北京大学量子力学课件-第8讲

第第 八八 讲讲第第 八八 讲讲 阶梯位势阶梯位势：. 阶梯位势阶梯位势： 讨论最简单的定讨论最简单的定 态问题态问题 00 0 xV )x(V 0 0 x0 )( （1）当（1）当 0 VE )x(Eu)x(u)V dx d m ( 0 2 22 2 0 x dxm2 )x(Eu)x(u d 22 0 x )x(Eu)x(u dxm 2 2 0 x 令，令， 2 2 mE k 2 0 2 )EV(m 0 xCeDe )x(u ikxikx xx 0 xBeAe )( ikxikx 由波函数有界由波函数有界, C0 在在0处处波函数连续波函数连续波函数导数连续波函数导数连续在在x0处处，波函数连续波函数连续，波函数导数连续波函数导数连续， 解得解得 iD iD 解得解得 ) k i 1 ( 2 D A ) k i 1 ( 2 D B 0 xe ) k iK 1 ( 2 D e ) k iK 1 ( 2 D )x(u ikxikx 0 xDe ) k ( 2 ) k ( 2 )x(u x E 对对E E没有限制没有限制，任何任何E E都可取都可取，即取连续值即取连续值。对对E E没有限制没有限制，任何任何E E都可取都可取，即取连续值即取连续值。 讨论讨论： A处处经典粒子不能去的地方经典粒子不能去的地方但但0 x A.处处，经典粒子不能去的地方经典粒子不能去的地方，但但 仍有一定的几仍有一定的几率率发发现现量子粒子。量子粒子。 0 x 率现率现 B区域区域，有沿，有沿x方向的平面波和沿方向的平面波和沿 x 反方向的平面波反方向的平面波 且振幅相同且振幅相同构成驻波构成驻波 0 x 反方向的平面波反方向的平面波, 且振幅相同且振幅相同，构成构成一一驻波驻波。 iEt E e )kxsin k kx(cosD)x( 01 2 xe )kxcos() k (D /iEt k 这一驻波，在这一驻波，在 1n2 2 1n2 kx n 2 , 1 , 0n 处为处为0。 2 ) 1x2(cos2 x 0 0 C. 几率流密度矢：几率流密度矢： i 透射几率流密度矢透射几率流密度矢（）j0（因因0i. 透射几率流密度矢透射几率流密度矢（）jT0（因因 是是实实函数）函数） 0 x x e 实实 . 在区域，有向右的几率流密度在区域，有向右的几率流密度， 即入射几率流密度矢即入射几率流密度矢 0 x 即入射几率流密度矢即入射几率流密度矢 ) p R (j x* )(1 ( Dk 2 2 0 = iii 在区域在区域也有向左的几率流密度也有向左的几率流密度 ) m p Re(j i x ii ) k (1 ( 4m 2 0 x 0 x iii. 在区域在区域，也有向左的几率流密度也有向左的几率流密度， 即反射几率流密度矢即反射几率流密度矢 Dk 2 0 x = 0 x ) m p Re(j R x* RR ) k (1 ( 4 D m k 2 2 所以，总几率流密度矢为所以，总几率流密度矢为 0。当，入射。当，入射 粒子完全被反射回来粒子完全被反射回来没有几率流流入到区域没有几率流流入到区域 0 VE 0 粒子完全被反射回来粒子完全被反射回来，没有几率流流入到区域没有几率流流入到区域 中。中。 0 x j 定义：定义：1. 反射系数反射系数，现，现 R=1; i R j j R 2. 透射系数透射系数，现，现 T=0。 i T j j T 1RT (2)当(2)当, 求粒子从左向右方入射的解。求粒子从左向右方入射的解。 0 VE )x(Eu)x(u)V d d ( 0 2 22 2 0 x dxm 0 2 2 )x(Eu)x(u d 22 0 x )x(Eu)x(u dxm 2 2 mE2 )VE(2 令令， 2 mE2 k 2 0 1 )VE(m2 k 0A 0 xCeDe )x(u ikxikx xikxik 11 由初条件，由初条件，粒子由左向右入射粒子由左向右入射，由于在，由于在x=0 0 xBeAe ikxikx 处位势有间断点，所以，区域有入射波，处位势有间断点，所以，区域有入射波， 也有反射波也有反射波但在但在处处位势无间断点位势无间断点所所 0 x 0也有反射波也有反射波；但在但在处处，位势无间断点位势无间断点，所所 以以，只有入射波只有入射波，无反射波无反射波，因此因此， C0。 0 x 以以，只有入射波只有入射波，无反射波无反射波，因此因此， C0。 由波函数及其导数连续， 得由波函数及其导数连续， 得 ) k 1 ( D A 1 ) k 1 ( D B 1 ) k ( 2 ) k 1 ( 2 B 结果有结果有 0) k 1 ( D ) k 1 ( D ikx1ikx1 0 xDe 0 xe ) k 1 ( 2 e ) k 1 ( 2 )x(u xik ikx1ikx1 E 1 讨论讨论： 0 xDe 讨论讨论： A. 在时，在时，区域有一沿区域有一沿x方向传播方向传播 的平面波的平面波波数为波数为 k 但这并不是指粒子具有动但这并不是指粒子具有动 0 VE 0 x 的平面波的平面波，波数为波数为 k1但这并不是指粒子具有动但这并不是指粒子具有动 量为，因这要全空间）。显然，量为，因这要全空间）。显然， 1 k = ) m p Re(j i x* ii 21 2 ) k k 1 ( 4 D m k mk4m =) p Re(j R x* RR 2 1 2 ) k k 1 ( 4 D m k m k4m ) p R (j x*21 D k =。 ) m p Re(j T x TT 21 D m kk 从而得反射系数从而得反射系数= i R j j R 2 1 1 ) kk kk ( 透射系数透射系数= T j T 2 1 kk4 透射系数透射系数 显然显然 i j 2 1) kk( 显然显然1TR . 位垒穿透位垒穿透： （1）EV从左向右入从左向右入（1）EV0：从左向右入从左向右入 射射，所以在区域有，所以在区域有 0 x 解解eikx（入射波）；（入射波）；e-ikx（ 反射波反射波）区域有区域有 反射波反射波）。区域有区域有 eikx（透射波透射波）。 ax e（透射波透射波）。 S ikx 0 xBeAe axSe )x(u ikxikx ikx E 这形式是普遍的，只要远离作用区。而沿这形式是普遍的，只要远离作用区。而沿x 方向的几率流密度为方向的几率流密度为方向的几率流密度为方向的几率流密度为 ， 2 A k j 2 R B k j 2 T S k j ， i A m j R B m j T S m j 2 B 2 S A B R A S T SB 所以只要求得即可。所以只要求得即可。 对于对于区域区域有方程有方程 A S , A B ax0 对于对于区域区域，有方程有方程 ax0)x(Eu)x(u)V d ( 22 ax0 ax0)x(Eu)x(u)V dx m2 ( 0 2 有解有解 xx E FeDe)x(u 其中其中 21 2 0 ) )EV(m2 ( 其中其中 由，处，连续，得由，处，连续，得 2 0 xax )x(u E )x(u E A hki 2i h)k( asinh)k( B 22 22 acoshki 2asinh)k( 22 ki 2 ika A acoshki 2asinh)k( kei 2 S 22 ika )( 于是有于是有 1 22 0 2 )EV(E4 1 A B R 22 0 asinhVA 1 22 2 1 0 22 0 2 )EV(E4 asinhV 1 A S T （2）当当 0 )EV(E4A 0 VE （2）当当 这时只要将，并由，这时只要将，并由， 得得 0 1 ikaksiniasinh 1 得得 A aksin)kk( i B 1 2 1 2 A aksin)kk( iakcoskk2 B 1 22 111 A ekk2 S 22 ika 1 从而有从而有 aksin)kk( iakcoskk2 1 22 111 1 从而有从而有 1 2 0 2 aksinV )VE(E4 1 A B R 10 aksinV A 1 2 2 ki 0 1 2 0 2 )VE(E4 aksinV 1 A S T 0 )( 0) VE(m2 k mE2 k 2 0 1 )( k 2 k （3）结果讨论：）结果讨论： A（或或）即几率流即几率流1TR VE VE A（或或），即几率流即几率流 密度矢连续密度矢连续。当当时时，仍有仍有一一定几率流透射定几率流透射 1TR 0 VE 0 VE 0 VE 密度矢连续密度矢连续当当时时仍有定几率流透射仍有定几率流透射 过去；过去； 当当时时仍有定几率流被反射仍有定几率流被反射B. B. 当当时时，仍有仍有一一定几率流被反射定几率流被反射。 但但当当时时，T1T1，即完全透射过去即完全透射过去。这这 nak1 0 VE 但但当当时时，即完全透射过去即完全透射过去。这这 种现象称为共振透射（仅在条件下发生种现象称为共振透射（仅在条件下发生）0 VE nak1 这时这时 0 2 2 22 n VnE 0 2 n ma2 被称为共振能级被称为共振能级。 这种现象是量子这种现象是量子这种现象是量子这种现象是量子 现象现象。现象现象 如一种解释，认如一种解释，认 为为所以所以 k 为为，所以所以 ，即位垒即位垒 nak1 2 n k n a ，即位垒即位垒 宽是半波长的整数倍时，宽是半波长的整数倍时， 2k1 则经过多次反射而透射出去的波的位相相同，从则经过多次反射而透射出去的波的位相相同，从 而出现共振透射而出现共振透射。这是不对的这是不对的，因在这区域中因在这区域中，而出现共振透射而出现共振透射。这是不对的这是不对的，因在这区域中因在这区域中， 没有确定的波长。没有确定的波长。 .方位阱穿透.方位阱穿透：这时只要将即可。这时只要将即可。00 VV A ki)kk( ikkk2 aksin)kk( i B 22 1 2 1 2 aksin)kk( iakcoskk2 1 22 111 ekk2 ika A aksin)kk( iakcoskk2 ekk2 S 1 22 111 1 1 0 2 )VE(E4 1 B R 1 22 0 0 aksinV )V( 1 A B R 1 1 22 0 2 aksinV 1 S T 0) VE(E4 1 A T 其中，。其中，。 2 0 1 )VE(m2 k 2 mE2 k 当当时时，则同样出现则同样出现，即即 nak11T 当当时时，则同样出现则同样出现，即即 共振透射。这时，共振透射。这时， 1 ( n 取值应保证取值应保证 En大于零大于零) 0 2 2 22 n Vn ma2 E ma2 如果我们将位势在处选取为，那如果我们将位势在处选取为，那 在在和和区域区域入射能量入射能量 0 V 0 VEE 在在和和区域区域，入射能量入射能量， 而而区区域域，粒子能粒子能量量为为，即即 0 x ax 0 VEE ax0EVE 0 而域而域粒子能为粒子能为即即 0 1 0 2 )VE(E4 1 B R 1 22 0 aksinV 1 A R 1 2 1 0 1 22 0 2 )VE(E4 aksinV 1 A S T 0) VE(m2 mE2 k 0) ( 2 0) VE(m2 k 2 1 k 3 53 5一一维无限深方位阱维无限深方位阱3 3. .5 5维无限深方位阱维无限深方位阱 2 a x0 2 a x 2 )x(V （1）能量本征值和本征函数：（1）能量本征值和本征函数： 2 )x(Eu)x(u d d 2 2 22 2 a x ， dx m2 22 0)x(u a x 0)x(u 2 x 有解有解 2 a xkxcosBkxsinA 2 a x0 2 )x(u 其中其中 2 mE2 k 其中其中 2 k a 要求波函数在处连续要求波函数在处连续（当然，并不（当然，并不 要求导数连续要求导数连续）于是有于是有 2 a 要求导数连续要求导数连续），于是有于是有 0 2 a kcosB 2 a ksinA 0 2 a kcosB 2 a ksinA 22 要求要求AB不同时为不同时为0则必须系数行列式为则必须系数行列式为0 22 要求要求A，B不同时为不同时为0，则必须系数行列式为则必须系数行列式为0。 0 2 a kcos 2 a ksin 0 2 a kcos 2 a ksin 即即 0 2 a kcos 2 a ksin . 22 n k0 2 a ksin 4 , 2n 代入方程得代入方程得 a2 0B 代入方程得代入方程得 0B n k0 a k 531n . a k0 2 kcos 5 , 3 , 1n 代入方程得代入方程得 0A 所以，所以， a , 6 , 4 , 2nx a n sinA 2 x , 5 , 3 , 1n a n cosB a )x(u n 2 a x0 a 相应的本征能量为相应的本征能量为 2 相应的本征能量为相应的本征能量为 2 22 n E （2 2）结果讨论结果讨论： 2 n n ma2 E （2 2）结果讨论结果讨论： A. 根据一定边条件根据一定边条件，要求，要求(处，波处，波 函数连续函数连续）薛定谔方程自然地给出能级的量子薛定谔方程自然地给出能级的量子 2 a x 函数连续函数连续），薛定谔方程自然地给出能级的量子薛定谔方程自然地给出能级的量子 化化。化化 B. 一个经典粒子处于无限深位阱中，可一个经典粒子处于无限深位阱中，可 以安静地躺着不动以安静地躺着不动但对但对量子粒子而言量子粒子而言以安静地躺着不动以安静地躺着不动。但对但对量子粒子而言量子粒子而言， px 所以所以，即即不能精确为不能精确为0。 2 px x 0 x0p x x p 所以所以，即即不能精确为不能精确为0。 因此，无限深方位势的粒子最低能量不为因此，无限深方位势的粒子最低能量不为0。 0p x x p C. 对基态：对基态： 2 22 1 E 而而 2 1 ma2 2 而而 2 a xx a cos a 2 )x(u1 2 a x0 )( 1 所以，所以，无零点，即无节点，是偶函数无零点，即无节点，是偶函数。 第激发态第激发态第第一一激发态激发态： 2 22 2 2 E 而而 2 2 2 ma2 E 2 a xx a 2 sin a 2 )( 2 a x0 2aa )x(u 2 有一零点，即有一节点，是奇函数有一零点，即有一节点，是奇函数。 第激发态第激发态 2 第第二二激发态激发态： 2 22 3 3 E 2 3 3 ma2 E a32 而而 a 2 a xx a 3 cos a 2 )x(u3 2 a x0 有二个零点，即有二个节点，是偶函数有二个零点，即有二个节点，是偶函数。 3.6宇称，一维有限深方势阱，双位势3.6宇称，一维有限深方势阱，双位势 （1）宇称宇称前面无限深位势的能量本征函数前面无限深位势的能量本征函数 （1）宇称宇称：前面无限深位势的能量本征函数前面无限深位势的能量本征函数 有两类形式有两类形式：有两类形式有两类形式 。 5 , 3 , 1nx n cos 2 u n1 2 a x 642nx n sin 2 u 5 , 3 , 1nx a cos a u )x(u 2 n1 n a x0 , 6 , 4 , 2nx a sin a u )( n2 n 2 x0 显然显然 )x(u)x(u n1n1 )x(u)x(u n2n2 我们把以我们把以偶函数描述的态称为偶宇称态偶函数描述的态称为偶宇称态 奇函数描述的态称为奇宇称态奇函数描述的态称为奇宇称态奇函数描述的态称为奇宇称态奇函数描述的态称为奇宇称态。 这不是偶然的这不是偶然的，它它是由于位势在是由于位势在 xx 这不是偶然的这不是偶然的，它它是由于位势在是由于位势在 的变换下不变的变换下不变 )(V)(V 的结果的结果。 )x(V)x(V 的结果的结果。 现对这一问题作进一步的讨论：如位势为偶现对这一问题作进一步的讨论：如位势为偶 当当是方程的解是方程的解即满即满 )(V)(V)( ，当当是方程的解是方程的解，即满即满 足足 )x(V)x(V)x(u )x(Eu)x(u)x(V d ( 22 足足 在在变换下变换下有有 )x(Eu)x(u)x(V dx m2 ( 2 在在变换下变换下，有有xx )(E)()(V d ( 22 是有是有 )x(Eu)x(u)x(V dx d m2 ( 2 于于是有是有， d 22 )x(Eu)x(u)x(V dx d m2 ( 2 所以，当是解，则也是解。所以，当是解，则也是解。 A当能级不简并时当能级不简并时令令 P 为宇称算符为宇称算符 )x(u)x(u A. 当能级不简并时当能级不简并时：令令 P 为宇称算符为宇称算符， 我我们有们有我我 )x(cu)x(u)x(u p )x(uc)x(u)x(u p )x(u p 22 即即。 )x(uc)x(u)x(up)x(up 1c 即即。 因此，当体系在对称位势下运动（空间反射因此，当体系在对称位势下运动（空间反射 简简是对称的）。若能级不是对称的）。若能级不简简并，其所处的状态，也并，其所处的状态，也 是宇称算符的本征态是宇称算符的本征态，而本征值为而本征值为，即所得即所得 1 是宇称算符的本征态是宇称算符的本征态，而本征值为而本征值为，即所得即所得 的解必有确定宇称。的解必有确定宇称。 B B当能级简并时当能级简并时那所得解当然不那所得解当然不一一定有定有B B. . 当能级简并时当能级简并时，那所得解当然不定有那所得解当然不定有 确定的宇称。但奇、偶部分分别是解。确定的宇称。但奇、偶部分分别是解。 已证明，是解，则也是解。由于能已证明，是解，则也是解。由于能 级是简并的级是简并的，所以所以不不一一定等于定等于。 )x(u )x(cu )x(u)x(u 级是简并的级是简并的，所以所以不定等于不定等于。 如果，则可作线性组合，如果，则可作线性组合， )( )x(cu)x(u )x(u)x(u)()( 前者为偶宇称解，后者为奇宇称解。前者为偶宇称解，后者为奇宇称解。 )x(u)x(u)x(u)x(u 因此，在一维对称位势下，我们总可选具有因此，在一维对称位势下，我们总可选具有 确定的宇称的函数作为能量本征态的解确定的宇称的函数作为能量本征态的解而这而这确定的宇称的函数作为能量本征态的解确定的宇称的函数作为能量本征态的解，而这而这 将使问题处理简化。将使问题处理简化。 宇称的概念是量子力学所特有的 。宇称的概念是量子力学所特有的 。 （2）有限对称方位阱有限对称方位阱（2）有限对称方位阱有限对称方位阱： a a 2 a xV )x(V 0 2 a x0 仅讨论束缚态，所以仅讨论束缚态，所以 由于是由于是一一维对称势的束缚态维对称势的束缚态 。因此其解必具因此其解必具 0EV0 由于是维对称势的束缚态由于是维对称势的束缚态 。因此其解必具因此其解必具 有确定的宇称。所以，只要在区域中求解。有确定的宇称。所以，只要在区域中求解。 0 x A偶宇称解：偶宇称解： 2 )x(Eu)x(u)x(V)x(u m2 2 由于，有解由于，有解 0EV0 a 2 a x0 xsinBxcosA )x(u ， 2 a xDeCe xx 其中，。其中，。 2 mE2 2 0 )EV(m2 由于是由于是偶宇称解，所以其导数为奇函数偶宇称解，所以其导数为奇函数， 即在即在处处导数为零的解导数为零的解于是于是要求要求； 0 x 即在即在处处，导数为零的解导数为零的解。于是于是，要求要求； 。 另外，要求解有界，所以可能解为。 另外，要求解有界，所以可能解为 0 x 0B 2 a x0 xcosA )x(u 利用利用处处波函数及其导数连续波函数及其导数连续于于 2 a xCe )( x a x u 利用利用处处，波函数及其导数连续波函数及其导数连续，于于 是有是有 2 x u a tan 令令则则 2 tan aa 令令，则则 2 , 2 tan 而而 2 2 022 a 2 mV 由这两个方程由这两个方程 2 m2 E 22 ()。()。在第一和第三象限所以， , 0 a 2 a xCe x a 2 a xxcosA)x(u x 2 a xCe x B奇宇称解：奇宇称解：由于是奇宇称解，波函数在由于是奇宇称解，波函数在 处应为处应为0于是于是A0得解的形式得解的形式0 x处应为处应为0，于是于是A0。得解的形式得解的形式0 x a 0iB a C 2 x0 xsinB )x(u x 2 xCe x 同理在处连续，得同理在处连续，得 u u 2 a x cot 另外另外2 2 022 a 2 mV 从而求得从而求得 2 2 E 22 从而求得从而求得 （）（） m2 E 在第二和第四象限所以，, 0 而相应波函数为而相应波函数为 在第和第四象限所以, 2 a xCe x 2 a xxsinB)x(u 2 a xCe x C讨论讨论 1当当 2 2 2 0 a mV 1. 当当 即即只有个解只有个解而在区域而在区域 2 2 a 2 2 22 即即, 只有只有一一个解个解。而在区域而在区域 22 2 中点中点为态为态 2 x 中中无零无零点点，即，即为为基基态态 ; 当当 2 2 2 2mV 当当 2 2 0 2 2 a 2 mV 2 时，这时交二个点，即有二个分立能级。时，这时交二个点，即有二个分立能级。 基态无零点：第一激发态有一个零点。基态无零点：第一激发态有一个零点。 当当 22 当当 2 02 2 0 2 0 2 n a 2 mV 2 ) 1n( 时，交个点，有条能级。时，交个点，有条能级。 等高有限方位势等高有限方位势分立能级数目取决于分立能级数目取决于 2 0 n 0 n 等高有限方位势等高有限方位势，分立能级数目取决于分立能级数目取决于 2 0a mV 的大小。但不管如何小，总有分立能级，的大小。但不管如何小，总有分立能级，至少至少 个个 0 一一个个。 2.2. 在经典力学中在经典力学中，当当时时，粒子只能粒子只能0 VE 2.2. 在经典力学中在经典力学中，当当时时，粒子只能粒子只能0 处于区域中。而量子粒子，则有一定的几处于区域中。而量子粒子，则有一定的几 率处于率处于区域中区域中而且必须有而且必须有正是由于正是由于 2 a 2 a EV 率处于率处于区域中区域中，而且必须有而且必须有。正是由于正是由于 这这一一点点，无论无论如何小如何小，至少有至少有一一个解个解。 EV0 2 0a mV这点这点无论无论如何小如何小至少有个解至少有个解 （3）求粒子在双位阱中运动（3）求粒子在双位阱中运动 A位势两边的波函数导数间的关系位势两边的波函数导数间的关系 0 A位势两边的波函数导数间的关系位势两边的波函数导数间的关系 )(E)()(V)( 2 其中其中 )x(Eu)x(u)x(V)x(u m2 )()(其中其中，。，。)ax(V)x(V 0 aaa dx)x(Eudx)x(u)x(Vdxu 2 2 2)2a (Eu)a (uV)a (u)a (u 0 2 aaa )()()( m2 当当， 2)2a (Eu)a (uV)a (u)a (u m2 0 0 当当，0 0)a (uV)0a (u)0a (u 2 0)a (uV)0a (u)0a (u m2 0 )a (u mV2 )0a (u)0a (u 2 0 B求双位阱解B求双位阱解 )ax()ax(V)x(V 0 )x(Eu)x(u 2 ax0 )x(Eu)x(u m2 ax 令令 2 mE2 在在区