合评价模型的步骤： 1、 指标一致化处理 2、 指标无量纲化处理 3、 确定动态加权函数 4、 计算动态权值 9 5、 综合模型建立 5.2.1、 指标类型一致化处理指标类型一致化处理 将指标类型统一化为极大型指标（高优指标）对极小型指标进行平移变换 0 max ijjij jij i n MMaxM MaxM (5.2-1) 租房/买房成本指标 M1， 距离成本 M2 进行平移变换处理， 化为极大型指标。 结果： 4.827262038 7.095275040 7.369287035 5.767231040 2.066230038 6.525278040 5.27240032 1.669210035 1.257150037 5.589170036 7.997130033 8.895130040 9.069120038 8.177036 01060030 M (5.2-2) 5.2.2、 指标无量纲化处理指标无量纲化处理 对指标类型一致化处理后的 M 矩阵进行极差无量纲化处理，经过无量 纲化处理以后值都是在01 之间 10 0 0 min max ijj ij jij jij i n jij i n MMin M MaxM MinM MaxM (5.2-3) 结果： 0.4390.4000.9130.800 0.7000.0000.9581.000 0.8460.8001.0000.500 0.5360.4000.8051.000 0.0790.2000.8010.800 0.6150.0000.9691.000 0.6310.4000.8360.200 0.1130.8000.7320.500 0.0000.4000.5230.700 0.5880.8000.5920 M .600 0.9570.4000.4530.300 0.9400.0000.4531.000 1.0000.8000.4180.800 0.9220.4000.0000.600 0.0481.0000.2090.000 (5.2-4) 5.2.3、 确定动态加权函数确定动态加权函数 在 M1，M2，M3，M4 几个指标中人们的舒适程度不是简单的呈线性 关系。某项指标 j M对综合评价效果影响总是随 ij M的增大先缓慢，中间有 一段快速增长的过程，随后平缓增加趋于最大，呈一条“S”型曲线。因此 我们利用 S 型分布函数作为 j M的变权函数。 11 2 min min maxmin 2 max max maxmin 2 , ( ) , 1 2 M Mc MM M cM MM (5.2-5) 上式中的常数 c 的公示为 minmax 2 MM c 且 ( )0.5c 由 于 无 量 纲 化 处 理 后 的 数 据 M 的 范 围 是0 1因 此 上 m i nm a x 0 ,1 ,0 . 5MMc 2 2 ,00.52 ( ) ,0.511 2(1) (5.2-6) 图（5.2-1）S 型动态加权曲线 5.2.4、 计算动态权值计算动态权值 12 () 015 1,2,3,4 ijijjij MM j i (5.2-7) ij 为 i行 j 列的动态权值， j 为对应 j 因素的动态加权函数。在本问题中 各因素均使用 S 型动态加权。 5.2.5、 综合评价模型的构建综合评价模型的构建 对应 1234 ,M MMM 的权值向量定为： 0.4,0.2,0.2,0.2 T (5.2-8) 即租房/买房成本影响权值为 0.4， 环境友好程度的影响权值为 0.2 生活质 量的影响权值为 0.2，上班的距离的影响权值为 0.2。 综合评价函数： 1 * j iiijij n KM (5.2-9) i K即为第 i个小区的综合评价结果，对 i K进行排序就是选择出最佳方案。 利用 MATLAB 进行计算得到如下的结果： 表(5.2-1) ID 小区 综合评价结果 1 民理园 0.4369 2 中枢小区 0.6771 3 艺波小区 0.7996 4 黄河景园小区 0.5268 5 舜禾公寓 0.2985 6 醒狮小区 0.6093 7 福水小区 0.4169 8 国税小区 0.3239 9 慧谷阳光花园 0.1973 10 民和小区 0.5017 11 建国小区 0.5498 12 事业小区 0.7035 13 解放里小区 0.8236 14 梅苑小区 0.5621 15 好来花园 0.2038 13 图（5.2-2）综合评价模型结果 对结果进行排序： 表(5.2-2) 小区 ID 小区 租房年数/x 还清贷款年数 W（n+x） 综合评价结果 13 解放里小区 2.903 10.92 0.8236 3 艺波小区 0.465 12.20 0.7996 12 事业小区 2.453 11.42 0.7035 2 中枢小区 2.311 13.42 0.6771 6 醒狮小区 3.736 14.12 0.6093 14 梅苑小区 3.121 11.57 0.5621 11 建国小区 2.528 11.28 0.5498 4 黄河景园小区 0.000 14.78 0.5268 10 民和小区 3.848 14.35 0.5017 1 民理园 4.081 15.59 0.4369 7 福水小区 3.368 13.99 0.4169 8 国税小区 4.426 18.30 0.3239 5 舜禾公寓 4.149 18.58 0.2985 15 好来花园 4.404 18.84 0.2038 9 慧谷阳光花园 5.004 19.24 0.1973 得到首选方案为：在解放里小区或者该小区附近先租房 3 年然后买一套房子， 在从从现在算起 11 年后预计能够把贷款还清，并且在环境友好程度，生活质 量，上班的距离这些因素间达到最满意的结果。 第三部分：改变条件对模型分析 对于问题二，夫妻两人的工资变为 8000 元每人每月。将还数据带入到第二 14 部分的模型进行求解，得到的综合评价结果为： 表(5.3-1) ID 小区 综合评价结果 1 民理园 0.4369 2 中枢小区 0.6771 3 艺波小区 0.7996 4 黄河景园小区 0.5268 5 舜禾公寓 0.2985 6 醒狮小区 0.6093 7 福水小区 0.4169 8 国税小区 0.3239 9 慧谷阳光花园 0.1973 10 民和小区 0.5017 11 建国小区 0.5498 12 事业小区 0.7035 13 解放里小区 0.8236 14 梅苑小区 0.5621 15 好来花园 0.2038 图（5.3-1）综合评价模型结果 15 表(5.3-2) ID 小区 租房年数/x 还清贷款年数W（n+x） 综合评价结果 13 解放里小区 1.598 5.262 0.8236 3 艺波小区 0.480 5.872 0.7914 12 事业小区 1.380 5.517 0.6981 2 中枢小区 1.298 6.447 0.6598 6 醒狮小区 1.935 6.748 0.5946 14 梅苑小区 1.680 5.548 0.5628 11 建国小区 1.410 5.396 0.5542 10 民和小区 1.973 6.801 0.4973 4 黄河景园小区 0.270 7.139 0.4922 1 民理园 2.063 7.378 0.4296 7 福水小区 1.755 6.595 0.4224 8 国税小区 2.146 8.505 0.3242 5 舜禾公寓 2.033 8.687 0.2984 15 好来花园 2.108 8.635 0.2042 9 慧谷阳光花园 2.393 8.944 0.1973 得到首选方案为：在解放里小区或者该小区附近先租房 1.6 年然后买一套房 子，在从从现在算起 5.3 年后预计能够把贷款还清，并且在环境友好程度，生 活质量，上班的距离这些因素间达到最满意的结果。 第三部分：建设性报告 根据模型得出结果我们可以看到工资是 4000 还是 8000 对小区的选址并 没有太大影响，但是如果工资是 4000 的话该夫妻应该在租房居住时攒下自己 的工资在第三年的时候用自己攒下的钱加上去银行贷款在解放里小区附近或 者亿波小区附近买一套房子，这样的话他们以后的工资去还银行贷款将会在 第 11 年还清。在购房买房成本，生活质量，环境友好程度，距离上班地点的 距离之间得到一个最佳的平衡。如果工资为 8000 元，那么他们应该在第 2 年 的时候同样在解放里小区附近或者亿波小区附近买一套房子，然后去还银行 贷款，这样能够在第 6 年的时候还清贷款。在购房买房成本，生活质量，环 境友好程度，距离上班地点的距离之间得到一个最佳的平衡。 16 六、模型评价与推广 模型优点： 1、 对于租房/买房成本的量化我们利用“多少年后该夫妻能够完全拥有一套房 子”假设先租房住 x年再买房，这个思想列出递归方程，求出了完全拥有一 套房子的时间与租房住时间的关系，该思想是本模型的一大新颖之处。 2、 利用递归方程将问题转化为线性规划求最优解的过程。 3、 本模型利用了大量的图表分析，结果呈现的清晰。 4、 利用动态加权函数进行综合评价，减少了人为因素对数据的影响，得到的 结果也比较贴近真实值； 模型缺点： 1、 模型的灵敏度较差，对于工资对小区选择的影响不够灵敏。 2、 在模型的建立过程中，我们忽略了政府的政策等人为因素，例如房产的税 收政策，以及徐州经济形势变化对居民选择带来的影响。 七、参考文献 1 姜启源，数学模型（第二版） ，北京：高等教育出版社， 1993 2 刘思峰，党耀国，方志耕等著，灰色系统理论及其应用，北京：科学出版社， 2005。 3 高惠璇， 两个多重相关变量组的统计分析 （3） ， 数理统计与管理， 第 21 卷， 第 2 期， （2003） ，5864。 17 MATLAB 源程序（部分） ： function N=funw(a,b,salary,z,x) %参数： （月房租，买房房价，每人月工资，z 消费比，租房年数） %返回值：n+x 即还清贷款拥有一套房子的年数 %房子大小 100m2 固定 %z=0.3; r=0.0325;%贷款的利率 m=z.*(2*salary-a);%月消费额（前 x 年，买房前） A=12.*x.*(2*salary-m-a);%x 年时的结余 Y0=b-A; m1=m;%买房后月消费额假设与买房前不发生变化 %总之消费额的决定因素是工资和租房的房价，消费比 N=(log(12.*(2*salary-m1)-log(12.*(2*salary-m1)-(Y0.*r)./log(r+1) +x; function N=hanshu(x,salary) a=1300;%月房租 b=800000;%买房价格 z=0.3; r=0.0325;%贷款的利率 %salary=2*4000;%两人工资总和 m=z.*(2*salary-a); A=12.*x.*(salary-m-a);%x 年时的结余 Y0=b-A; N=(log(12.*(2*salary-m)-log(12.*(2*salary-m)-(Y0.*r)./log(r+1)+x ; Pro1.m clear all; clc; %每人月工资 salary=120000; %月房租 a=1800,1700,1900,2200,2200,1600,1800,2200,2200,1700,1500,1400,13 00,1400,2400; size(a) %买房房价 b=100.*8300,7100,7000,7900,9700,7400,8100,9900,10100,7900,6600,6 100,6000,6500,10700; 18 size(b) %消费比 z=0.38,0.40,0.35,0.40,0.38,0.40,0.32,0.35,0.37,0.36,0.33,0.40,0. 38,0.36,0.30; size(z) %租房年数 x=linspace(0,30,4000); % %测试点个数 point point=15; xx=repmat(x,point,1); salary=salary*ones(1,4000); ssalary=repmat(salary,point,1); aa=repmat(a,1,4000); bb=repmat(b,1,4000); zz=repmat(z,1,4000); %构造矩阵，每行代表一个地点 %W=zeros(point,400) W=funw(aa,bb,ssalary,zz,xx); %H=figure(1); h=zeros(1,5); minx=zeros(1,15); miny=zeros(1,15); for i=1:15 Handle=figure(); plot(xx(i,:),W(i,:) hold on; h(i)=plot(xx(i,:),xx(i,:),red,LineWidth,2) miny(i),ind=min(W(i,:) minx(i)=xx(i,ind) plot(minx(i),miny(i),r*); str=( num2str(minx(i) , num2str(miny(i) )