厦门大学2012数学分析

厦门大学 2012 数学分析考研 1.设 n x为有界正实数列，求. . lim 21n n n xxx x （见 08 年第二题） 2.设RRxg: )(满足)(,)(lim 0 ufuxg x 在 0 uu 处连续。 证明：)()(lim 0 ufxgf x 。 （见 08 年第三题） 3.设)(xf在),(非恒为 0，存在任意阶导数，并且对任何),(x都有 2 )1()( 1 )()( n xfxf nn ，.3 . 2 , 1n，证明：,)(lim )(xn n Cexf 其中C为常数。 （见 08 年第四题） 4.设函数),(yxzz 具有二阶连续偏导数，满足方程, 2 2 2 2 xy z y z y 求证在变换 yxzwxv y x u,之下，上述房车将变为0 2 2 u w 证明：由上我们可知 x yw z ，关于y求偏导 xy w w y x w x z u vuy 1 ) 10)( 1 22 继续对y求其偏导 32 2 2 )( y w y y x w z u uu yy ，将上述结果代入, 2 2 2 2 xy z y z y 得 xxy w y w y xw y uuuu 2 ) 1 (2)2( 234 ，所以)0, 0(00 3 yxw y xw uu uu 。 5.函数)(xf和函数)(xg在ax 时可导，并且在ax 时满足)()( xgxf，求证： 当ax 时，不等式)()()()(agxgafxf。 证明：由)()( xgxf可知0)( xg，所以)(xg在ax 是单调递增，要证上述不等式， 即证)()()()(agxgafxf，即证)()()()()()(agxgafxfagxg 0 1 设)()()()()(agafxfxgxF，求导得)()()( xfxgxF，)()( xgxf 所以)()()( xgxfxg，0)()( xfxg，所以)(0)( axxF，又0)(aF， 当ax ，)()(aFxF，即)()()()(agxgafxf，这就证明了右边的不等式。 0 2 设)()()()()(agafxgxfxG，0)()()( xgxfxG，所以)(xG是单调 递增函数0)0()(GxG，即)()()()(afxfagxg，证毕。 6.设,., 21 aa为正实数列， 定义 n aaa s n n . 21 ， n aaa r n n 11 2 1 1 . ， 其中 n n s lim 与 n n r lim均存在，证明这两个极限之积不小于 1. 证明：).2 , 1 , 0(0niai，运用均值不等式我们可得 n n n n aaa n aaa s. . 21 21 ，n n n n aaan aaa r 1 . 11. 21 11 2 1 1 (*)1 . 11 11 n aa n aa nn ，因为两极限都存在，所以 nnnn n n n rsrs limlimlim，对 上述的不等式两边取极限，即 1 . limlimlimlim 11 121 n aa n aaa rsrs nn n nnnn n n n ，问题得证。 7.设D是 2 R中的闭圆盘，f是定义在D上的实函数，证明若0),( 2 D dxdyyxf，则f 在D中的连续点上的取值为零。 证明： （见 08 年第 5 题） 8.设 n na收敛，级数 1 1) ( n nn aan收敛，证明 1n n a也收敛。 证明： （见 08 年第 6 题） 9.证明下列等式 .)cos()1 ()c