2017全国高中数学联赛模拟试题(原创精选-完全doc版)

2017年全国高中数学联赛考前模拟训练（原创精选）姓名_班级_学号_作者：地市级学科带头人，专业技术拔尖人才，名师.一.填空题1.已知，则_.解：，又，从而，化简得，即又，从而.2.(1)已知数列满足，则其前100项的和是_.解：依次计算可得，则数列为周期2的数列，从而.(2)记表示不超过实数的最大整数.已知数列满足：.则_. 解：由于，从而，显然单调递增，且，从而，故.3.已知点，曲线恒过点，若是曲线上的动点，若的最小值为2，则实数的值为_解：由于，则根据向量的投影的定义可知，在方向上的投影的最大值为，即曲线在点处的切线垂直直线，考虑到，又，则，即.4.若复数满足，则的最大值为_. 解：由于，由于，根据复数运算几何意义可知，在圆上的点与点的距离的最大值为，故最大值为.5.已知正四棱锥的五个顶点都有一个球面上.若该四棱锥的体积为，则该球的表面积的最小值为_. 解：设正四棱锥的底边长为高为，则.设四棱锥的外接球的球心为，则在中，由于，则，从而.则球的表面积.6.已知函数的最大值为最小值为，则_.解：由于，从而，从而令，则，显然当.7.点是椭圆在第一象限上的动点，过点引圆的两条切线，切点为，直线与轴，轴分别交于点，则的面积最小值为_.解：设点，则直线的方程为，即，则，则当取等号.故的面积最小值为.8.多项式的展开式在合并同类项后，的系数为_. 解：利用多项式展开原理可知设三个括号中所取的项的次数分别为，从而的系数即方程且的不同的解的个数.显然方程组的解的个数用隔板法即得，当存在时，不妨设为，则的解的个数为. 综合上述，所求的的系数为.9.已知为非零的不共线的向量.设.定义点集,当时，若对任意的，不等式恒成立，则实数的最小值为_. 解：显然共线，且，不妨设由于，则为的角平分线，从而，则根据圆的定义可知点的轨迹为圆,在的延长线上取一点，使得，从而，从而点在以为直径的圆上.由此，从而.故的最小值为.10.数列，若对任意的正整数，均有，则的取值范围为_, 解：根据图像可知.11.甲、乙两人做一种游戏：连续抛掷一枚硬币若干次，当正（或反）面向上的次数累计达到5次时游戏结束.游戏结束时，如果正面向上的次数累计达到5次，则甲获胜；否则乙获胜.那么，抛掷不足9次就决出胜负的概率为_. 解：先考虑9次结束游戏的情形，则前8次中有4次正面朝上和4次反面朝上，从而9次结束的概率为，从而抛掷不足9次就决出胜负的概率为.二.简答题13.在数列中，.（I）求数列的通项公式.（II）令，证明：数列的前项和. 解：（1），从而，即.（2）由于，则，从而.14.已知二次函数满足当时，求的最大值.解：设，则，则从而，考虑到当时，从而则当时，有最大值. 从而当，且取最大值，显然函数或满足条件.故的最大值为.15.已知是椭圆的内接的内切圆，其中为椭圆的左顶点.（I）求的半径；（II）过点作的两条切线与椭圆交于两点.证明：直线与相切. 解：（1）设点，与轴的交点为，与圆的切点为，则根据相似关系得，从而.则点代入椭圆中可得，从而求得.（2）设直线的方程分别为，由于两直线与圆相切，则，即是方程的两根，从而. 联立方程，从而，故点坐标为，同理得. 故，由此直线的方程为，即. 考虑到，从而，从而.故直线的方程为.此直线与圆的距离，与圆相切. 加 试 试 题试题1：设为正整数，且满足对任意的，都有.证明：.试题2：设是正整数，为素数，且，证明：存在正整数，使得.试题3：如图，ABC的内切圆在边上的切点分别是，直线与直线分别相交于点证明：试题4：若平面上有个点，其中任意三点不共线.在任意两点之间连一条线段，并将每条线段染为红